运筹学第1章 5对偶理论与灵敏度分析.ppt

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1、2、对偶理论与灵敏度分析2.1 2.1 线性规划的对偶问题的提出线性规划的对偶问题的提出 及其数学模型及其数学模型例例1 1 生产计划问题（资源利用问题）生产计划问题（资源利用问题）胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价售价5050元元/个，椅子销售价格个，椅子销售价格30/30/个，生产桌子个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工个桌子需要木工4 4小时，油漆工小时，油漆工2 2小时。生产一小时。生产一个椅子需要木工个椅子需要木工3 3小时，油漆工小时，油漆工1 1小时。该厂每个小

2、时。该厂每个月可用木工工时为月可用木工工时为120120小时，油漆工工时为小时，油漆工工时为5050小小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？最大？数学模型数学模型 max S=50 xmax S=50 x1 1+30 x+30 x2 2 s.t.4x s.t.4x1 1+3x+3x2 2 120 (2.1)120 (2.1)2x 2x1 1+x+x2 2 50 50 x x1 1,x,x2 2 0 0 如果我们换一个角度，考虑另外如果我们换一个角度，考虑另外一种经营问题。一种经营问题。假如有一个企业家假如有一个企业家有一批等待加工的订单，有

3、意利用该有一批等待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。因此，他要同家具厂谈判付的产品。因此，他要同家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。可以构造一给该厂每个工时的价格。可以构造一个数学模型来研究如何使自己付的租个数学模型来研究如何使自己付的租金最少，又使家具厂觉得有利可图肯金最少，又使家具厂觉得有利可图肯把资源出租给他？把资源出租给他？假设假设 y y1 1,y,y2 2 分别表示每个木工分别表示每个木工和油漆工工时的租金，则所付租金和油漆工工时的租金，则所付租金最小的目标函数可表示为：最小的目标函数可表示为：min s=120 ymin

4、s=120 y1 1+50 y+50 y2 2目标函数中的系数目标函数中的系数 120120，50 50 分别表分别表示可供出租的木工和油漆工工时数。示可供出租的木工和油漆工工时数。该企业家所付的租金不能太低，该企业家所付的租金不能太低，否则家具厂的管理者觉得无利可图否则家具厂的管理者觉得无利可图而不肯出租给他。因此他付的租金而不肯出租给他。因此他付的租金应不低于家具厂利用这些资源所能应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益：得到的利益：4 y4 y1 1+2y+2y2 2 50 50 3 y 3 y1 1+y+y2 2 30 30 y y1 1,y,y2 2 0 0 于是得到数学模型：于是得

5、到数学模型：min g=120 ymin g=120 y1 1+50 y+50 y2 2 s.t.4 y s.t.4 y1 1+2y+2y2 2 50 (2.2)50 (2.2)3 y 3 y1 1+y+y2 2 30 30 y y1 1,y,y2 2 0 0模型模型(2.1)(2.1)和模型和模型(2.2)(2.2)既有区别又有既有区别又有联系。联系在于它们都是关于家具联系。联系在于它们都是关于家具厂的模型并且使用相同的数据，区厂的模型并且使用相同的数据，区别在于模型反映的内容是不同的。别在于模型反映的内容是不同的。模型模型(2.1)(2.1)是站在家具厂经营者立场是站在家具厂经营者立场追求

6、销售收入最大，模型追求销售收入最大，模型(2.2)(2.2)是是则则站在家具厂对手的立场追求所付的站在家具厂对手的立场追求所付的租金最少。租金最少。如果模型如果模型(2.1)(2.1)称为原问题（称为原问题（P P），），则模型则模型(2.2)(2.2)称为称为对偶问题（对偶问题（D D）。）。任何线性规划问题都有对偶问题。任何线性规划问题都有对偶问题。原问题与对偶问题之间没有严格的原问题与对偶问题之间没有严格的界限，它们互为对偶。界限，它们互为对偶。例例1.1例例1.2(P)(D)原问题与对偶问题：原问题与对偶问题：P P（D D）D D（P P）目标函数系数目标函数系数 c c 右端常数项

