中国石油大学版 概论课件 第二章34节a.ppt

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1、2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数X012P0.10.60.3)aX(P)x(F)xX(P=2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念.定义定义 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事件事件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为。记为F(x)，即即 F(x)P X x.对于任意的实数对于任意的实数a,b a b.F(a)P X aF(b)P X bF(b)-F(a)P aX bF(a)F(b)X012P0.10.60.3二、分布函数的性质二、分布函数的性质 1、单调不减性单

2、调不减性：若：若x1x2,则则F(x1)F(x2);2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x)1，且且 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。解解 X012P0.1 0.6 0.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。例例2 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐标表示质点坐标.假定假定质点落在质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区区间内任一子区间内的

3、概率与区间长成正比间长成正比，求，求X的分布函数的分布函数.当当x1时时,F(x)=1当当0 x1时时,特别,F(1)=P0X1=k=1解：解：F(x)=PXx解：例例3、一个靶子是半径为、一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设射一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以击都能中靶，以 表示弹着点与圆心的距离。试求表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量随机变量 的分布函数。的分布函数。1.定义定义 对于随机变量对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，若存在若存在非负函数非负函数f(x)，(-x+)，使使得得对任

4、意实数对任意实数x，都有都有2.42.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度一、概率密度一、概率密度则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)为为X的的概率密度概率密度函数函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为常记为 X f(x),(-x+)密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为2.密度函数的性质密度函数的性质 (1)非负性非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性归一性性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质；设随机变量X的概率密度为求常数a.答答:解解:思考：思考：(3)若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则

5、设随机变量X的分布函数为求f(x)思考：思考：？（4 4）对任意实数对任意实数a，若若X X f(x)f(x)，(-(-x )，则则PX=PX=a 0 0。于是于是注注:事件事件X=a并非不可能事件，但是在并非不可能事件，但是在X是连续型随机变量时，是连续型随机变量时，PX=a=0 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题我们所关心的是它在某一区间上取值的问题此此公式非常重要！公式非常重要！解：解：P X(0.5,1.5)(0.5,1.5

6、)例例2 2 设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为解：解：由密度函数的性质由密度函数的性质例例 3某电子元件的寿命某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量求为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元个同类型的元件在使用的前件在使用的前 150 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率.解：解：设设 A=某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小时内需要更换小时内需要更换例例 3（续）（续）检验检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重重Bernoulli试验

7、试验设设 Y 表示表示5 个元件中使用寿命不超过个元件中使用寿命不超过150小时小时 的元的元件数，件数，故所求概率为故所求概率为二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1.均匀分布均匀分布 若Xf(x)则称则称X在在(a,b)内服从内服从均匀分布。记作均匀分布。记作 XU(a,b)对任意实数对任意实数c,d(acd00的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为特点：指数分布的无记忆性特点：指数分布的无记忆性对任意的对任意的s,t 0.有有PPX s+t|X s=P=PX t 证明：左边证明：左边=PX=PXs+t|X s=P(X s+t)()(Xs)/Ps)/PXss=PXXs

8、+t/P/PX s=1-=1-F(s+t)/1-)/1-F(s)=1-=1-F(t)=P)=PX t 例例 6例例6（续）（续）令：令：B=等待时间为等待时间为1020分钟分钟 解解:解:当t 0时，当t 0时，=1-=1-在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥 于是3.正态分布正态分布ABA A，B B间真实距离为间真实距离为，测量值为，测量值为X X。X X的概率密的概率密度应该是什么形态？度应该是什么形态？测量值测量值X X是一个随即变量，在真实值是一个随即变量，在真实值 的周围随机取值的周围随机取值 。其中其中 为实数，为实数，0，则称，则称r.v.X服从参数为服从参数为 ,的

9、的正态分布正态分布,记为记为N(,2)，可表为可表为XN(,2).定义定义：若连续型随机变量若连续型随机变量+-=-xexfXx,21)(222)(s sm ms sp p(1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于密度曲线关于 直线直线x=对称对称；.正态分布的特性正态分布的特性：f()maxf(x)+-=-xexfXx,21)(222)(s sm ms sp p（3 3）在）在 处曲线有拐点。处曲线有拐点。曲线以曲线以o ox x轴为渐近线。轴为渐近线。4.标准正态分布标准正态分布 参数参数 0，21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0,1)。分布函数表示为分布

