统计学--工商管理类核心课程.ppt

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1、 统统 计计 学学 工商管理类核心课程工商管理类核心课程面向21世纪课程教材1统计学 第2章 统计数据的描述z 本章内容：学会统计数据的整理；进一步分析数据分布特征和变化规律，用代表值从集中、离散趋势描述数据的分布特征，重点掌握这些代表值的计算、特点和应用场合。2统计学第2章 统计数据的描述z 本章分五节：z第1节统计数据的整理z第2节分布集中趋势的测度；z第3节分布离散程度的测度；z第4节分布偏态与峰度的测度；z第5节统计表与统计图。3统计学4第1节统计数据的整理z本节需把握三个问题：z1.1数据的预处理；z1.2数据分组与频数分布；z1.3次数分配的图示和类型。4统计学51.1数据的预处理

2、z把握两个问题：z1.1.1数据的审核、筛选；z1.1.2数据的排序。5统计学61.1.1数据的审核、筛选z（1）数据的审核：A、对原始数据，审核完整性和准确性。前者指调查单位是否遗漏、项目是否齐全等；后者指数据是否真实、是否错误等。方法是逻辑检查和计算检查。zB、对二手数据审核完整性和准确性外，着重审核数据的适用性和时效性。前者应清楚数据的来源、口径和背景，后者应注意数据的时间，使用最新的数据。6统计学71.1.1数据的审核、筛选z（2）数据的筛选：z包括剔除不符和要求的数据或错误的数据；z筛选符合特定要求的数据。7统计学81.1.2数据的排序z它是按照一定顺序排列数据，便于发现明显特征趋势

3、或解决问题的线索，有助于检查纠错为归类分组提供依据。z对数字型数据：递增或递减排序z对字母型数据：升序降序排序z对汉字型数据：按拼音、字母、笔画排序8统计学91.2数据的分组与频数分布z把握三个问题：z1.2.1基本概念；z1.2.2按品质标志分组；z1.2.3按数量标志分组。9统计学101.2.1基本概念z（1）统计分组：它是根据统计研究的需要，将数据按照某种特征或标准分成不同的组别。z（2）分组标志：分组时所依据的特征或标准，有品质标志和数量标志。前者说明事物的性质或属性特征，不能用数值表现，对应列名、顺序尺度，如产品等级；后者说明事物数量特征，可以表现为数值，对应间隔、比例尺度。10统计

4、学111.2.1基本概念z（3）频数分布：根据分组计算出所有类别或数据在各组出现的次数，将全部数据按分组标志在各组内的分布状况称为频数分布。z（4）频数、频率：分布在各组的数据个数称为频数；各组频数与全部频数之和的比值称为频率或比重。11统计学12z这种分组较简单，要注意组的界限。例如，表2-1：z 表2-1 某班学生按性别分组1.2.2按品质标志分组 按性别分组 人数 百分比%男生 女生 30 20 60 40 合计 50 10012统计学131.2.3按数量标志分组z分组方法有：z（1）单变量分组：一个变量值为一组，适合离散变量，且变量值较少。步骤是先排序再分组。z例2-1某生产车间30名

5、工人周加工零件数如下（单位：件）：13统计学141.2.3按数量标志分组14统计学151.2.3按数量标志分组z（1）单变量分组：首先对上面数据排序如下：z 84 85 88 91 91 94 95 96 97 99z101 101 103 105 105 105 106 106 106 106z107 107 109 110 111 111 118 119 121 128z其次进行单变量分组，形成频数分布表2-215统计学16表2-2 某车间30名工人周加工零件数分组表零件数（件）频数零件数（件）频数零件数（件）频数 84 85 88 91 94 95 96 1 1 1 2 1 1 1 97

6、 99 101 103 105 106 107 1 1 2 1 3 4 2 109 110 111 118 119 121 128 1 1 2 1 1 1 1 16统计学171.2.3按数量标志分组z（2）组距分组：z将全部变量值划分为若干区间，并将这一区间的变量值作为一组，适用于连续变量或变量值较多的情况。z需要遵循“不重不漏”的原则，可采用等距分组，也可采用不等距分组。17统计学181.2.3按数量标志分组z（2）组距分组：z步骤：先排序，然后A、确定组数：组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规律为目的。z可按斯特格斯（Sturges）提出的经验公式确定组数K：K=1+1gN /1g2，

