线性代数 第1.1课 矩阵及其运算.ppt

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1、魏福义 黄燕苹 主编中国农业出版社中国农业出版社本本课程的基本结构课程的基本结构第一章：矩阵第一章：矩阵第二章：向量与线性方程组第二章：向量与线性方程组第三章：矩阵的特征值与特征向量第三章：矩阵的特征值与特征向量第四章：向量的内积与二次型第四章：向量的内积与二次型第五章第五章*：线性空间与线性变换：线性空间与线性变换第六章：第六章：Matlab软件的应用软件的应用第一章 矩阵1 矩阵及其运算矩阵及其运算 3 行列式行列式2 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵 4 数学建模实例数学建模实例*第一节第一节 矩阵及其运算矩阵及其运算 1.1.1 线性方程组和矩阵的概念 1.1.2 矩阵

2、的基本运算及性质 1.1.3 逆矩阵 1.1.1 线性方程组和矩阵的概念 m个方程，n个未知数线线性性方方程程组组齐次线性方程组非齐次线性方程组 方程组中未知量的系数矩形数表考虑方程组右端常数项矩形数表定义定义1.1称为称为m行行n列矩阵列矩阵，简称，简称其中诸其中诸叫做该矩阵的元素，矩阵可以简记叫做该矩阵的元素，矩阵可以简记矩阵，矩阵，i,j分别称为矩阵A的行标和列标。几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵 n阶单位矩阵单位矩阵，简记作In.IA=AI=A等等对角形矩阵对角形矩阵主对角线上的元素不全为零，其它的主对角线上的元素不全为零，其它的 元素都为元素都为0的的方阵方阵，简记作，简记作 。

3、上三角形矩阵上三角形矩阵主对角线下方元素全为零、上方的主对角线下方元素全为零、上方的 元素不全为元素不全为0的的方阵方阵。如：。如：等等下三角形矩阵下三角形矩阵主对角线上方的元素全为零，下方主对角线上方的元素全为零，下方 的元素不全为的元素不全为0的的方阵方阵。数量矩阵行矩阵（行向量）行矩阵（行向量）只有一行的矩阵。只有一行的矩阵。等等 列矩阵（列向量）列矩阵（列向量）只有一列的矩阵。只有一列的矩阵。等等 等等零矩阵零矩阵 所有元素都为零的矩阵所有元素都为零的矩阵，简记作，简记作 。方阵方阵行数和列数相等的矩阵。如：行数和列数相等的矩阵。如：等等二阶方阵二阶方阵三阶方阵三阶方阵n阶方阵阶方阵如

4、如同型矩阵：同型矩阵：有相同的行数与相同的列数的有相同的行数与相同的列数的 两个矩阵，称为两个矩阵，称为同型矩阵同型矩阵。如：如：只有矩阵只有矩阵 与矩阵与矩阵 同型同型相等矩阵：相等矩阵：若若 两矩阵两矩阵有相同的行数与列数有相同的行数与列数且对应位置上且对应位置上 的的元素相等元素相等，则称，则称 相等，相等，记作：记作：例如：例如：矩阵的基本运算及性质矩阵的基本运算及性质 （1）交换律）交换律 A+B=B+A （2）结合律）结合律 （A+B）+C=A+（B+C）矩阵的加法（见矩阵的加法（见P3定义定义1.3）矩阵加法的运算规律：矩阵加法的运算规律：注意：只有同型矩阵才能相加。注意：只有同

5、型矩阵才能相加。例例显显然然成成立立矩阵的减法矩阵的减法 设设，则称矩阵，则称矩阵 为为A 的的负矩阵负矩阵，记作，记作。若若A、B为为同型同型矩阵，则规定矩阵，则规定即即，对应位置上的元素相减二二 矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算定义（1）（2）（3）（4）（5）（6）设设 ，求满足，求满足方程方程 的的 。设两个商店某天销售三种电视机的数量由矩阵A表示长虹康佳创维百佳华润三种电视机的零售单价(单位千元)由矩阵B表示长虹康佳创维百佳该天出售这三种电视机的总收入为多少？华润呢？矩阵A表示两车间每小时生产三种产品的数量矩阵B表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量车间一车间二面包蛋糕饼干面包蛋糕饼干

6、糖面粉车间一消耗两种原料的数量？车间二呢？矩阵A表示两车间每小时生产三种产品的数量矩阵B表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量糖面粉车间一车间二矩阵的乘法矩阵的乘法设设则则其中其中行行列列 左矩阵左矩阵 右矩阵右矩阵A的列数的列数 B的行数的行数矩阵乘法的规则：矩阵乘法的规则：矩阵乘法的规则：矩阵乘法的规则：（1）两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如第i行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第j列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第i行第j列）的元素。(2)为保证规则（1），前矩阵的列数应与后矩阵的行数相等，否则两矩阵不能相乘。（3）乘积矩阵的行数与前矩阵相同，乘积矩阵的列

7、数与后矩阵相同。Am=nnpmpBC矩阵乘法的法则：乘积矩阵乘积矩阵AB=C的第的第i行第行第j列元素列元素等于前矩阵等于前矩阵A的第的第i行的各元素与后矩阵行的各元素与后矩阵B的第的第j列中顺列中顺次对应的各个元素的乘积之和。次对应的各个元素的乘积之和。例例例例设求ABBA没有意义例例例例设AB求AB和BABAAB和BA都有意义，但不同型例例例例求AB和BAABBA(1)AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等(2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵例例例例求AB和BAABBA=AB如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律(i)(

