大数定律和中心极限定理.ppt

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1、第第5章章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理5.1 大数定律大数定律5.2 中心极限定理中心极限定理 人人们们在在长长期期的的实实践践中中发发现现，事事件件发发生生的的频频率率具具有有稳稳定定性性，也也就就是是说说随随着着试试验验次次数数的的增增多多，事事件件发发生生的的频频率率将将稳稳定定在在一一个个确确定定的的常常数数，即即概概率率值值附附近近频频率率的的稳稳定定性性是是概概率率定定义义的的客客观观基基础础，在在第第一一章章中中我我们们从从直直观观上上描描述述了了这这一一事事实实。本本章章将将用用大大数数定定律对频率的稳定性作出理论上的说明律对频率的稳定性作出理论上的说明 第第

2、5章章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理另外，在前面，我们还看到相互独立的正态随机变另外，在前面，我们还看到相互独立的正态随机变量的和仍是正态随机变量，本章将要介绍的中心极量的和仍是正态随机变量，本章将要介绍的中心极限定理将给出概率论中的另一个重要结果，即在相限定理将给出概率论中的另一个重要结果，即在相当一般的条件下，充分多个相互独立的非正态随机当一般的条件下，充分多个相互独立的非正态随机变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正态分变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正态分布这一事实更说明了正态分布的重要性布这一事实更说明了正态分布的重要性 大大数数定定律律和和中中心心极极限限定

3、定理理无无论论在在应应用用上上还还是是理理论论上都具有极其重要的作用上都具有极其重要的作用第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理【吸烟率调查问题吸烟率调查问题】某某卫卫生生组组织织为为确确定定某某城城市市成成年年男男子子的的吸吸烟烟率率p，将将被被调调查查的的成成年年男男子子中中吸吸烟烟的的频频率率作作为为p的的估估计计，现现在在要要保保证证有有90%以以上上的的把把握握，使使得得调调查查对对象象吸吸烟烟者者的的频频率率与与该该城城市市成成年年男男子子的的吸吸烟烟率率p之之间间的的差差异异不不大大于于5%，问至少要调查多少对象？，问至少要调查多少对象？第五章第五章 大数定律

4、和中心极限定理大数定律和中心极限定理 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 对对某某个个随随机机变变量量X进进行行大大量量的的重重复复观观测测，所所得得到到的的大大批批观观测测数数据据的的算算术术平平均均值值也也具具有有稳稳定定性性，由由于于这这类类稳稳定定性性都都是是在在对对随随机机变变量量进进行行大大量量重重复复试试验验的的条条件件下下呈呈现现出出来来的的，历历史史上上把把这这种种试试验验次次数数很很大大时时出现的规律统称为出现的规律统称为大数定律大数定律 首首先先来来引引进进证证明明大大数数定定律律所所需需要要的的预预备备知知识识契比谢夫契比谢夫（Chebyshev）不等式不等式定定理

5、理5.1 设设随随机机变变量量X的的数数学学期期望望E(X)及及方方差差D(X)都存在，则对于任意正数都存在，则对于任意正数，有不等式，有不等式 (5.1)即即 (5.2)成立成立称上述不等式为契比谢夫（称上述不等式为契比谢夫（Chebyshev）不等式）不等式5.1 大大 数数 定定 律律 证：证：（仅对连续型随机变量进行证明）（仅对连续型随机变量进行证明）设设f(x)为为X的概率密度，记的概率密度，记E(X)=，D(X)=2，则则 从从定定理理中中可可以以看看出出，如如果果D(X)越越小小，那那么么随随机机变变量量X取取值值于于开开区区间间(E(X)，E(X)+)中中的的概概率率就就越越大

6、大，这这也也进进一一步步说说明明方方差差是是一一个个反反映映随随机机变变量量在在其其分分布布中中心心E(X)附附近近集集中中程程度度的的数数量量指指标标，D(X)越越小小，X的的取取值值越集中于越集中于E(X)附近附近5.1 大大 数数 定定 律律 利利用用契契比比谢谢夫夫不不等等式式，我我们们可可以以在在随随机机变变量量X的的分分布布未未知知的的情情况况下下估估算算概概率率值值的的界界限限，当当然然这这个个估估计计是是比比较较保保守守的的如如果果已已经经知知道道随随机机变变量量的的分分布布，所所需需求求的的概概率率可可以以确确切切地地计计算算出出来来，就就没没必必要要利利用用契契比谢夫不等式来做估计了比谢夫不等式来做估计了5.1 大大 数数 定定 律律【例例5-1】若若某某班班某某次次考考试试的的平平均均分分为为80分分，标标准准差差为为10，试估计及格率至少为多少？，试估计及格率至少为多少？解解：用用随随机机变变量量X表表示示学学生生成成绩绩，则则数数学学期期望望E(X)=80，方差，方差D(X)=100，所以，所以P60 X 100 P60 X 100 =P|X 80|1）,则则 证：证：因为因为X1，X2，Xn独立同分布，独立同分布，所以所以 独立同分布。独立同分布。又又 =k存在，由辛钦大数定律：存在，由辛钦大数定律：5.1 大大 数数 定定 律律