概率论第三章ch3_2.ppt

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1、边缘分布边缘分布边缘分布函数边缘分布函数边缘分布律边缘分布律边缘概率密度边缘概率密度边缘分布的定义边缘分布的定义边缘分布也称为边沿分布或边际分布边缘分布也称为边沿分布或边际分布一旦知道联合分布就可以求边缘分布。一旦知道联合分布就可以求边缘分布。如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)(X,Y)具有联合分布函数具有联合分布函数 F(x,yF(x,y)，则，则作为其组成部分的随机变量作为其组成部分的随机变量X X与与Y Y也有自己的分布函数。也有自己的分布函数。我们将构成我们将构成随机向量随机向量(X,Y)(X,Y)的分量的分量X X与与Y Y的分的分布称为边缘分布。布称为边缘分布。相应地有边缘

2、分布函数、边缘相应地有边缘分布函数、边缘分布律、边缘概率密度。分布律、边缘概率密度。边缘分布函数求法边缘分布函数求法求边缘分布函数的公式为：求边缘分布函数的公式为：设随机向量设随机向量(X(X，Y)Y)有联合分布函数有联合分布函数F(x,yF(x,y),),欲求边缘分欲求边缘分布函数布函数 F FX X(x),F(x),FY Y(y(y)。例例1 1：设设(X,Y)(X,Y)联合分布函数为：联合分布函数为：试求试求：(1)(1)常数常数A A，B B，C C。(2)X(2)X与与Y Y的分布函数。的分布函数。解：由分布函数的性质得：解：由分布函数的性质得：由边缘分布函数的公式得：由边缘分布函数

3、的公式得：显然有：显然有：这说明边缘分布函数的积等于联合分布函数这说明边缘分布函数的积等于联合分布函数!边缘分布律求法边缘分布律求法设已知设已知(X,Y)(X,Y)的联合分布律：的联合分布律：欲求边缘分布律即欲求边缘分布律即X X与与Y Y的分布律。事实上：的分布律。事实上：如果是有如果是有限随机变限随机变量，则求量，则求和时不必和时不必取到无穷。取到无穷。边缘分布律求法边缘分布律求法例例2 2：从：从1,2,3,41,2,3,4四个数中随机取一个数记成随机变量四个数中随机取一个数记成随机变量X X，再从，再从1 1到到X X中随机取一个数记成随机变量中随机取一个数记成随机变量Y Y，求联合分

4、，求联合分布律与边缘分布律。布律与边缘分布律。解：解：X=1,2X=1,2，3,43,4，而，而 Y=1Y=1，。，。，X X故所求的边缘分布律与联合分布律为：故所求的边缘分布律与联合分布律为：边缘密度函数的求法边缘密度函数的求法若已知连续型随机向量若已知连续型随机向量(X,Y)(X,Y)的联合概率密度函数的联合概率密度函数f(x,yf(x,y),),则则也可求出它的边缘概率密度函数。事实上：也可求出它的边缘概率密度函数。事实上：例例4 4：设区域：设区域D D是由曲线是由曲线y=xy=x2 2与直线与直线y=xy=x围成，并且随机向量围成，并且随机向量(X(X，Y)Y)服从服从D D上的均匀

5、分布，求联合概率密度与边缘概率密上的均匀分布，求联合概率密度与边缘概率密度函数。度函数。yoy=xy=x21解：先求面积解：先求面积A A：二元均匀分二元均匀分布概率密度布概率密度函数？函数？yoy=x21 xy=x当当 0 x1 0 x1 时：时：yoy=x21 xy=x当当 0y1 0y1 时：时：例题：设随机向量例题：设随机向量(X(X，Y)Y)服从二维正态分布即具有概率密度函服从二维正态分布即具有概率密度函数：数：求求X X，Y Y的概率密度函数。的概率密度函数。解：为了便于进行如下积分，我们先作配方。解：为了便于进行如下积分，我们先作配方。作积分变换：作积分变换：所以所以 X X服从

6、正态分布即服从正态分布即同理可得同理可得Y Y的分布密度：的分布密度：二元正态分布的边缘分布是一元正态分布并且与二元正态分布的边缘分布是一元正态分布并且与参数参数无关。无关。例题：已知二维随机变量例题：已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为求关于求关于Y 的边缘概率密度的边缘概率密度 fY(y).解：解：当当0y10y1y1时被积函数非时被积函数非0 0区域不同区域不同!二维随机变量二维随机变量(X,Y)的联合概率密度图的联合概率密度图二维随机变量二维随机变量(X,Y)的联合概率密度图的联合概率密度图function bbbfunction bbbx,y=meshgrid(

7、0:0.1:4);x,y=meshgrid(0:0.1:4);z=f(x,y);z=f(x,y);mesh(x,y,z);mesh(x,y,z);function z=f(x,y)function z=f(x,y)z=zeros(size(x);z=zeros(size(x);l=(x=1&y1./x&y=1&y1./x&y=x);z(l)=1./(2*x(l).2.*y(l);z(l)=1./(2*x(l).2.*y(l);当当 0y1/y，故有，故有当当y1时，应当时，应当 xy，故有，故有因此所求概率密度函数为：因此所求概率密度函数为：画图的代码画图的代码function bbbfunc

8、tion bbby=-1:0.1:4;y=-1:0.1:4;z=f(y)z=f(y)plot(y,z);plot(y,z);function z=f(y)function z=f(y)n=length(y);n=length(y);z=zeros(n,1);z=zeros(n,1);l1=(y0&y0&y=1);l2=(y=1);z(l1)=0.5;z(l1)=0.5;z(l2)=1./(2*y(l2).2);z(l2)=1./(2*y(l2).2);%for i=1:n%for i=1:n%if y(i)0&y(i)0&y(i)=1%else if y(i)=1%z(i)=1/(2*y(i)

9、2);%z(i)=1/(2*y(i)2);%else%else%z(i)=0;%z(i)=0;%end%end%end%end%end%end我们不用这我们不用这段代码来求段代码来求函数值。函数值。例题：已知二维随机变量例题：已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为求关于求关于X，Y 的边缘概率密度的边缘概率密度 fX(x),fY(y).解：解：对称区间上的对称区间上的奇函数！奇函数！仅由概率密度仅由概率密度函数无法确定函数无法确定联合概率密度联合概率密度函数！但是如函数！但是如果还有它们之果还有它们之间联系的条件间联系的条件则可能！则可能！例题：已知二维随机变量例题：已知二维随机变量(X,Y)的边缘分布律为的边缘分布律为并且并且PXY=0=1，求关于，求关于X，Y 的联合分布律。的联合分布律。解：解：故故X，Y 的联合分布律可以设成：的联合分布律可以设成：从而得其中从而得其中的各个参数的各个参数值，分布律值，分布律如右：如右：故故X，Y 的联合分布律可以设成：的联合分布律可以设成：由边缘分布确由边缘分布确定联合分布需定联合分布需要更多的条件要更多的条件！因此可以猜！因此可以猜测联合分布中测联合分布中包含有包含有X X，Y Y之之间更多的信息间更多的信息！