7、其中N为数据个数，计算结果取整。18统计学191.2.3按数量标志分组z（2）组距分组步骤 B、确定各组组距(class width)：是一组上限与下限之差。z组距分组又分等距、异距分组：za 等距分组：各组组距相等，组距=（最大值最小值）/组数，即全距/组数，组距宜取5或10的倍数。zb异距分组：各组组距不等，是某些特殊现象的需要，如对人口年龄分组：z06岁（婴幼儿组）、717岁（少年儿童组）、1859岁（中青年组）、60岁以上（老年组）。19统计学201.2.3按数量标志分组z（2）组距分组步骤zC、确定组限：组限是组与组间的界限，各组有上限（upper limit)、下限(low lim

8、it）。z注意：a组限的重叠与不重叠：连续型变量一般重叠，离散型变量都可以。zb为了“不重”，上组限不在内。zc第一组下限低于或等于最小值，最后一组上限高于最大值。zd开口、闭口组：为避免空白组或极值漏掉，第一或最后一组采取“以上”或“以下”分组。20统计学211.2.3按数量标志分组（2）组距分组步骤D、整理成频数分布表：计算各组频数、频率、组中值(class midpoint)、频数密度、累计频数。组中值是下限与上限之间的中点值反映各组数据的一般水平，组中值=（下限+上限）/2。频数密度=频数/组距，等距分组的频数分布不受组距大小影响，异距分组的频数分布受组距大小影响，必须计算频数密度。累

9、计频数又分向上向下累计：向上累计从变量值小的一方向大的方向累计，表示某组上限以下累计频数或频率；向下累计相反。21统计学221.2.3按数量标志分组z（2）组距分组：对于例2-1采用组距分组，计算组数K=1+1g30/1g2=5（组），组距=（128-84）/5=8.8，组距取10件，整理成频数分布表2-3。22统计学23表2-3某车间30名工人加工零件数分组表按零件数分组频数（人）频率（%）向上累积 向下累积频数（人）频率（%）频数（人）频率（%）8090 90100 100110 110120 120130 3 7 13 5 2 10.0 23.3 43.3 16.7 6.7 3 10 2

10、3 28 30 10.0 33.3 76.6 93.3100.0 30 27 20 7 2100.0 90.0 66.7 23.4 6.7 合计 30 100 23统计学241.3次数分配的图示和类型z把握三个问题：z1.3.1直方图和折线图；z1.3.2频数分布的类型；z1.3.3洛伦茨曲线与基尼系数。24统计学251.3.1直方图和折线图（1）直方图(histogram)：用矩形的宽度和高度来表示频数分布的图形，实际上是用矩形的面面积积来表示各组的频数分布 在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图 直方图下的总面积等于1 根据表2-3

11、的资料绘制的直方图如图2-1：25统计学26分组数据的图示(直方图的绘制)z 我我一一眼眼就就看看出出来来了了，周周加加工工零零件件在在100100110110之之间间的的人人数数最最多多!图图2-1某车间工人周加工零件直方图某车间工人周加工零件直方图26统计学271.3.1直方图和折线图z（2）折线图(frequency polygon)也称频数多边形图，是在直方图的基础上，把直方图顶部的中点(组中值)用直线连接起来，再把原来的直方图抹掉折线图的两个终点要与横轴相交，具体的做法是：y第一个矩形的顶部中点通过竖边中点（即该组频数一半的位置）连接到横轴，最后一个矩形顶部中点与其竖边中点连接到横轴

12、y折线图下所围成的面积与直方图的面积相等，二者所表示的频数分布是一致的27统计学28分组数据的图示(折线图的绘制)图图图图2-22-2某车间工人周加工零件折线图某车间工人周加工零件折线图某车间工人周加工零件折线图某车间工人周加工零件折线图 折线图与直方图折线图与直方图下的面积相等！下的面积相等！28统计学291.3.2频数分布的类型z（1）正态分布：是一种对称的钟型分布，如市场的价格分布，如图2-3（a）对称分布对称分布对称分布29统计学301.3.2频数分布的类型z（2）偏态分布：如图2-3（b）右偏分布右偏分布右偏分布左偏分布左偏分布左偏分布30统计学311.3.2频数分布的类型z（3）J

