定积分与不定积分.ppt

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1、第四章第四章 定积分与不定积分定积分与不定积分第五章第五章 一元函数积分法的应用一元函数积分法的应用第六章第六章 广义积分广义积分第二篇第二篇 一元函数积分学一元函数积分学第四章定积分与不定积分第四章定积分与不定积分第一节定积分第一节定积分第二节不定积分第二节不定积分第三节换元积分法第三节换元积分法第四节分步积分法第四节分步积分法第五节几种特殊类型函数的积分第五节几种特殊类型函数的积分第一节定积分 一、引例一、引例 例、曲边梯形的面积例、曲边梯形的面积 设函数设函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上非负、连续，求曲线上非负、连续，求曲线y=f(x),y=f(x),直线直线x=a,x=b

2、,y=0 x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积围成的曲边梯形的面积0 a=x0 x1 x2 xi-1 i xi xn-1 xn=b x y=f(x)y例、变速直线运动的路程设质点以速度（t）沿直线运动，求质点在时间间隔a,b内所走过的路程1、定义设函数f(x)在区间a,b上有界，任取一点a=x0 x1xn-1=0时，（2）当f(x)连续且f(x)=0，则推论1 如果f(x)，g(x)在a,b 上可积，且f(x)=g(x)，则推论2 如果f(x)在a,b 上可积，则性质5Th7 6、性质6Th8（估值定理）如果f(x)在a,b 上可积，最大值、最小值分别为M，m，则7、性质7Th9（积分中

3、值定理）如果f(x)在a,b 上连续，则至少存在一点 ，使得五、定积分的计算1 1、变上限积分、变上限积分设设f(x)f(x)在在 a,b a,b 上连续，则上连续，则叫做变上限函数。叫做变上限函数。2 2、Th10 Th10 如果如果f(x)f(x)在在 a,b a,b 上连续，则上连续，则可积，且可积，且 。3、原函数设 ，则称F（x）是f(x)的一个原函数。显然，因此是f(x)的原函数的一般表达式。4、New-Leibniz公式Th11 如果f(x)在a,b 上连续，F（x）是f(x)的一个原函数，那么例6、求下列函数的导数（1）（2）（3）解 （1）（2）（3）一、不定积分的概念一、不

4、定积分的概念1 1、定义、定义 如果如果F(x)F(x)是是f(x)f(x)的一个原函数，的一个原函数，C C是任意常数，则是任意常数，则F(x)+CF(x)+C叫叫做做f(x)f(x)的不定积分，记为的不定积分，记为 ，其中其中 叫做积叫做积分号，分号，f(x)f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，x x叫做积分变量，叫做积分变量，C C叫做积分常数。叫做积分常数。2 2、不定积分的性质、不定积分的性质（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）第二节 不定积分第三节 换元积分法一、第一换元法定理一（第一换元法）设 又u=(x)可导，且(x)连续，则第四节 分部积分法定理2、设u=u(x)和v=v

5、(x)在a,b上有连续导数，则有定积分的分步积分公式第五节 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数即具有如下形式的函数其中，其中，mm和和n n都是非负整数，都是非负整数，a a0 0,a,a1 1,a,an n及及b b0 0,b,b1 1,b bmm都是实数，都是实数，并且并且a an n*b*bmm0.0.二、三角函数的有理式积分三角函数的有理式一般可记作R（sinx,cosx）,其中R（u,v）表示两个变量u和v的有理式。三、某些简单无理函数的积分第五章 一元函数

6、积分法的应用第二节 平面图形的面积一、直角坐标系中的面积公式：一、直角坐标系中的面积公式：若若f(x)f(x)在在 a,ba,b上变号，则由曲线上变号，则由曲线 y=f(x)y=f(x)，x x轴轴及直线及直线x=a,x=bx=a,x=b所围成图形的面积为所围成图形的面积为一般，设平面图形由曲线y=f(x),y=g(x)及直线x=a,x=b围成，如果在区间a,b上A点有f(x)=g(x)，则其面积为：同样，若平面图形由直线y=c,y=d及两曲线x=(y),x=(y)围成且(y)=(y),则面积0 c(1,0)x y y B0 1 x 图5.2.4图5.2.3当边界曲线用参数方程给出时，设曲线梯

7、形的曲边为参数方程假定当x从 a变到b时，相应地有t从变到，则曲边梯形的面积例3、求椭圆 的面积A。解：由对称性二、极坐标系中的面积公式 设平面图形的边界曲线的极坐标方程设平面图形的边界曲线的极坐标方程 ，如图，如图5.2.55.2.5，则曲边扇形的面积，则曲边扇形的面积 特别，当边界曲线特别，当边界曲线 包含极点在其内部，此时包含极点在其内部，此时则则0MN图5.2.5例4、求心形线 所围图形的面积。解：由对称性第三节 体积一、平行截面面积为已知的立体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积设有一几何体，它由垂直于设有一几何体，它由垂直于x x轴的平面轴的平面x=ax=a和和x=b(ab)x

8、=b(ab)及曲面及曲面围成（图围成（图5.3.15.3.1），并），并且垂直于且垂直于x x轴的平面与该几何体相截的截面轴的平面与该几何体相截的截面积是已知连续函数积是已知连续函数A A（x x）（）（a=x=ba=xa0).解：如图5.3.4，设由连续曲线y=f(x)(f(x)=0)，直线x=a，x=b及y=0围成的曲边梯形绕y轴旋转一周，则所得旋转体体积y=f(x)0 a b xy例4、求曲线y=sinx (0=x=2)与x 轴所围图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V。解：第四节 平面曲线的弧长第五节 旋转体的侧面积第六节 一些力学应用一、变力沿直线作功一、变力沿直线作功设某物体受到与设某物体受到与x x轴平行的连续变力轴平行的连续变力F(x)F(x)的的作用，沿作用，沿x x轴方向运动，物体沿轴方向运动，物体沿x x轴方向由轴方向由a a移动到点移动到点b b所作的功所作的功