线性代数4-1-2.ppt

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1、第四章第四章 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩与线性方程组4.2 矩阵的秩矩阵的秩4.3 线性方程组的解线性方程组的解4.1 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵引例引例 解线性方程组解线性方程组用用“回代回代”的方法求解的方法求解上三角方程：上三角方程：上述解方程组的方法上述解方程组的方法称为称为消元法消元法 所进行的所进行的过程亦可称为过程亦可称为线性方程线性方程组的初等变换。组的初等变换。对方程组的变换完全对方程组的变换完全可以转换为对可以转换为对增广增广矩阵矩阵的变换上述的变换上述方程组所方程组所对应的对应的增广矩阵增广矩阵的变换的变换称矩阵的称矩阵的初等行变换。初等行变换。.

2、显然：通过初等变换得到的新方程组与显然：通过初等变换得到的新方程组与 原方程组有相同的解。原方程组有相同的解。而对一个方程组做初等变换而对一个方程组做初等变换 就相当于对方程组就相当于对方程组的的增广矩阵增广矩阵 做做初行等变换初行等变换。线性方程组的初等变换指下列三种变换：线性方程组的初等变换指下列三种变换：（1 1）用一个非零实数乘某一方程；）用一个非零实数乘某一方程；（2 2）把一个方程的倍数加到另一个方程；）把一个方程的倍数加到另一个方程；（3 3）互换两个方程的位置。）互换两个方程的位置。初等行变换初等行变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义：定义：对矩阵施行的以下三种变换对矩

3、阵施行的以下三种变换（1 1）用一非零数乘与矩阵的某一行（列）；）用一非零数乘与矩阵的某一行（列）；（2 2）将矩阵的某一行（列）各元素的）将矩阵的某一行（列）各元素的k倍倍 加到另一行（列）对应元素上；加到另一行（列）对应元素上；（3 3）互换矩阵的某两行（列）；）互换矩阵的某两行（列）；均称为矩阵的初等变换。均称为矩阵的初等变换。初等列变换初等列变换4.1 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵特点：特点：（1）、可划出一）、可划出一条阶梯线，线的条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；（2）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数台阶数即是非零行的行数，

4、阶梯线的，阶梯线的竖线竖线后面的第一个元素为非零元后面的第一个元素为非零元，即非零行的，即非零行的第一个非零元第一个非零元行最简形。行最简形。不难证明，对于任何矩阵不难证明，对于任何矩阵Amn，总可以经过有总可以经过有限次初等限次初等行变换行变换把它变为行阶梯形矩阵和把它变为行阶梯形矩阵和行最简行最简形矩阵形矩阵,若对行最简形矩阵再施一初等若对行最简形矩阵再施一初等列变换列变换，可，可变成一种形状更简单的矩阵，称为变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形标准形.例如，行阶梯形矩阵例如，行阶梯形矩阵进一步可化为行最简进一步可化为行最简形，再化为标准形形，再化为标准形.矩阵矩阵F 称为的称为的标准形标

5、准形.单位阵单位阵E 对任何对任何mn矩阵，总可以经过初等变换矩阵，总可以经过初等变换(行行变换和列变换变换和列变换)把它化为标准形把它化为标准形非零行数非零行数等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价 所有与矩阵所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个等价的矩阵组成的一个集合，称为一个集合，称为一个等价类等价类，标准形，标准形D是这个是这个等价类中最简单的矩阵等价类中最简单的矩阵.定义定义:对单位矩阵对单位矩阵E施行一次初等变换后得到施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵的矩阵称为初等矩阵.二、初等矩阵二、初等矩阵三种初等变换对应着三种初等方阵三

6、种初等变换对应着三种初等方阵:三种初等矩阵：三种初等矩阵：性质性质：初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆：初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆 仍为初等矩阵。仍为初等矩阵。且有：且有：证明（证明（3 3）=E故故可逆可逆，且其逆，且其逆1、对对mn矩阵矩阵A施行一次施行一次行行初等变换相当初等变换相当 于在于在A的的左左边乘以相应的边乘以相应的mm初等矩阵初等矩阵;2、对、对mn矩阵矩阵A施行一次施行一次列列初等变换相当于初等变换相当于在在A的的右右边乘以相应的边乘以相应的nn初等矩阵初等矩阵.定理定理1 1 已知任意一个矩阵已知任意一个矩阵Amn，总可以经过，总可以经过有限次初等变换，化为标准形，即