13、型分布：有正J型，如经济学中的供给曲线；有反J型，如需求曲线。如图2-3（c）：正正正J J J型分布型分布型分布反反反J J J型分布型分布型分布31统计学321.3.2频数分布的类型z（4）U型分布：两端的频数分布多，中间的少，如人和动物的死亡率分布。如图2-3（d）：U UU型分布型分布型分布32统计学1.3.3洛伦茨曲线与基尼系数（1）洛伦茨曲线：20世纪初美国经济学家、统计学 家 洛 伦 茨(M.E.Lorentz)根据意大利经济 学 家 巴 雷 特(V.Pareto)提出的收入分配公式绘制而成，描述收入和财富分配性质的曲线，分析该国家或地区分配的平均程度 AB绝对公平线绝对公平线

14、累累积积的的收收入入百百分分比比 累积的人口百分比累积的人口百分比 33统计学341.3.3洛伦茨曲线与基尼系数（2）基尼系数：20世纪初意大利经济学家基尼(G.Gini)根据洛伦茨曲线给出了衡收入分配平均程度的指标。A表示实际收入曲线与绝对平均线之间的面积；B表示实际收入曲线与绝对不平均线之间的面积。如果A=0，则基尼系数=0，表示收入绝对平均；如果B=0，则基尼系数=1，表示收入绝对不平均基尼系数在0 和1之间取值。AB34统计学351.3.3洛伦茨曲线与基尼系数（2）基尼系数：一般认为，基尼系数若小于0.2，表明分配平均；基尼系数在0.2至0.4之间是比较适当的，即一个社会既有效率又没有

15、造成极大的分配不公；基尼系数在0.4被认为是收入分配不公平的警戒线，超过了0.4应该采取措施缩小这一差距。35统计学第2节分布集中趋势的测度z集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，对其测度就是找到其代表值。z本节需要把握七个问题：z2.1众数；2.2中位数；z2.3四分位数；2.4均值；2.5调和平均数z2.6几何平均数；2.7切尾均值；z2.8众数、中位数、均值的比较。36统计学2.1众数（mode）z把握三个问题：z2.1.1众数的概念；z2.1.2众数的确定与计算；z2.1.3众数的统计思想。37统计学 2.1.1众数的概念z（1）众数是一组数据中出现次数最多的变量值，适合于数据量

16、较多时使用，主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据z在统计实践中有时用众数说明现象的一般水平，如了解市场需求量多的服装款式。z（2）从分布看，它是数据分布的最高峰点，若没有最高峰点，众数可以不存在，也可以有多个高峰点，对应多个众数。z看下例和图：z 38统计学众数(不惟一性不惟一性)z无众数无众数原始数据:10 5 9 12 6 8一个众数一个众数原始数据:6 5 9 8 5 5多于一个众数多于一个众数原始数据:25 28 28 36 42 4239统计学z（1）未分组数据或单变量值分组数据：找出出现次数最多的变量值。z（2）组距分组数据：众数数值与其相邻两组的频数分布有关。设众数组的

17、频数为f，前一组频数为f-1，后一组频数为f+1。zA、图形确定：从众数组直方图的两顶角向相邻两组直方图的两顶角引直线，其交点向横轴引垂线，交点为众数。看图2-4：2.1.2众数的确定与计算40统计学图2-4众数与相邻两组的关系示意图当f-1=f+1时如图（a），当f-1f+1时如图（b），当f-1f+1时如图（c）。（a）（b）（c）41统计学 2.1.2众数的确定与计算z（2）组距分组数据：B、公式计算：z上限公式z下限公式zM0表示众数，L表示众数组的下限值，U表示众数组的上限值，i表示众数组的组距。看下例：42统计学43表2-3某车间30名工人加工零件数分组表按零件数分组频数（人）频率

18、（%）向上累积 向下累积频数（人）频率（%）频数（人）频率（%）8090 90100 100110 110120 120130 3 7 13 5 2 10.0 23.3 43.3 16.7 6.7 3 10 23 28 30 10.0 33.3 76.6 93.3100.0 30 27 20 7 2100.0 90.0 66.7 23.4 6.7 合计 30 100 43统计学 例2-2z根据本章例2-1的数据，计算30名工人周加工零件数的众数。z解：众数组为100110，其频数为13，根据公式计算众数为：44统计学（3）公式计算的假定：数据分布具有明显的集中趋势，同时假定众数组的频数在该组内