7、右端常数项 b b 系数矩阵系数矩阵 A A 系数矩阵系数矩阵 A A约束条件约束条件 变量变量T（个数）（个数）（符号）（符号）对称形式的对偶关系对称形式的对偶关系（1）若原问题是）若原问题是 这两个式子的变换关系称为这两个式子的变换关系称为“对称形式的对偶关系对称形式的对偶关系对称形式的对偶关系对称形式的对偶关系”。(2)其对偶问题为其对偶问题为(P)(P)(D)(D)怎样写出非对称形式的对偶问题？怎样写出非对称形式的对偶问题？根根据据对对应应规规律律（参参见见对对偶偶关关系系表表）直直接接写出写出；原问题（或对偶问题）原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）对偶问题（或原问题）目标函数目

8、标函数 MaxZ目标函数目标函数 MinW约束条件数：约束条件数：约束条件数：约束条件数：mm个个个个第第第第 i i个个个个 约约约约 束束束束 条条条条 件件件件 类类类类 型型型型 为为为为“”第第第第 i i个个个个 约约约约 束束束束 条条条条 件件件件 类类类类 型型型型 为为为为“”第第第第i i个约束条件类型为个约束条件类型为个约束条件类型为个约束条件类型为“=”对偶变量数：对偶变量数：对偶变量数：对偶变量数：mm个个个个第第第第i i个变量个变量个变量个变量 0 0第第第第i i个变量个变量个变量个变量 0 0第第第第i i个变量是自由变量个变量是自由变量个变量是自由变量个变

9、量是自由变量 决策变量数：决策变量数：决策变量数：决策变量数：n n个个个个第第第第j j个变量个变量个变量个变量 0 0第第第第j j个变量个变量个变量个变量 0 0第第第第j j个变量是自由变量个变量是自由变量个变量是自由变量个变量是自由变量 约束条件数：约束条件数：约束条件数：约束条件数：n n个个个个第第第第 i i个个个个 约约约约 束束束束 条条条条 件件件件 类类类类 型型型型 为为为为“”第第第第 i i个个个个 约约约约 束束束束 条条条条 件件件件 类类类类 型型型型 为为为为“”第第第第i i个约束条件类型为个约束条件类型为个约束条件类型为个约束条件类型为“=”例例1 1

10、：写出下列线性规划问题的对：写出下列线性规划问题的对偶问题偶问题 min S=xmin S=x1 1+2x+2x2 2+3x+3x3 3s.t.2xs.t.2x1 1+3x+3x2 2+5x+5x3 3 2 2 3x3x1 1+x+x2 2+7x+7x3 3 3 3 x x1 1，x x2 2，x x3 3 0 0该问题的对偶问题：该问题的对偶问题：max z=2 ymax z=2 y1 1+3y+3y2 2 s.t.2y s.t.2y1 1+3y+3y2 2 1 1 3y 3y1 1+y+y2 2 2 2 5y 5y1 1+7y+7y2 2 3 3 y y1 1 0 0，y y2 2 0例例

11、2 2：写出下列线性规划问题的对：写出下列线性规划问题的对偶问题偶问题 min S=2xmin S=2x1 1+3x+3x2 2-5x-5x3 3s.t.xs.t.x1 1+x+x2 2-x-x3 3 5 5 2x 2x1 1 +x+x3 3 =4 =4 x x1 1，x x2 2，x x3 3 0 0该问题的对偶问题为：该问题的对偶问题为：max z=5 ymax z=5 y1 1+4y+4y2 2 s.t.y s.t.y1 1+2y+2y2 2 2 2 y y1 1 3 3 -y -y1 1+y+y2 2 -5-5 y y1 1 0 0，y y2 2 无非负约束无非负约束练习练习1 1：写

12、出下列线性规划问题的对：写出下列线性规划问题的对偶问题偶问题 min S=3xmin S=3x1 1-2x-2x2 2+x+x3 3s.t.xs.t.x1 1+2x+2x2 2 =1 =1 2x 2x2 2 -x-x3 3 -2 -2 2x 2x1 1 +x+x3 3 3 3 x x1 1-2x-2x2 2+3x+3x3 3 4 4 x x1 1，x x2 2 0 0 ，x x3 3 无非负限制无非负限制练习练习2 2、已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中、已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中x4x4、x5x5为松弛变量。试：为松弛变量。试：（1 1）写出线性规划原问题

