信号与系统课件30.ppt

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1、12.1引引言言1状态方程的一般形式和建立方法概述状态方程的一般形式和建立方法概述2由电路图直接建立状态方程由电路图直接建立状态方程12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立1输入输出法（端口法）输入输出法（端口法）2状态变量分析法状态变量分析法3状态变量分析法优点状态变量分析法优点4名词定义名词定义复习复习3.由微分方程导出状态方程由微分方程导出状态方程12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立本次课的主要内容本次课的主要内容4将系统函数分解建立状态方程将系统函数分解建立状态方程12.3连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解1用拉普拉斯变

2、换法求解状态方程用拉普拉斯变换法求解状态方程 2用时域法求解状态方程用时域法求解状态方程12.6 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换1在线性变换下状态方程的特在线性变换下状态方程的特2系统转移函数阵在线性变换下是不变的系统转移函数阵在线性变换下是不变的3A矩阵的对角化矩阵的对角化4由状态方程判断系统的稳定性由状态方程判断系统的稳定性12.712.7系统的可控制性与可观测性系统的可控制性与可观测性1系统的可控性定义、判别法系统的可控性定义、判别法 2系统的可观性定义、判别法系统的可观性定义、判别法3可控、可观性与系统转移函数之关系可控、可观性与系统转移函数之关系（二）用流图的串联结构形式列状态

3、方程（二）用流图的串联结构形式列状态方程 四将系统函数分解建立状态方程四将系统函数分解建立状态方程 将系统函数的分母分解因式，可以对应构成将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并联或串联形式的流图结构，即可列出不同形并联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式的状态方程。式的状态方程。（一）用流图的并联结构形式列状态方程（一）用流图的并联结构形式列状态方程 12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立系统状态方程间接编写的一般步骤：系统状态方程间接编写的一般步骤：（1)根据给定系统的表示方式（微分方程、冲激响根据给定系统的表示方式（微分方程、冲激响应、系统函数），模拟出系统的信

4、号流图（直接型、应、系统函数），模拟出系统的信号流图（直接型、级联型、并联型）；级联型、并联型）；（2)确定状态变量的个数，它确定状态变量的个数，它等于系统的阶数等于系统的阶数；（3)依据系统的信号流图，选择积分器的输出作为状依据系统的信号流图，选择积分器的输出作为状态变量；态变量；（4)根据信号流图的运算规则，列写状态方程和输出根据信号流图的运算规则，列写状态方程和输出方程，并写成矩阵形式；方程，并写成矩阵形式；12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立解：解：(1)直接型直接型根据上述系统函数可以画出如下流图：根据上述系统函数可以画出如下流图：例：分别给出用直接型、级联

5、型和并联型结构实现下式所示例：分别给出用直接型、级联型和并联型结构实现下式所示系统的状态方程和输出方程。系统的状态方程和输出方程。12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立写成矩阵形式：写成矩阵形式：12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立(2)级联型级联型根据上式可以画出如下流图：根据上式可以画出如下流图：写成矩阵形式：写成矩阵形式：12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立(3)并联型并联型根据上式可以画出如下流图：根据上式可以画出如下流图：x(t)y(t)3-41/s1/s1/s12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统

6、状态方程的建立12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立x(t)y(t)3-41/s1/s1/s例例12-5：用并联结构形式列写下列系统的状态方程和输：用并联结构形式列写下列系统的状态方程和输出方程。出方程。解：解：根据上式可以画出如下流图：根据上式可以画出如下流图：12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立写成矩阵形式：写成矩阵形式：12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立时域方法时域方法借助计算机借助计算机

7、变换域方法变换域方法简单简单由状态方程求系统函数由状态方程求系统函数12.3 12.3 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解一用拉普拉斯变换法求解状态方程一用拉普拉斯变换法求解状态方程 方程方程，起始条件，起始条件方程两边取拉氏变换方程两边取拉氏变换整理得整理得12.3 12.3 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解因而时域表示式为因而时域表示式为可见，在计算过程中最关键的一步是求可见，在计算过程中最关键的一步是求。12.3 12.3 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解若系统为零状态的，则若系统为零状态的，则则系统的转移函数矩阵为则系统的转移函

8、数矩阵为是第是第i个输出分量对第个输出分量对第j个输入分量的转移函数。个输入分量的转移函数。12.3连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解 1 1矩阵指数矩阵指数 的定义的定义二用时域法求解状态方程(一)矩阵指数式中式中 为为 方阵方阵,也是一个也是一个 方阵方阵2.2.主要性质主要性质12.3 12.3 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解(二)用时域方法求解状态方程 1.1.求状态方程和输出方程求状态方程和输出方程若已知若已知并给定起始状态矢量并给定起始状态矢量对式对式(1)两边左乘两边左乘，移项有，移项有(1)化简，得化简，得12.3 12.3 连续时间系统