19、是均匀分布的。若假定不存在，众数的代表性会很差。2.1.2众数的确定与计算45统计学 2.1.3众数的统计思想z在一组数据的中心点附近，变量值出现的频数较高，根据众数组及相邻两组的频数分布，确定中心点的位置。z因此，众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响。46统计学2.2中位数(median)把握以下三个问题：2.2.1中位数的概念；2.2.2中位数的计算；2.2.3中位数的特点与性质。47统计学2.2.1中位数的概念它是一组数据按大小排序后，处于中间位置上的变量值。主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据中位数将全部数据等分成两部分，一部分数据比中位数大，另一部分比中位

20、数小，它也是一个位置代表值。MMe e50%50%48统计学2.2.2中位数的计算（1）根据未分组数据计算：A、先对数据排序；B、确定中位数的位置，公式为(N+1)/2，N 为数据的个数；C、确定具体数值。设一组数据为X1，X2，,XN,从小到达排序后为X(1),X(2),X(N),若N为奇数,则中位数为 ;若N为偶数,则中位数是 与 的平均数.设中位数为M0,公式为:49统计学2.2.2中位数的计算（1）根据未分组数据计算：当N为奇数时 当N为偶数时看下面的算例：50统计学数值型数据的中位数(9个数据的算例)z【例例】9个家庭的人均月收入数据原始数据原始数据:1500 750 780 108

21、0 850 960 2000 1250 1630排排 序序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 9中位数中位数 108051统计学数值型数据的中位数(10个数据的算例)z【例例】：10个家庭的人均月收入数据排序排序:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位置位置:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52统计学 2.2.2中位数的计算z（2）根据分组数据计算：zA、先根据公式 N/2 确定中位数的位置，并确定其所在组，然后公式计算：53统计学 公式z下限

22、公式z上限公式z式中：N为数据的个数，L、U为中位数所在组下限、上限，Sm-1为中位数所在组以前各组的向上累积频数，Sm+1为中位数所在组之后各组的向下累积频数，fm为中位数所在组的频数，i为中位数所在组的组距。54统计学55表2-3某车间30名工人加工零件数分组表按零件数分组频数（人）频率（%）向上累积 向下累积频数（人）频率（%）频数（人）频率（%）8090 90100 100110 110120 120130 3 7 13 5 2 10.0 23.3 43.3 16.7 6.7 3 10 23 28 30 10.0 33.3 76.6 93.3100.0 30 27 20 7 2100.

23、0 90.0 66.7 23.4 6.7 合计 30 100 55统计学 2.2.2中位数的计算 （2）根据分组数据计算；B、根据公式计算例2-1的数据，计算30名工人周加工零件数的中位数。解：中位数的位置=30/2=15，即它在100110一组，L=100，U=110，Sm-1=10，Sm+1=7，fm=13，i=10，代入公式得：56统计学 例2-3z z这样计算假定中位数所在组频数分布是均匀的。57统计学 2.2.3中位数的特点与性质z（1）特点：稳健性，其数值不受极值的影响。z（2）性质：各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即58统计学2.3四分位数(quartile)z把握两个问题

24、：z2.3.1概念与特点；z2.3.2计算59统计学2.3.1概念与特点（1）排序后处于25%和75%位置上的值QQL LQQMMQQU U25%25%25%25%（2）不受极端值的影响（3）主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据60统计学2.3.2计算z（1）位置的确定原始数据：原始数据：分组数据：分组数据：61统计学（2）数值型数据的四分位数 (9个数据的算例)z【例例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排排 序序:750 780 850 960 1080 1250 1500 163

25、0 2000位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 962统计学（3）数值型数据的四分位数(10个数据的算例)z【例例】：10个家庭的人均月收入数据排排 序序:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 63统计学(4)分组数据的四分位数z公式类似中位数的公式：64统计学(4)分组数据的四分位数z算例：根据书上1973-1974年澳大利亚收入分布资料计算其四分位数：z另一个四分位数自己计算。65统计学 2.4均值(mean)把握五个问题：2.4.1均值的概念；2.4.2根据未分组数据计算均值；