7、有限次初等变换，化为标准形，即 设设A共经过共经过s次行变换、次行变换、t次列变换后化成次列变换后化成D。即即由于初等矩阵都是由于初等矩阵都是可逆可逆矩阵，所以矩阵，所以E矩阵矩阵A与其标准形与其标准形D的关系：的关系：or记记有有 推论推论 n阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是A的标准形的标准形 为单位矩阵为单位矩阵E.定理定理3 设设A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵证证即即利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：例例 求矩阵求矩阵 的逆矩阵。的逆矩阵。解：解：所以所以行变换行变换一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念4.2 矩阵的秩矩阵的

8、秩例如：例如：取取A的第的第1、2、3行，行，1、3、4列列，可得可得A的一个的一个3阶子式阶子式取取A的第的第1 3行，行，3 4列，列，可得可得A的一个的一个2阶子式阶子式由定义可以推出：由定义可以推出：例例1 1解解例例2解解矩阵的秩矩阵的秩定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：初等变换不改变矩阵的秩。推论：等价矩阵秩相同。推论：等价矩阵秩相同。二、初等变换求矩阵的秩二、初等变换求矩阵的秩例例3解解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此此方法简单！方法简单！把矩阵用行初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用行初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形

9、矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.小结小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数););思考题思考题思考题解答思考题解答答答答答相等相等.即即由此可知由此可知三、矩阵秩与向量组秩的关系三、矩阵秩与向量组秩的关系定义定义定义定义 A A的行（列）向量组的秩称为的行（列）向量组的秩称为的行（

10、列）向量组的秩称为的行（列）向量组的秩称为A A的行（列）秩。的行（列）秩。的行（列）秩。的行（列）秩。例例2),(=4 4b b,3 3b b2 2b b1 1b bR),(=3 3a a2 2a a1 1a aRA的列秩的列秩A的行秩的行秩),(000035101132=-=4 4b b,3 3b b2 2b b1 1b b3 3a a2 2a a1 1a aA定理定理1 1：初等行（列）变换不改变矩阵列（行）：初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系和向量间的线性关系和线性组合关系线性组合关系.定理定理2 2：矩阵：矩阵A的行秩的行秩=列秩列秩=矩阵矩阵A的秩。的秩。推论推论

11、设设A为为mn矩阵矩阵,秩秩 R(A)=r,链接链接证明：若证明：若返回返回步骤三：步骤三：步骤四：步骤四：（初等行变换不改变矩阵列向量间的线性关系）（初等行变换不改变矩阵列向量间的线性关系）步骤二：步骤二：步骤一步骤一：最简行阶梯形最简行阶梯形应用题型：应用题型：的相关性。的相关性。讨论讨论4 43 32 21 1a a,a a,a a,a a），（4 4=a a4592-），（），（），（设设3 32 21 1=a a0 0=a a0 01 1=a a,1423,315,24-（求求4 43 32 21 1a a,a a,a a,a aR），），例例1 1解：解：解：解：将向量将向量将向量

12、将向量列排列排列排列排构成行分块矩阵，再作构成行分块矩阵，再作构成行分块矩阵，再作构成行分块矩阵，再作行变换行变换行变换行变换。相关。相关。，故故向量个数向量个数4321,43)(a aa aa aa a=AR()43214102543092142351a aa aa aa a-=ATTTT()43210000210010102351=-TTTTbbbb例例2解：解：将向量将向量将向量将向量列排列排构成行分块矩阵构成行分块矩阵构成行分块矩阵构成行分块矩阵，再作再作再作再作行变换行变换。事实上事实上练习练习解：解：将向量将向量将向量将向量列排列排构成行分块矩阵构成行分块矩阵构成行分块矩阵构成行分块矩阵，再作再作再作再作行变换行变换。