材料力学第07章a(应力状态)-06.ppt

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1、第七章第七章第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论强度理论强度理论71 应力状态概述应力状态概述72 二向和三向二向和三向应力状态的实例应力状态的实例73 二向二向应力状态分析应力状态分析解析法解析法74 二向二向应力状态分析应力状态分析图解法图解法75 三向三向应力状态分析应力状态分析78 广义胡克定律广义胡克定律79 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度710 强度理论概述强度理论概述711 四种常用四种常用 强度理论强度理论问题的提出问题的提出AFFAAA z x y x y z yx yz zy zx xy xz一、什么是一

2、点的应力状态一、什么是一点的应力状态71 应力状态概述应力状态概述一点的受力状态一点的受力状态。二、一点处应力状态的表示方法二、一点处应力状态的表示方法（1 1）单元体）单元体A z x y x y z yx yz zy zx xy xz 单元体各面上应力均布；相单元体各面上应力均布；相互平行的面上应力相等。互平行的面上应力相等。（2）应力分量）应力分量AA三、为什么要研究一点处的应力状态三、为什么要研究一点处的应力状态MeFlAApAAFFy云纹图x云纹图xy云纹图FFy云纹图 x云纹图FF x y xy y x四、主平面、主应力：四、主平面、主应力：（1 1）主平面主平面(Principa

3、l Plane)：切应力为零的截面。切应力为零的截面。（2 2）主应力主应力(Principal Stress）：主面上的正应力。主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，主应力排列规定：按代数值大小，AAA任意一点任意一点都可以找到三个相互垂直的主平面。都可以找到三个相互垂直的主平面。1 2 3 x y z 1 2 31 1、单向应力状态（单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：）：一个主应力不为零的应力状态。一个主应力不为零的应力状态。2 2、二向应力状态（二向应力状态（Plane State of Stress）：）：二个主应力不为零的应力状态。

4、二个主应力不为零的应力状态。3 3、三向应力状态（三向应力状态（ThreeDimensional State of Stress）：）：三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。五、应力状态分类五、应力状态分类 1 1112233 1 1 2 2FF 例例11画出图中的画出图中的A点的应力单元体。点的应力单元体。A 72 72 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例dxdx 例例22 画出图中画出图中A点的应力单元体。点的应力单元体。MeMeA 例例33 画出图中画出图中各各点的应力单元体。点的应力单元体。FSM M FS12345F1F2q 123451 1 12

5、345F1F2q 1 1 123452 2 2 212345F1F2q 123453 32 2 3 3 1 112345F1F2q 3 34 4 123453 3 4 412345F1F2q2 2 1 1 5 5 123455 12345F1F2q3 32 2 1 14 4如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内压力为压力为 p，容器直径容器直径D，壁厚壁厚。例例44pD用横截面将容器截开，用横截面将容器截开，l受力如图所示受力如图所示,根据平衡方程根据平衡方程llll pll lxyz73 73 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法 x

6、 xy y yx yx xy x y平面应力状态平面应力状态:单元体有一对平面上的应力为零。单元体有一对平面上的应力为零。一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力二、最大正应力和最小正应力二、最大正应力和最小正应力三、主平面和主应力三、主平面和主应力四、四、应力圆（莫尔圆）应力圆（莫尔圆）x xy y yx y x一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力 a a已知：已知：x、y、xy求：求：、t ta axy y x yx x yt tyxt tyxt txy x yt txy、yxxyxyyxdAcosdAsin 解：设斜截面面积为解：设斜截面面积为dA，dA yx y x tn

7、xy由平衡得：由平衡得：由由 yx=xy和和三角变换，得：三角变换，得：同理：同理：(1)(1)正应力拉为正；正应力拉为正；正负号规定：正负号规定：yx y x tn xy x y yx yx xy x y xy n(2)(2)切应力绕研究对象顺时针转为正；切应力绕研究对象顺时针转为正；(3)(3)逆时针为正。逆时针为正。求斜截面上的应力，单位求斜截面上的应力，单位MPa例例420 x503030303030解：解：例例5已知：已知：F=180kN，l=1.5m，求求A点斜截面上的应力。点斜截面上的应力。FAll30z20300120108020 x60A+90kN90kN+135kN m例例

8、5已知已知：F=180kN，l=1.5m，求求A点斜截面上的应力。点斜截面上的应力。z20300120108020解：解：x6060FAll30+60 60A 60 60 xy y xyx 二、最大正应力和最小正应力二、最大正应力和最小正应力二、最大正应力和最小正应力二、最大正应力和最小正应力得：得：xy y x yx t ta a 切应力切应力箭头箭头所在象限就是最所在象限就是最大正应力所在象限。大正应力所在象限。0 min max max minx令令 =0 ，可得可得主主平面的方位：平面的方位：即：最大和最小正应力就是主应力。即：最大和最小正应力就是主应力。由由得得三、主平面和主应力三、