26、2.4.3根据分组数据计算均值；2.4.4均值的重要性；2.4.5调和平均数均值的另一形式。66统计学 2.4.1均值的概念z 又称算术平均数，它是全部数据的算术平均，是集中趋势的最主要测度值。用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据z根据数据表现形式不同，均值的计算不同。67统计学 2.4.2根据未分组数据计算均值z（1）公式：设总体数据为X1，X2，XN，样本数据x1，x2，xn，总体均值和样本均值 的计算公式分别为：68统计学 2.4.2根据未分组数据计算均值z（2）例子：根据例2-1的数据，计算30名工人周加工零件数的均值为：z这种方法计算又称简单算术平均(simple mean)，

27、均值受变量值大小影响69统计学 2.4.3根据分组数据计算均值（1）公式：设原始数据被分成K或k组，各组变量值为X1,X2,XK，或x1,x2,xk，各组变量值出现的频数分别为F1,F2,FK，或f1,f2,fk，则总体均值和样本均值的计算公式为:70统计学公式71统计学2.4.3根据分组数据计算均值z（2）例：z根据例2-1的数据，计算30名工人日加工零件数均值。z解:计算见表。z表表2-4 某车间某车间30名工人日加工零件数名工人日加工零件数均值计算表均值计算表308072统计学 例2-3z代入公式得：z这样计算用各组组中值代表各组实际数据，假定各组数据在组内均匀分布，与简单算术平均结果1

28、03.5比，差0.83件，是牺牲精度换来计算方便。73统计学 2.4.3根据分组数据计算均值z（3）这种算法又称加权算术平均或加权均值(weighted mean)，均值大小受各组变量值Xi大小影响，又受各组变量值出现频数多少（权数Fi大小）的影响。z如果某一组的权数较大，说明该组数据较多，它对均值的影响就越大；反之，则越小。我们再看变形公式。74统计学 （2.6)式的变形z z由上式知道，加权均值受各组变量值(Xi)大小和各组权数Fi/大小的影响。当掌握数据不是频数，而是频率时，可用上式计算均值。75统计学 2.4.4均值的重要性z（1）从统计思想看，均值是一组数据的重心，是数据误差相互抵消

29、的结果。z（2）均值的重要数学性质：zA、各变量值与其均值的离差之和为零，即zB、各变量值与其均值的离差平方和最小，即zC、均值是统计分布的均衡点76统计学2.5调和平均数z（1）又称调和均值，实际工作中由于所获数据不同，有时不能直接采用均值公式计算这时需用调和平均数形式计算，是均值的另一形式。z（2）例子：某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交额数据见下表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格。77统计学 表某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价（元）X i成交量（）Fi成交额(元)XiFi 甲 乙 丙 1.20 0.50 0.80 15000 25000 8000 18000 12500 6400 合

30、计 48000 3690078统计学 例子的解法z从实际意义，计算方法是平均价=成交额/成交量zA若已知批发价、成交量，加权算术平均计算：79统计学 例子的解法 B若已知批发价、成交额，需先求成交量，调和平均计算：z这与算术平均计算结果一致，实际它是加权算术平均的变形，即：80（3）调和平均的独立形式z它是各个变量值倒数的算数平均数的倒数，又称倒数平均数。未分组资料公式：z分组资料公式：81统计学例子z某市场白菜价格，早市为每元1公斤，中市为每元1.5公斤，晚市为每元2公斤，则白菜全天平均价为：82统计学 2.6几何平均数z把握以下问题：z2.6.1适用条件；z2.6.2计算及公式；z2.6.

