二重积分的计算(2).ppt

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1、第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算(2)(2)二、二、用极坐标计算二重积分用极坐标计算二重积分二、二、用极坐标计算二重积分用极坐标计算二重积分在直角坐标系下，若把积分区域看作在直角坐标系下，若把积分区域看作X型，型，计算量较大计算量较大.须划分为四个子域，须划分为四个子域，注意到圆的极坐标表示，注意到圆的极坐标表示，考虑在极坐标下求二重积分考虑在极坐标下求二重积分.其中其中 为点为点P到极点到极点O的距离的距离,直角坐标与极坐标的关系为直角坐标与极坐标的关系为：是由是由极点极点O和和极轴极轴OA组成组成,=常数常数,（同心圆族）（同心圆族）=常数常数,（从从O出发出发射线族射线族）为为

2、OA到到OP的夹角的夹角,点点P坐标坐标若令极点与若令极点与xoy直角坐标系直角坐标系极坐标系极坐标系的原点重合的原点重合,x轴取为极轴，则轴取为极轴，则极坐标下极坐标下面积元素面积元素用极坐标曲线网用极坐标曲线网=常数常数,（同心圆族）（同心圆族）=常数常数,（射线族（射线族）来划分积分域，规则的子域来划分积分域，规则的子域的面积的面积弧长弧长高阶项高阶项 略去略去由直角坐标和极坐标的对应关系，得到由直角坐标和极坐标的对应关系，得到二重积分在极坐标下的形式二重积分在极坐标下的形式 于是得到在极坐标下于是得到在极坐标下二重积分化为二次积分二重积分化为二次积分的公式：的公式：若积分区域若积分区域

3、D：或写作或写作若若极点在极点在D的内部的内部则则D可以用不等式表示可以用不等式表示:这时有这时有若若D由两条封闭曲线围成（如图），则由两条封闭曲线围成（如图），则前例：前例：直直角角坐坐标标极极坐坐标标解解利用利用 把积分区域的边界曲把积分区域的边界曲线化为极坐标形式：线化为极坐标形式：解解于是于是例例9 9 计算计算 ，其中，其中D是以是以解解 D可以表示成可以表示成原点为圆心，半径为原点为圆心，半径为a的圆域的圆域.问题问题本题为何不用直角坐标计算？本题为何不用直角坐标计算？如何计算广义积分如何计算广义积分请自行看教材回答：请自行看教材回答：用极坐标用极坐标解解例例11 计算计算 其中其

4、中D 为为 解解所以所以D可表示为可表示为圆的方程：圆的方程：和和x轴所围成的区域，轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义并说明该积分的几何意义.表示成极坐标形式：表示成极坐标形式：于是，利用极坐标得于是，利用极坐标得：几何意义几何意义圆柱面圆柱面是球面是球面小结小结一、利用直角坐标一、利用直角坐标若若D为为（Y型）型）：若若D（X型）型）：计算二重积分化为二次积分计算二重积分化为二次积分改变二次积分的次序的步骤改变二次积分的次序的步骤：X型域型域积分区域积分区域DY型域型域按题目要求按题目要求二、利用极坐标二、利用极坐标若积分区域若积分区域 当积分区域为当积分区域为(部分部分)圆、扇形或扇面圆、扇形或扇面等等常用常用极坐标极坐标计算计算.形状时，函数含有形状时，函数含有直角坐标与极坐标的关系：直角坐标与极坐标的关系：用极坐标计算二重积分时，常常需要将用极坐标计算二重积分时，常常需要将用直角坐标表示的区域化为极坐标的表示用直角坐标表示的区域化为极坐标的表示.注意注意作作 业业p.95 习题习题9210;13.(2);(4);14.(2);(3);15.(3);(4);16.