9、状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解两边取积分，并考虑起始条件，有两边取积分，并考虑起始条件，有 对上式两边左乘对上式两边左乘，并考虑到，可得，并考虑到，可得为方程的一般解为方程的一般解求输出方程求输出方程r(t)12.3连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解依此原理，将依此原理，将无穷项之和的表示式中高于无穷项之和的表示式中高于次的各项次的各项全部化为全部化为幂次的各项之和，经整理后即可将幂次的各项之和，经整理后即可将化化为有限项之和为有限项之和对于对于 方阵方阵A有如下特性：有如下特性：凯莱凯莱-哈密顿定理（哈密顿定理（Cayley-Hamitontheorem）：）：也

10、也即即，对对于于，可可利利用用以以下下幂幂次次的的各各项项之之和和表表示示，式中，式中为各项系数。为各项系数。(2)(3)12.3连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解式中各系数式中各系数c都是时间都是时间t 的函数，为书写简便省略了的函数，为书写简便省略了变量变量t。按按照照凯凯莱莱-哈哈密密顿顿定定理理，将将矩矩阵阵A的的特特征征值值代代入入式式(2)后后，方方程程仍仍满满足足平平衡衡，利利用用这这一一关关系系可可求求得得式式(3)中中的的系数系数c，最后解出最后解出。具体计算步骤：具体计算步骤：求矩阵求矩阵A的特征值；的特征值；将各特征值分别代入式（将各特征值分别代入式（3

11、 3），求系数），求系数c。12.3连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解第一种情况A的特征值各不相同，分别为的特征值各不相同，分别为 ，代入式，代入式(3)有有 (4)12.3 12.3 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解第二种情况若若A的特征根的特征根具有具有m阶重根，则重根部分方程为阶重根，则重根部分方程为其其他他非非重重根根部部分分与与式式(4)相相同同处处理理，两两者者联联立立解得要求的系数。解得要求的系数。(5)12.3 12.3 连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解12.6 12.6 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换从状态变量的

12、选择看出，同一系统可以选择不从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在同的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取着变换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有了不同的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形式，因此，对同一系统而言，以各种形式不同的形式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种线表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于简化系统分析是很有用的。性变换，对于简化系统分析是很有用的。一在线性变换下状态方

13、程的特性一在线性变换下状态方程的特性矢量形式矢量形式 12.6 12.6 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换系数间的关系系数间的关系设原基底下状态方程表示为设原基底下状态方程表示为 经变换后经变换后或或系数间的关系系数间的关系12.6 12.6 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换二系统转移函数阵在线性变换下是不变的二系统转移函数阵在线性变换下是不变的从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此用不同基底表示时，并不

14、影响系统的物理本质，因此对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是不变的：不变的：上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，结论同样适用于离散系统。结论同样适用于离散系统。12.6 12.6 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换三三A矩阵的对角化矩阵的对角化在线性变换中，使在线性变换中，使A阵的对角化是很有用的变换。阵的对角化是很有用的变换。A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可这种结构形式的每

15、一状态变量之间互不影响，因而可以独立研究系统参数对状态变量的影响。以独立研究系统参数对状态变量的影响。在线性代数中已经分析了在线性代数中已经分析了A矩阵的对角化。实际上矩阵的对角化。实际上就是以就是以A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A矩矩阵对角化所需要的线性变换就是寻求阵对角化所需要的线性变换就是寻求A矩阵的特征矢量，矩阵的特征矢量，以次构作变换阵以次构作变换阵P，即可把状态变量相互之间分离开。，即可把状态变量相互之间分离开。12.6 12.6 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换四由状态方程判断系统的稳定性四由状态方程判断系统的稳定性用系统转移函数来

16、描述系统时，系统的转移函数用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状态方程，则由态方程，则由A阵的对角化分析可知，阵的对角化分析可知，A矩阵对角化矩阵对角化后其对角元素是后其对角元素是A矩阵的特征值，特征值决定了系统矩阵的特征值，特征值决定了系统的自由运动情况。因此可根据的自由运动情况。因此可根据A矩阵的特征值来判断矩阵的特征值来判断系统的稳定情况。系统的稳定情况。连续系统稳定性的判断连续系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断 12.6 12.6 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换连

17、续系统稳定性的判断连续系统稳定性的判断这需要解方程这需要解方程转移函数分母的特征多项式转移函数分母的特征多项式此方程的根在此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。平面的左半平面，可确定系统为稳定的。12.6 12.6 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换离散系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似，即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似，A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相