31、3与均值的关系。83统计学 2.6.1几何平均数的适用条件z它是适用于特殊数据的一种平均数，主要计算比率或速度的平均。z当变量值是比率形式，而且各比率的乘积等于总的比率，用几何平均法计算平均比率。z实际应用中，它主要计算现象的年平均发展速度。84统计学2.6.2几何平均数的计算z（1）公式：85统计学 2.6.2几何平均数的计算z 【例例】一位投资者购持有一种股票，在2003年、2004年、2005年和2006年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。86统计学2.6.3与均值的关系z它可以看作均值的一种变形。具体，对公式两端取对数得:z看出几何

32、平均数的对数是各变量值对数的算术平均。87统计学2.7切尾均值(trimmed Mean)z把握两个问题：z2.7.1概念和公式；z2.7.2例子。88统计学2.7.1概念和公式（1）去掉大小两端的若干数值后计算中间数据的均值。在电视大奖赛、体育比赛及需要人们进行综合评价的比赛项目中已得到广泛应用（2）计算公式为n n 表示观察值的个数；表示观察值的个数；表示切尾系数，表示切尾系数，89统计学2.7.2例子z 【例例】某次比赛共有11名评委，对某位歌手的给分分别是：经整理得到顺序统计量值为经整理得到顺序统计量值为90统计学2.7.2例子去掉一个最高分和一个最低分，取去掉一个最高分和一个最低分，

33、取1/11 91统计学2.8众数、中位数和均值的比较z把握两个问题：z2.8.1众数、中位数和均值的关系；z2.8.2众数、中位数和均值的特点和应用场合。92统计学 2.8.1众数、中位数和均值的关系 z（1）从分布的角度：众数是一组数据分布的最高峰值，中位数是处于一组数据中间位置上的值，均值是全部数据的算术平均。z对同一组数据计算三者，三者关系：93统计学 2.8.1众数、中位数和均值的关系z（2）从分布看：z如果数据有单一众数且对称分布，则三者相等，即z如果数据是左偏分布，数据有极小值，拉动均值向极小值靠，中位数和众数不受影响，三者关系为：z如果数据右偏分布，数据有极大值，拉动均值向极大值

34、靠，则94统计学 图众数、中位数和均值的关系 左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布均值均值均值均值均值均值 中位数中位数中位数中位数中位数中位数 众数众数众数众数众数众数对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布 均值均值均值均值均值均值=中位数中位数中位数中位数中位数中位数=众数众数众数众数众数众数右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布众数众数众数众数众数众数 中位数中位数中位数中位数中位数中位数均值均值均值均值均值均值95统计学 2.8.1众数、中位数和均值的关系z（2）从数值关系看，当数据分布偏度不大时，三者在数轴上的三点构成一定的数量关系，即众数距离均值最远

35、，中位数在二者之间，若把众数与均值间距离作为1，则中位数与均值的距离约为1/3，中位数与众数间距离约为2/3。96统计学 如图所示z根据上述关系，得出 97统计学2.8.2众数、中位数和均值的特点和应用场合z（1）特点：zA、众数是一组数据分布的峰值，是位置代表值。优点是易理解，不受极值的影响。当数据分布集中趋势明显时，其代表性比均值好。缺点是不唯一。98统计学 2.8.2众数、中位数和均值的特点和应用场合z（1）特点：zB、中位数是一组数据中间位置上的代表值，类似的有四分位数、十分位数、百分位数等。它不受极值的影响，当数据偏态分布时，代表性好于均值。99统计学 2.8.2众数、中位数和均值的

36、特点和应用场合z（1）特点：zC、均值是根据全部数据计算，具有优良的数学性质，应用最广泛。缺点受极值影响，数据偏态分布时，其代表性差。z均值的变形几何平均数、调和平均数适合特殊代表值，前者用于计算比率的平均数，后者用于不能直接计算均值的数据z 100统计学 2.8.2众数、中位数和均值的特点和应用场合z（2）应用场合：A、从分布看，数据接近对称分布时，选择均值作为代表值；对于偏态分布选择众数、中位数等位置代表值，代表性好于均值。zB、从数据类型，定类、定序数据可以计算众数、中位数，无法计算均值；定距、定比数据可以计算均值、也可以计算众数、中位数；调和、几何平均数不适合定距数据，定比数据可以计算

37、101统计学 第3节分布离散程度的测度z本节内容：考察变量值间的差异程度，研究数据的离散程度，就是变量值远离中心值的程度，又称离中趋势。z数据的离散程度反映了集中趋势测度值的代表性，离散程度越大，说明集中趋势测度值的代表性越差，反之，越好。102统计学 第3节分布离散程度的测度z把握以下问题：z3.1极差的含义及特点；z3.2内距；z3.3方差和标准差；z3.4离散系数的意义、计算和适用场合。103统计学3.1极差(range)的含义及特点z把握以下问题：z3.1.1极差的含义；z3.1.2极差的特点。104统计学 3.1.1极差的含义z又称全距，它是一组数据的最大值与最小值之差，即zR=ma