13、。）写出线性规划原问题。（2 2）写出对偶问题。）写出对偶问题。（3 3）求对偶问题的最优解。）求对偶问题的最优解。XBXBx1x1x2x2x3x3x4x4x5x5b bx3x30 01/21 11/21/20 05/25/2x1x11 1-1/2-1/20 0-1/6-1/61/31/35/25/2 j j0 0-4-40 0-4-4-2-2练习练习1 1答案答案 解解:对偶问题为：对偶问题为：maxmax z =y z =y1 1-2y-2y2 2+3y+3y3 3+4y+4y4 4 s.t.y s.t.y1 1+2y+2y3 3+y+y4 4 3 3 2y 2y1 1+2y+2y2 2

14、-2y-2y4 4 -2-2 -y -y2 2+y+y3 3+3y+3y4 4 =1=1 y y2 2 0，y y3,3,y y4 4 0 0，y y1 1 无非负约束无非负约束练习练习2答案：答案：（1）先求出）先求出C1=6,C2=-2,C3=10;再求出初始单纯形表再求出初始单纯形表(A|b)矩阵矩阵.于是原问题为：于是原问题为：2.2 2.2 对偶问题的基本定理对偶问题的基本定理定理定理1 1、对称性定理：、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。对偶问题的对偶是原问题。定理定理2 2、弱对偶定理（弱对偶性）：设、弱对偶定理（弱对偶性）：设 和和 分别是分别是问题（问题（P）和（和（D）的

15、可行解，则必有的可行解，则必有例例1、试验证弱对偶性原理。试验证弱对偶性原理。（P）解：解：（D）由观察可知：由观察可知：=（1.1.1.1），），=（1.1），分别是），分别是（P）和（和（D）的可行解。的可行解。=10，=40，故有故有 ，弱对偶定理成立。，弱对偶定理成立。推论推论:若若 和和 分别是问题（分别是问题（P P）和（和（D D）的）的可行解，则可行解，则 是（是（D D）的目标函数最小值的一个下的目标函数最小值的一个下界；界；是（是（P P）的目标函数最大值的一个上界。的目标函数最大值的一个上界。定理定理2 2 由观察可知：由观察可知：=（1.1.1.1），），=（1.1），

16、分别是），分别是（P）和（和（D）的可行解。的可行解。CX=10，Yb=40。由推论可知，由推论可知，W 的最小值不能小于的最小值不能小于10，Z 的最大值不的最大值不能超过能超过40。定理定理5 5、对偶性、对偶性.P P有最优解的充要条件是有最优解的充要条件是D D有最优解。有最优解。.若若 X X*和和 Y Y*分别是分别是 P P 和和 D D 的可行解，则的可行解，则它们分别是它们分别是P P和和D D 的最优解的充要条件是的最优解的充要条件是 CXCX*=Y Y*b b。若原问题和对偶问题都有可行解若原问题和对偶问题都有可行解若原问题和对偶问题都有可行解若原问题和对偶问题都有可行解

17、,则它们都有最优解。则它们都有最优解。则它们都有最优解。则它们都有最优解。最优性判别定理：最优性判别定理：若若 X X*和和 Y Y*分别是分别是 P P 和和 D D 的可行解且的可行解且 CXCX*=Y=Y*b b，则则X X*、Y Y*分别是问题分别是问题 P P和和D D 的最优解。的最优解。定理定理4 4、最优性、最优性若原问题有最优解若原问题有最优解若原问题有最优解若原问题有最优解,则对偶问题也一定有最优解，且目则对偶问题也一定有最优解，且目则对偶问题也一定有最优解，且目则对偶问题也一定有最优解，且目标函数值相等。标函数值相等。标函数值相等。标函数值相等。思考：根据定理思考：根据定

18、理4 4如何判断如何判断原问题有（或者没有）最优解？原问题有（或者没有）最优解？定理定理3 无界性：无界性：在一对对偶问题（在一对对偶问题（P P）和（）和（D D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可行；反之不成立。另一个问题不可行；反之不成立。关于无界性有如下结论：关于无界性有如下结论：问题无界问题无界问题无界问题无界无可无可无可无可行解行解行解行解无可无可无可无可行解行解行解行解问题无界问题无界问题无界问题无界对偶问题对偶问题对偶问题对偶问题原问题原问题原问题原问题无界无界如：如：（P）无可无可行解行解（D）例例2 2、已知、已知