18、同。位置相同，所以他们的判定准则也相同。对于离散系统要求系统稳定，则要求对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值矩阵的特征值12.6 12.6 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换系统的可控性定义、判别法系统的可控性定义、判别法系统系统的可观性定义、判别法的可观性定义、判别法可控、可观性与系统转移函数之关系可控、可观性与系统转移函数之关系12.712.7系统的可控制性与可观测性系统的可控制性与可观测性一一系统的可控性定义、判别法系统的可控性定义、判别法 可控性可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即

19、控制矢量），在有限的时间之内把可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则完全可控制的。如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可控制。系统不完全可控制。判别法判别法1.1.根据状态方程的参数矩阵判别根据状态方程的参数矩阵判别即即:当当为对角阵形式时为对角阵形式时,中的中的0 0元素对应不可控因素。元素对应不可控因素。设系统的状态方程设系统的状态方程12.712.7系统的可控制性与可观测性系统的可控制性与可观测性2

20、.2.可控阵满秩判别法可控阵满秩判别法即即:若有若有,则连续系统完全则连续系统完全可控的充要条件是可控的充要条件是:矩阵满秩。矩阵满秩。称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。3.3.单输入、单输出系统可控性的单输入、单输出系统可控性的 矩阵约当规范型判据矩阵约当规范型判据即：若在即：若在为约当规范为约当规范型中，与每个约当块最后一行型中，与每个约当块最后一行相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。12.712.7系统的可控制性与可观测性系统的可控制性与可观测性二系统的可观性定义、判别法二系统的可观性定义、判别法可观性可观

21、性当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时间间隔内间间隔内根据系统输出惟一地确定系统的所有根据系统输出惟一地确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分起起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。始状态，则系统不完全可观。可观性判别法可观性判别法1.1.根据状态方程的参数矩阵判别根据状态方程的参数矩阵判别设系统的状态方程设系统的状态方程即即:当当为对角阵形式时为对角阵形式时,中的中的0 0元素对应不可观现象。元素对应不可观现象。12.712.7系统的可控制性与可观测性系统的可控制性与可观测性2.2.

22、可观阵满秩判别法可观阵满秩判别法即即:若有若有,则连续系统完全则连续系统完全可观的充要条件是可观的充要条件是:矩阵满秩。矩阵满秩。称为系统的可判别矩阵，即可观阵。称为系统的可判别矩阵，即可观阵。3.3.单输入、单输出系统可观性的单输入、单输出系统可观性的 矩阵约当规范型判据矩阵约当规范型判据即：若在即：若在为约当规范型中，与每个约当块第一行为约当规范型中，与每个约当块第一行相应的那些列不含零元素，则系统完全可观。相应的那些列不含零元素，则系统完全可观。12.712.7系统的可控制性与可观测性系统的可控制性与可观测性三可控、可观性与系统转移函数之关系三可控、可观性与系统转移函数之关系由转移函数表

23、达式：由转移函数表达式：经非奇异变换而对角化：经非奇异变换而对角化：暂且不考虑与输入信号直接相联系的暂且不考虑与输入信号直接相联系的，则有：，则有：12.712.7系统的可控制性与可观测性系统的可控制性与可观测性上式展开为：上式展开为：得出结论：得出结论：1.若系统不完全可控或不完全可观若系统不完全可控或不完全可观,则则s域上表现为域上表现为必有零极点相消现象。必有零极点相消现象。2.2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观部转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动规律。分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动规律。（因为零极点相消

24、部分必定是不可控或不可观部分，而（因为零极点相消部分必定是不可控或不可观部分，而留下的是可控或可观部分）留下的是可控或可观部分）12.712.7系统的可控制性与可观测性系统的可控制性与可观测性12.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立小结小结4系统函数分解建立状态方程系统函数分解建立状态方程12.3连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解1用拉普拉斯变换法求解状态方程用拉普拉斯变换法求解状态方程 2用时域法求解状态方程用时域法求解状态方程12.6 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换1在线性变换下状态方程的特在线性变换下状态方程的特2系统转移函数阵在线性变换下是不变的系统转移函数阵在线性变换下是不变的3A矩阵的对角化矩阵的对角化4由状态方程判断系统的稳定性由状态方程判断系统的稳定性12.712.7系统的可控制性与可观测性系统的可控制性与可观测性1系统的可控性定义、判别法系统的可控性定义、判别法 2系统的可观性定义、判别法系统的可观性定义、判别法3可控、可观性与系统转移函数之关系可控、可观性与系统转移函数之关系思考题思考题1.拉氏解法求解状态方程的基本原理是拉氏解法求解状态方程的基本原理是?2.统的可控制性与可观测性与系统函数的关系统的可控制性与可观测性与系统函数的关系?作业作业下册下册P36512-1012-12