8、AB)C=A(BC)(ii)(iii)或或矩阵相乘的运算规律：矩阵相乘的运算规律：一般地：一般地：或或或或（1）（2）（3）（4）矩阵代数矩阵代数矩阵的幂矩阵的幂设A是n阶方阵，k为正整数，则表示k个A连乘,如显然，只有方阵的幂才有意义方阵方阵的迹的迹方阵的迹是它的主对角线上的元素和例例例例tr(A)=2+(-3)+0=-1性质性质：(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(2)tr(AB)=tr(BA)转置矩阵转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的A转置矩阵，记作行列对调例例例例运算规律对称矩阵对称矩阵如果方阵A满足就称A为对称矩阵例例如如方阵A为对称矩阵矩阵A中关于主

9、对角线对称的每一对元素都相等设A为任意矩阵，则恒为方阵，且都是对称矩阵设B为任意方阵，则恒为对称矩阵A为对称矩阵为对称矩阵对称矩阵对称矩阵：如果：如果 ，则称矩阵，则称矩阵A为对称矩阵。为对称矩阵。A为反对称矩阵为反对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵：如果：如果 ，则称矩阵，则称矩阵A为反对称矩阵。为反对称矩阵。（i,j=1,2,n）矩阵分块的定义矩阵分块的定义对于行数和列数较大的矩阵对于行数和列数较大的矩阵,经常采用经常采用“矩阵分块法矩阵分块法”,即将一个大矩阵看成是以一些小矩阵为元素的矩阵即将一个大矩阵看成是以一些小矩阵为元素的矩阵.在在运算中运算中,常常把这些小矩阵当作常常把这些小矩阵当作“

10、元素元素”来处理来处理.(在运算中在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理把这些小矩阵当作数一样来处理)定义定义:将矩阵将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每每个小矩阵称为个小矩阵称为A的一个子块的一个子块,以这些子块为元素的形式上以这些子块为元素的形式上的矩阵称为分块阵的矩阵称为分块阵.(矩阵矩阵A就可以看成是二阶矩阵参与运算就可以看成是二阶矩阵参与运算).加法运算加法运算:设矩阵设矩阵A与与B的行数相同，列数相同，的行数相同，列数相同，采用相同的分块法采用相同的分块法,有有其中其中 与与 的行数相同，列数相同，那么的行数相同，列数相同，那么分块矩阵的加法

11、与数乘分块矩阵的加法与数乘设设为数，那么为数，那么数乘数乘分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法其中其中转置运算转置运算例题：例题：设设将将A、B适当分块，计算适当分块，计算AB解解 将将A、B作如下分块：在二、三行之间插入横线，作如下分块：在二、三行之间插入横线，在二、三列之间插入竖线（如题目所示），则在二、三列之间插入竖线（如题目所示），则则则而而 所以所以定义定义设设A为为n阶方阵，若阶方阵，若A的分块矩阵只有在的分块矩阵只有在主对角线主对角线上有非零子块上有非零子块，其余子块都是零距阵，且，其余子块都是零距阵，且非零子非零子块都是方阵块都是方阵，即，即其中其中都是方阵，称都是方阵，称A为为分块对

12、角矩阵分块对角矩阵分块对角阵分块对角阵内容小结内容小结矩阵基本概念：方阵，单位矩阵，对角矩阵基本概念：方阵，单位矩阵，对角线矩阵，上（下）三角形矩阵，行（列）线矩阵，上（下）三角形矩阵，行（列）向量，矩阵相等向量，矩阵相等.矩阵的运算：加，减，乘，数乘，转置矩阵的运算：加，减，乘，数乘，转置.分块矩阵及基本运算分块矩阵及基本运算.练习练习1.计算下列乘积计算下列乘积解：解：2.计算计算解：解：因此，得因此，得作业作业:P33-341.2:(2),(4),(5).1.5:(3).1.1.4 逆矩阵ABBA称B为A的逆矩阵定义定义设A为n阶方阵。AB=BA=I就称为A可逆矩阵，如果存在n阶方阵B，

13、使得并称B为A的逆矩阵（简称逆),记作性质性质1如果如果A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一的逆矩阵唯一证明证明设B和C都是A的逆矩阵，则AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C可逆矩阵也称为非退化阵非退化阵或非奇异阵非奇异阵.性质性质2如果如果A是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且AB=I，则必有，则必有BA=I；如；如果果A是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且BA=I，则必有，则必有AB=I.证明证明由A可逆，必有A-1A=AA-1=IBA=I(BA)=(A-1A)(BA)=A-1(AB)A=I又已知AB=I，于是有=A-1IA=A-1A同理，可以证明后一结论。证毕。性质性质3如果如果A和和B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且可逆，且证明证明故由性质2可得由于所以AB可逆，由逆矩阵的惟一性得推广到有限个方阵乘积的情况：性质性质4如果方阵如果方阵A可逆，则可逆，则A-1也可逆，且也可逆，且(A-1)-1=A.性质性质5如果方阵如果方阵A可逆，则可逆，则A的每一行都不能全为零，的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。的每一列也都不能全为零。证明证明假设A的第i行全为零，则由矩阵乘法的定义知AA-1的第i行全为零，这与AA-1=I矛盾.所以A的每一行都不能全为零.同理A的每一列也都不能全为零.性质性质6