19、显然，这两个问题都无可行解。显然，这两个问题都无可行解。推论：在一对对偶问题（推论：在一对对偶问题（P）和（和（D）中，若一个可中，若一个可行（如行（如P），），而另一个不可行，（如而另一个不可行，（如D），），则该可行的则该可行的问题无界。问题无界。练习：（练习：（1）试用对偶性质证明原问题无界。试用对偶性质证明原问题无界。解：解：=（0.0.0）是）是 P 的一个可行解，而的一个可行解，而 D 的第一的第一个约束条件不能成立（因为个约束条件不能成立（因为y1,y2 0)。因此，对偶问题因此，对偶问题不可行，由定理不可行，由定理3推论可知，原问题无界。推论可知，原问题无界。练习：试用对偶理论

20、讨论下列原问题是否有最优解？练习：试用对偶理论讨论下列原问题是否有最优解？（1）（2）答案答案：（：（1）无最优解（无界解）无最优解（无界解）（2）有最优解）有最优解 综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现：况之一出现：.若若 P P 和和 D D 的任意一个有最优解，则另一个也有最优的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等，即解，且目标函数的最优值相等，即有有CXCX*=Y=Y*b b；.一个问题无界，则另一个问题无可行解；一个问题无界，则另一个问题无可行解；.两个都无可行解。两个都无可行解。对偶性质定理总

21、结：对偶性质定理总结：定理定理2弱对偶定理：弱对偶定理：判断原问题（对偶问题）目标函数值的上界判断原问题（对偶问题）目标函数值的上界（下界）。（下界）。定理定理3、4、5：判断原问题（对偶问题）有无最优解。判断原问题（对偶问题）有无最优解。定理定理6互补松弛性定理：互补松弛性定理：根据原问题（或对偶问题）最优解，直接求出根据原问题（或对偶问题）最优解，直接求出对偶问题（或原问题）的最优解。对偶问题（或原问题）的最优解。判断原问题（对偶问题）解的两种对应关系。判断原问题（对偶问题）解的两种对应关系。定理定理6 6、互补松弛定理：、互补松弛定理：在线性规划的最优解中，如果对应某一约束条件的对在线性

22、规划的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；另外，偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；另外，如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量为如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量为零。零。互补松弛定理（松紧定理）描述了线性规划问题互补松弛定理（松紧定理）描述了线性规划问题达到达到最优时最优时，一个问题的，一个问题的变量变量变量变量 和另一个问题和另一个问题约束约束的松紧性的松紧性之间的对应关系：之间的对应关系：如果一个问题的某一变量不等于如果一个问题的某一变量不等于0,0,则对应的另一则对应的另一个问题的约束一定取严格个问题的约束一定取严格等式等式(

23、紧约束紧约束)；如果一个问如果一个问题的某一约束题的某一约束取严格取严格不等式不等式(松约束松约束),),则对应的另一个则对应的另一个问题的变量一定为问题的变量一定为0 0。互补松弛定理：互补松弛定理：在线性规划问题的最优解中：在线性规划问题的最优解中：P（D）D（P）约束条件（或），约束条件（或），则变量则变量=0。变量变量0，则约束条件（则约束条件（=）。）。例例3：见教材：见教材p20y*=(4/5,3/5)Z*=5练习练习1、已知原问题的最优解为、已知原问题的最优解为X*=（50/7，200/7）T，Z*=4100/7 试求对偶问题的最优解。试求对偶问题的最优解。解：解：将将X*=（5

24、0/7，200/7）T代入原问题中，有：代入原问题中，有：所以，根据互补松弛条件，必有所以，根据互补松弛条件，必有y*1=0;又因为又因为x1*、x2*0，因，因此，两个对偶约束取等号，联立方程得此，两个对偶约束取等号，联立方程得到最优解为：到最优解为：Y*=（0，32/7，6/7），），W*=4100/7。(1)(1)3千元千元.（3）不会）不会.因为因为 设备乙的影子价格为设备乙的影子价格为0.例例 加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划 问题问题问题问题 一奶制品加工工厂用牛奶生产一奶制品加工工厂用牛奶生产一奶制品加工工厂用牛奶生产一奶制品加工工厂用牛奶生产A1A1A1A1，A2A2A