9、主平面和主应力 min max 1=max 2=min 1=2=0 xy y x yx t ta a x例例520 x5030求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平面求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平面和主应力。单位和主应力。单位MPa解：解：20 x5030在单元体上画出主平面和主应力在单元体上画出主平面和主应力 1 1 3 3切应力切应力箭头箭头所在象限就是最所在象限就是最大正应力所在象限。大正应力所在象限。分析受扭构件的应力状态。分析受扭构件的应力状态。解解:(1):(1)单元体如图所示单元体如图所示(2)(2)主应力主应力xy xy yx例例6 MeCAMeA xy

10、 yx 1=1 3=-3MeMe 1 1 3 3铸铁扭转破坏断口分析铸铁扭转破坏断口分析求求C截面左侧截面左侧 a、b两点的主应力及主平面。两点的主应力及主平面。例例7+200kN50kN+b ba a aaz1515270120b9250kNABC1.6m2m解：解：az1515270120b9aa aaz1515270120ba a ax 1 1 3 3az1515270120bbb例例8 求求圆杆表面圆杆表面 A点的主应力及主平面。已知：点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，m=47.1Nm，d=20mm。MeMeAFF A TMeAFNF例例8 求求圆杆表面圆杆表面 A点的主应力

11、及主平面。已知：点的主应力及主平面。已知：F=6.28kN，m=47.1Nm，d=20mm。解解：A MeMeAFFx 1 1 3 3MeMeAFFA x 1 1 3 3MeMeAFF对上述方程消去参数（对上述方程消去参数（2 2），得到曲线的），得到曲线的表达式：表达式：（1 1）应力圆（）应力圆（Stress Circle）74 74 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法两边相加得：两边相加得：y yx x xy此此圆称为应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：圆称为应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）引入）与圆方程相比较：与圆方程相比较：R建立应力坐标系，如下图所示，

12、建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）（注意选好比例尺）（2 2）应力圆的画法）应力圆的画法在在坐标系内画出点坐标系内画出点A(x，xy)和和B(y，yx)AB与与 轴的交点轴的交点C便是圆心。便是圆心。以以C为圆心，以为圆心，以AC为半径画为半径画圆圆应力圆；应力圆；O CA(x,xy)B(y,yx)x yt tyxt tyxt txy x yt txy斜截面面上的斜截面面上的应力应力(，)应力圆上一点应力圆上一点(，)D(,)（3 3）单元体与应力圆的对应关系）单元体与应力圆的对应关系斜截面的法线斜截面的法线 应力圆的半径应力圆的半径x轴与轴与斜截面的斜截面的夹角为夹角为 两半两半

13、径夹角径夹角2 ；且转向一致。；且转向一致。点面点面对应，转向相同，转角两倍。对应，转向相同，转角两倍。xA(x,xy)B(y,yx)O C2 n x xy yn x（5 5）主平面和主应力）主平面和主应力O C A(x,xy)B(y,yx)x2 0 0 max min（4 4）最大正应力和最小正应力）最大正应力和最小正应力 min max 2=min 1=2=0 max 1=求图示单元体的主应力及主平面的位置。求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：单位：MPa)解：解：3、连接、连接A、B两点，两点，与与 轴的交点轴的交点C便是圆心便是圆心;2 2、在、在坐标系内画出点坐标系内画出点例

14、例9 10 x40301 1、应力坐标系如图、应力坐标系如图 10MPaOBAC4 4、以、以C为圆心，以为圆心，以AC为半径画圆得应力圆。为半径画圆得应力圆。5 5、应力圆与、应力圆与 轴的交点轴的交点便是主应力，便是主应力，6 6、从应力圆上可得、从应力圆上可得 3与与x轴的轴的夹角为：夹角为：10MPaOBAC 3 12010 x4030 1 1 3 3x根据比例根据比例量得主应力的大小：量得主应力的大小：用图解法求图示单元体斜截面上的应力。用图解法求图示单元体斜截面上的应力。(单位：单位：MPa)解：解：例例10 10 x70 10MPaOA30B60 用图解法求图示单元体斜截面上的应

15、力。用图解法求图示单元体斜截面上的应力。(单位：单位：MPa)解：解：例例11 40 x40 10MPaO3012345F1F2q 123455 51 14 43 32 2梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线1 1 3 3 1 15 5 20 2 0=90 202 2 1 1 3 302 23 3 3 3 1 1 3 3454 4 1 1 3 304 4D1D2 3 1xD1D2 3 1D1D2 1 3x主应力迹线（主应力迹线（Stress Trajectories)：主应力方向线的包络线主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压

