线性代数 第2.5节非齐次线性方程组.ppt

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1、第第2.52.5节节 非齐次非齐次线性方程组线性方程组 矩阵形式矩阵形式m m个方程，个方程，n n个未知数个未知数12/22/20221(Spring 2010,14ppt)称称A、B分别为非齐次方程组的分别为非齐次方程组的系数矩阵系数矩阵和和增广矩阵增广矩阵。定定理理2.11:非非齐齐次次线线性性方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件是是，它它的的系数矩阵系数矩阵A的秩的秩与与增广矩阵增广矩阵B的秩相等的秩相等 (R(A)=R(B)12/22/20222(Spring 2010,14ppt)性质性质2.4 设设x和和y是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组(2.17)的两个解向量，的两个解

2、向量，则则x-y是是(2.11)所对应的齐次线性方程组的解向量。所对应的齐次线性方程组的解向量。性质性质2.5 设设x是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组(2.17)的一个解向量，的一个解向量，y是是(2.11)所对应的齐次线性方程组的解向量所对应的齐次线性方程组的解向量,则则x+y是是(2.17)的解向量的解向量.性质性质2.6 设设x0是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组(2.17)的一个已知解的一个已知解(称称为特解为特解)，则，则(2.17)的任意一个解向量都可以表示为的任意一个解向量都可以表示为x0与与(2.11)的某个解向量的和的某个解向量的和.(2.17)(2.11)12/22/

3、20223(Spring 2010,14ppt)非齐次线性方程组非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组(2.17)(2.11)12/22/20224(Spring 2010,14ppt)例例2.9解解方程组方程组解解所以所以R(A)=R(B)=2,即方程组有解即方程组有解.。12/22/20225(Spring 2010,14ppt)12/22/20226(Spring 2010,14ppt)令令可得方程组的一个特解可得方程组的一个特解相应的齐次方程组的通解为相应的齐次方程组的通解为所以原方程组的通解为所以原方程组的通解为12/22/20227(Spring 2010,14p

4、pt)例例解下列线性方程组解下列线性方程组解解 对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换施行初等行变换 12/22/20228(Spring 2010,14ppt)由上式的最后一个行阶梯形矩阵可知该方程组的系由上式的最后一个行阶梯形矩阵可知该方程组的系数矩阵的秩等于，而增广矩阵的秩等于，因此数矩阵的秩等于，而增广矩阵的秩等于，因此该方程组无解。该方程组无解。12/22/20229(Spring 2010,14ppt)解解对增广对增广矩阵实施行的初等变换矩阵实施行的初等变换齐次方程齐次方程组的基础组的基础解系解系特解特解通解通解例例12/22/202210(Spring 2010,14ppt)1.1

5、.设设,求求的通解的通解 解解 同解方程组为同解方程组为 基础解系：基础解系：特解：特解：练练 习习通解通解 12/22/202211(Spring 2010,14ppt)2.2.解：解：12/22/202212(Spring 2010,14ppt)12/22/202213(Spring 2010,14ppt)12/22/202214(Spring 2010,14ppt)3.3.12/22/202215(Spring 2010,14ppt)12/22/202216(Spring 2010,14ppt)第二章：向量与线性方程组（小第二章：向量与线性方程组（小 结）结）(1)利用定义判别利用定义判

6、别:是判别向量线性相关性的基本方法，适用于是判别向量线性相关性的基本方法，适用于分量已具体给出的向量组分量已具体给出的向量组,也适用于分量中含有待定参数的向也适用于分量中含有待定参数的向量组量组.向量组线性相关性的判定向量组线性相关性的判定.12/22/202217(Spring 2010,14ppt)求向量组与矩阵的秩求向量组与矩阵的秩A.把向量组求秩转化为矩阵求秩把向量组求秩转化为矩阵求秩;B:矩阵的求秩，进行行初等变换矩阵的求秩，进行行初等变换.化成阶梯形矩阵化成阶梯形矩阵.12/22/202218(Spring 2010,14ppt)线性方程组的求解线性方程组的求解(齐次与非齐次齐次与

7、非齐次)(1)初等行变换法：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，将初等行变换法：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，然后根据方程组系数矩阵与增广矩阵的其化为阶梯形矩阵，然后根据方程组系数矩阵与增广矩阵的秩的情况判断方程组是否有解？秩的情况判断方程组是否有解？a:有解时，求出方程的一般解有解时，求出方程的一般解 b:若所求线性方程组含有待定参数若所求线性方程组含有待定参数,还要进一步讨论参数方还要进一步讨论参数方程组的情况程组的情况.初等行变换法是求解线性方程组的最一般方法，而初等行变换法是求解线性方程组的最一般方法，而克莱姆法则只在特殊情况（方程组有唯一解且系数得列式容易克莱姆

8、法则只在特殊情况（方程组有唯一解且系数得列式容易计算）下才使用计算）下才使用.12/22/202219(Spring 2010,14ppt)作作 业业P64 2.5(1),(3).2.712/22/202220(Spring 2010,14ppt)定理定理2.11:2.11:非齐次线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩相等 (R(A)=R(B)附：附：定理定理2.112.11的证明的证明12/22/202221(Spring 2010,14ppt)以上说明了，原非齐次线性方程组（以上说明了，原非齐次线性方程组（2.17）与向量方程（）与向量方程（2.18）等价）等价.12/22/202222(Spring 2010,14ppt)12/22/202223(Spring 2010,14ppt)