25、2A2两两两两种奶制品，一桶牛奶可以在设备甲上用种奶制品，一桶牛奶可以在设备甲上用种奶制品，一桶牛奶可以在设备甲上用种奶制品，一桶牛奶可以在设备甲上用12121212个小时个小时个小时个小时加工成加工成加工成加工成3 3 3 3公斤公斤公斤公斤A1A1A1A1，或者在设备乙上用，或者在设备乙上用，或者在设备乙上用，或者在设备乙上用8 8 8 8小时加工成小时加工成小时加工成小时加工成4 4 4 4公斤公斤公斤公斤A2A2A2A2，根据市场需求，生产的，根据市场需求，生产的，根据市场需求，生产的，根据市场需求，生产的A1A1A1A1，A2A2A2A2全部能全部能全部能全部能售出，且每公斤售出，且

26、每公斤售出，且每公斤售出，且每公斤A1A1A1A1获利获利获利获利24242424元，每公斤元，每公斤元，每公斤元，每公斤A2A2A2A2获利获利获利获利16161616元。元。元。元。现在加工厂每天能得到现在加工厂每天能得到现在加工厂每天能得到现在加工厂每天能得到50505050桶牛奶的供应，每天正桶牛奶的供应，每天正桶牛奶的供应，每天正桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为式工人总的劳动时间为式工人总的劳动时间为式工人总的劳动时间为480480480480小时，并且设备甲每小时，并且设备甲每小时，并且设备甲每小时，并且设备甲每天至多能加工天至多能加工天至多能加工天至多能加工1001001

27、00100公斤公斤公斤公斤A1A1A1A1，设备乙的加工能力没，设备乙的加工能力没，设备乙的加工能力没，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。利最大。利最大。利最大。用用x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2 获利获利 243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 劳动时间劳动时间 加工能力加工能力 决策变量决策变量 目标函数目标函数 每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 线性规划模型线性规划模型(1

28、)生产：生产：x1公斤公斤A1 x2公斤公斤A2 获利获利 24x1 获利获利 16 x2 原料供应原料供应 劳动时间劳动时间 加工能力加工能力 决策变量决策变量 目标函数目标函数 每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 线性规划模型线性规划模型(2)模型（模型（1）：）：结果说明：结果说明：1 1、x*x*1 1=20=20，x*x*2 2=30=30，最优值，最优值z*=3360z*=3360；即用即用2020桶牛奶生产桶牛奶生产A A1 1 6060公斤，公斤，3030桶牛奶生桶牛奶生产产A A2 2 120120公斤，可获最大利润公斤，可获最大利润33603360元。元。2

29、2、原问题松弛变量、原问题松弛变量:x x3 3*=0,x=0,x4 4*=0,x=0,x5 5*=40=403 3、影子价格（对偶最优解）、影子价格（对偶最优解）:y y1 1*=48,y=48,y2 2*=2,y=2,y3 3*=0=0进一步讨论进一步讨论：（1 1）若用）若用3535元可以买到元可以买到1 1桶牛奶，应否桶牛奶，应否作这项投资？作这项投资？（2 2）若可以聘临时工以增加劳动时间，）若可以聘临时工以增加劳动时间，付给临时工的工资最多是每小时几元？付给临时工的工资最多是每小时几元？2.52.5 灵敏度分析灵敏度分析“灵敏度分析灵敏度分析”（Sensitivity Analys

30、isSensitivity Analysis)，是对系统因周围条件的变化显示出来的敏感性是对系统因周围条件的变化显示出来的敏感性程度的分析。程度的分析。线性规划问题线性规划问题灵敏度分析主要关注的是：灵敏度分析主要关注的是：当初始参数（如：当初始参数（如：c cj j或或b bi i)发生变化时，最发生变化时，最优基、最优解、最优值、检验数会怎样变化优基、最优解、最优值、检验数会怎样变化？初始参数在什么范围内变化时，初始参数在什么范围内变化时，最优解性最优解性质质会保持不变。会保持不变。当当某个某个初始参数初始参数c cj j在一定范围内变动时，在一定范围内变动时，最优基不变，最优解不变，最优