16、主应力方位）。着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。红实线红实线表示拉主应力迹线；表示拉主应力迹线；蓝虚线蓝虚线表示压主应力迹线。表示压主应力迹线。q 1 3 3 1拉应力拉应力压应力压应力 1 3qxy主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面xyz 2 1 31 1、空间应力状态、空间应力状态75 75 三向应力状态分析三向应力状态分析 x z xy x y yx yz xz zy zx y主应力状态主应力状态2 2、三向应力分析、三向应力分析xyz 2 1 3 1 2 3 1 3 3 2 2 12 2、三向应力分析、三向

17、应力分析xyz 2 1 3 1 2 3 2 1 1 3 1 3 2 2 1 3 3 2 一点的最大切应力为：一点的最大切应力为：max 2 1 3 1 2 3一点的最大正应力为：一点的最大正应力为：斜面上的应力斜面上的应力在三向应力圆的阴影内在三向应力圆的阴影内三向应力圆是一点处所有各个三向应力圆是一点处所有各个不同方位截面上应力的集合。不同方位截面上应力的集合。D求图示单元体的主应力和最大切应力。（求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）由单元体图知：由单元体图知：y z面为主面面为主面5040 xyz30解：解：503040例例11 求图示单元体的主应力和最大切应力。（求图示单元体的主

18、应力和最大切应力。（MPa）由单元体图知：由单元体图知：y z面为主面面为主面解：解：3040例例11 505040 xyz3078 广义胡克定律广义胡克定律一、一点的变形一、一点的变形(线应变和角应变线应变和角应变)设设单元体的三个边长分别为单元体的三个边长分别为lx、ly、lz受力后三个边长分别伸长受力后三个边长分别伸长x、y、z线应变线应变角应变角应变 x z xy x y yx yz xz zy zx yxyz二、单向拉（压）时的胡克定律二、单向拉（压）时的胡克定律 xFFA三、纯剪的应力三、纯剪的应力-应变关系应变关系 A x yxyz四、复杂应力状态下的应力四、复杂应力状态下的应力

19、 应变关系应变关系根据叠加原理计算各应变根据叠加原理计算各应变 z y xy x xx x x y y z z xy yx zy yz zx xzxyz z y xy xxyz xx x x y y z z上式称为广义胡克定律上式称为广义胡克定律 xx x x y y z z xy yx zy yz zx xz上式称为广义胡克定律上式称为广义胡克定律 z y xy xxyz主应力主应力 -主应变关系主应变关系 1 3 2 x yt tyxt tyxt txy x yt txy对于平面应力状态问题：对于平面应力状态问题：刘题刘题7.27P259已知：已知：E=200GPa,=0.3，应力单位为应

20、力单位为MPa，求求对角线对角线AC的改变量的改变量lACA15C303025刘题刘题7.27 P259已知：已知：E=200GPa,=0.3，应力单位为应力单位为MPa，求对角求对角线线AC的改变量的改变量lACA15C3030251530 30 x-60解：A15C3030251530 30 x-60例例13已知：已知：E=200GPa，=0.3，F=3kN，Me=12Nm，d=10mm，求，求A点图示方向的线应变。点图示方向的线应变。AAF45解：解：TAFN4545AA 45 45A图示图示28a工字钢梁，查表知，工字钢梁，查表知，IZ/SZ=24.62cm,腹板腹板厚厚d=8.5mm

21、，材料的材料的E=200GPa，=0.3，在梁中在梁中性层处粘贴应变片，测得与轴线成性层处粘贴应变片，测得与轴线成45方向的线应方向的线应变为变为 =2.6104，求载荷求载荷F的大小。的大小。例例14zyFAB2m1m45 311=3=解：解：31=13=例例13已知：已知：E=200GPa，=0.3，d=20mm，45=3.0104，45=5.0104，求求F和和Me的大小。的大小。AAF45 4545A45五、实验应力分析五、实验应力分析A x yt tyxt tyxt txy x yt txyAA x yt tyxt tyxt txy x yt txyA09045直角应变花直角应变花A

22、 x yt tyxt tyxt txy x yt txyAA x yt tyxt tyxt txy x yt txyA体积应变：体积应变：展开并展开并忽略高阶微量忽略高阶微量六、体积应变六、体积应变1a1a2a3 1 3 2体积应变体积应变 与应力分量间的关系与应力分量间的关系:（1）代入（代入（1）式，得）式，得由：由：1 3 2 m m m应力状态分解：应力状态分解：m m m体积改变，体积改变，形状不变形状不变体积不变，体积不变，形状改变形状改变 1 3 279 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度一、单向应力状态下的应变能一、单向应力状态下的应变能 F应变能密度：应变能密度：杆件的变形能：杆件的变形能：2 3 1二、复杂应力状态下的应变能密度：二、复杂应力状态下的应变能密度：由由广义胡克定律广义胡克定律代入上式得：代入上式得：2 3 1 m m m体积改变能密度体积改变能密度vv畸变能密度畸变能密度vd m m m体积改变能密度体积改变能密度畸变畸变能密度能密度