10、函数表示为其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅布表供读者查阅(x)的值。的值。若若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则 N(0,1)标准正态分布的标准正态分布的4个重要性质个重要性质该公式给出了一般正态分该公式给出了一般正态分布分布函数值的求法布分布函数值的求法密度函数的验证密度函数的验证为此，我们只需证明：为此，我们只需证明：则有则有，作极坐标变换：作极坐标变换：q qq qsinco

11、sryrx=设设随机变量随机变量XN(-1,22),P-2.45X3|X|3的值的值.如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值33 作两作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报时发出警报.表明生产出现异常表明生产出现异常.（4）上）上 分位点分位点r.v.XN(0,1).若 满足PX =(0 1),则称点 为标准正态分布的上 分位点。性质性质：正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之正态分布是自然界及工程

12、技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分步的重要性：正态分步的重要性：例例9 9：一种电子元件

13、的使用寿命（小时）服从正态：一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布分布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个元个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初求：使用的最初9090小时内小时内无一元件损坏的概率无一元件损坏的概率.解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数,故则YB(3,p)其中例例 1010例例11 离散型离散型 连续型连续型 定理及其应用定理及其应用5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布随机变量的函数随机变量的函数设设X是是一个离散型随机变量，分布律

14、为一个离散型随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若若yg(x)是一单值实函数，则是一单值实函数，则Yg(X)也是一个随机也是一个随机变量。求变量。求Y的的分布律分布律.例例:已知已知XPk-1 0 1求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 或或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地一般地XPkY=g(X)设随机变量设随机变量 X 具有以下的分布律，试求具有以下的分布律，试求 Y=(X-1)2 的分布律的分布律.pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4 解解:Y 的所有可能取值为的所

15、有可能取值为 且且 Y=0 对应于对应于(X-1)2=0，解得解得 X=1，例例 1 10，1，4.所以所以,PY=0=PX=1=0.1,同理同理,PY=1PY=4pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，所以，Y=(X-1)2 的分布律为：的分布律为：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)2=PX=0+PX=2=0.3+0.4=0.7,=PX=-1=0.2,二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数 1 1、一般方法、一般方法 若若Xf(Xf(x),-),-x+,Y=g(X),Y=g(X)为随机变量为随机变量X X 的函的函数，则可先求数

16、，则可先求Y Y的分布函数的分布函数 FY(y)PY yP g(X)y 然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“分布函数法分布函数法”（1）当）当y0时时（3）当）当0y1时时（2）当）当y1时时解：解：设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度：概率密度：试求试求 Y=X-4 的概率密度的概率密度.解：解：(1)先求先求 Y=X-4 的分布函数的分布函数 FY(y)：例例 4 4例例 4 4（续）（续）整理得整理得 Y=X-4 的概率密度为的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式本例用到变限的定积分的求导公式设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度概率密度求求 Y=|X

17、|的概率密度的概率密度.解：解：(1)先求先求 Y=|X|的分布函数的分布函数 FY(y)：例例 5例例 5 5（续）（续）定理定理 设随机变量设随机变量 X 的概率密度在的概率密度在则则 Y=g(X)是是一个连续型随机变量一个连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为其它区间为零其它区间为零证明：证明：Y=g(X)在在 内取值。内取值。证明：证明：Y=g(X)在在 内取值。内取值。的概率密度的概率密度关于关于x严单严单,反函数为反函数为故故例例7 7 设设XU(0,1),XU(0,1),求求Y=Y=aX+b的概率密度的概率密度.(.(a0)0)解解:Y=Y=aX+X+b关于关于x严单严单,反函

18、数为反函数为故故而而故故例例8解：解：例例8解：解：证证:X 的概率密度为的概率密度为例例 9 9由定理的结论得：由定理的结论得：小结.习题课习题课一、填空：一、填空：1.设随机变量设随机变量X服从服从参数为（参数为（2,p）的二项分布，的二项分布，随机变量随机变量Y服从参数（服从参数（3,p）的二项分布，若的二项分布，若 ，则则PY1=2.设随机变量设随机变量X服从（服从（0，2）上的均匀分布，则）上的均匀分布，则随机变量随机变量Y=X2在（在（0，4）内的密度函数为）内的密度函数为fY(y)=3.设随机变量设随机变量XN（2，2 2），且），且P（2X4）=0.3，则，则P(X0)=5.5.设有设有2020个零件，其中个零件，其中1616个是一等品，个是一等品，4 4个是二等品，今从个是二等品，今从中任取中任取3 3个，则至少有一个是一等品的概率是个，则至少有一个是一等品的概率是 .4.,求：求：Y=1-XY=1-X2 2的概率密度的概率密度