31、基不变，最优解不变，最优值变化，检最优值变化，检验数变化。验数变化。当当某个某个初始参数初始参数b bi i在一定范围内变动时，在一定范围内变动时，最优基不变，最优基不变，最优解变化，最优值变化，最优解变化，最优值变化，检检验数不变。验数不变。例例 加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划 问题问题问题问题 一奶制品加工工厂用牛奶生产一奶制品加工工厂用牛奶生产一奶制品加工工厂用牛奶生产一奶制品加工工厂用牛奶生产A1A1A1A1，A2A2A2A2两两两两种奶制品，一桶牛奶可以在设备甲上用种奶制品，一桶牛奶可以在设备甲上用种奶制品，一桶牛奶可以在设备甲上用种奶制品，一桶牛奶可以在设备甲上用1212

32、1212个小时个小时个小时个小时加工成加工成加工成加工成3 3 3 3公斤公斤公斤公斤A1A1A1A1，或者在设备乙上用，或者在设备乙上用，或者在设备乙上用，或者在设备乙上用8 8 8 8小时加工成小时加工成小时加工成小时加工成4 4 4 4公斤公斤公斤公斤A2A2A2A2，根据市场需求，生产的，根据市场需求，生产的，根据市场需求，生产的，根据市场需求，生产的A1A1A1A1，A2A2A2A2全部能全部能全部能全部能售出，且每公斤售出，且每公斤售出，且每公斤售出，且每公斤A1A1A1A1获利获利获利获利24242424元，每公斤元，每公斤元，每公斤元，每公斤A2A2A2A2获利获利获利获利16

33、161616元。元。元。元。现在加工厂每天能得到现在加工厂每天能得到现在加工厂每天能得到现在加工厂每天能得到50505050桶牛奶的供应，每天正桶牛奶的供应，每天正桶牛奶的供应，每天正桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为式工人总的劳动时间为式工人总的劳动时间为式工人总的劳动时间为480480480480小时，并且设备甲每小时，并且设备甲每小时，并且设备甲每小时，并且设备甲每天至多能加工天至多能加工天至多能加工天至多能加工100100100100公斤公斤公斤公斤A1A1A1A1，设备乙的加工能力没，设备乙的加工能力没，设备乙的加工能力没，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使

34、每天获有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。利最大。利最大。利最大。模型（模型（1）：）：结果说明：结果说明：1 1、目标函数系数目标函数系数 c1c1在在6464，9696范围内变化，最优解不变。范围内变化，最优解不变。c2c2在在4848，7272范围内变化，最优解不变。范围内变化，最优解不变。2 2、约束右端常数项约束右端常数项 b1b1在在4343，6060范围内变化，影子价格不变。范围内变化，影子价格不变。b2b2在在400400，533533范围内变化，影子价格不变。范围内变化，影子价格

35、不变。b3b3在在6060，+）范围内变化，影子价格不变。）范围内变化，影子价格不变。奶制品加工的灵敏度分析奶制品加工的灵敏度分析 （1 1）由于市场需求变化，每公斤）由于市场需求变化，每公斤A A1 1的获利增加到的获利增加到 3030元，应否改变生产计划？元，应否改变生产计划？c1系数由系数由24 3=72增加增加为为30 3=90，在，在允许允许范围范围64,96内，因此不改变生产计划。内，因此不改变生产计划。若用若用3535元可以买到元可以买到1 1桶牛奶，应作这项投桶牛奶，应作这项投资。资。（因为牛奶的影子价格是（因为牛奶的影子价格是4848）若可以聘临时工以增加劳动时间，付给若可以聘临时工以增加劳动时间，付给临时工的工资最多是每小时临时工的工资最多是每小时2 2元。元。根据影子价格我们已知：根据影子价格我们已知：（2 2）若用）若用3535元买到元买到1 1桶牛奶，每天最多购买多少桶桶牛奶，每天最多购买多少桶牛奶？牛奶？奶制品加工的灵敏度分析奶制品加工的灵敏度分析（2）60-50=10，最多买，最多买10桶。桶。n n练习