38、x（Xi）min（Xi）（2.9)z式中：R表示极差，max（Xi）和min（Xi）分别表示一组数据的最大、最小值。z组距分组数据的极差可表示为：zR最高组上限最低组下限105统计学 例子z根据第二章例2-1中的数据计算极差:R=128-84=44128-84=44(件)z根据分组后的数据计算:zR 130-80=50(件)106统计学 3.1.2极值的特点z计算简单，易于理解，实际中如股票的最高价与最低价。z但它受极值的影响，原因在它只是用到两端数据，不能反映中间数据的分布，实际中如比赛中要去掉一个最高分、一个最低分。107统计学3.2内距(Inter-Quartile Range,IQR)

39、(1)也称四分位差(2)上四分位数与下四分位数之差 内内 距距=Q3 Q1(3)反映了中间50%数据的离散程度(4)不受极端值的影响(5)可用于衡量中位数的代表性108统计学 附加：平均差z 又称平均离差，它是各变量值与其均值离差绝对值的平均数。它以均值为中心，反映每个数据与均值的离差程度，能全面反映一组数据的离散状况，数值大则离散程度大，反之则小。但由于采取绝对值避免z计算不便，其数学性质不是最优，用的少。109统计学附加：平均差z公式：z未分组数据z分组数据110统计学3.3方差和标准差(Variance and Standard deviation)z把握以下问题：z3.3.1方差的概念

40、；z3.3.2总体方差和标准差；z3.3.3样本方差和标准差；z3.3.4标准化值；z3.3.5是非标志的标准差。111统计学3.3.1方差的概念z它是各变量值与其均值离差平方的平均数，是测度定距、定比数据离散程度的最主要方法。z根据总体数据和样本数据计算方差在数学处理上略有不同。112统计学 3.3.2总体方差和标准差z（1）设总体方差为2，对于未分组数据，方差计算公式为：z对于分组数据，公式为：1133.3.2总体方差和标准差z（2）方差的平方根即为标准差，其公式：未分组数据：z分组数据：114 3.3.2总体方差和标准差z（3）标准差与方差相比：z标准差有量纲，与变量值的计量单位相同，其

41、实际意义比方差清楚，在实际应用中更多使用标准差。115统计学 3.3.3样本方差和标准差z（1）与总体方差的区别：z后者用数据个数或总频数去除离差平方和，样本方差用样本数据个数或总频数减一去除离差平方和，即n-1称为自由度。z设样本方差为S2n-1。116统计学 自由度(degree of freedom)z自由度指一组数据中可自由取值的个数。当样本数据为n，均值确定后只有n-1个数据可以自由取值。例如，有2、4、9三个数值，均值为5，此后只有两个值可以自由取，比如前两个值为6、7，则第三个值只能是2。z样本方差用自由度去除原因是抽样估计中用S2n-1估计2，是2的无偏估计量z 117统计学

42、3.3.3样本方差和标准差z（2）样本方差公式：z未分组数据z分组数据118统计学3.3.3样本方差和标准差z（3）样本标准差公式：z未分组数据z分组数据119统计学 例如z用例2-1分组的数据计算样本标准差：z当n很大时，样本方差与总体方差计算结果相差很小，可以用样本方差公式计算。120统计学 3.3.3样本方差和标准差z（4）与平均差的区别：z在数学处理上通过平方消去离差的正负号。便于数学处理。它根据全部数据计算，准确地反映数据的离散程度，在实际中广泛应用方差或平均差测度离散程度。121统计学 3.3.4标准化值z（1）根据均值和标准差可以计算一组数据中各个数值的标准化值，设标准化值为Z，

43、则有：122统计学 3.3.4标准化值z（2）在对多个不同量纲的指标进行处理时，需要对各指标进行标准化处理。它又给出了一组数据中个数值的相对位置。如，标准化值为1.5，则该数据是在高于均值1.5倍标准差的位置，即z对一组数据大约有68%的数据在 范围内，95%在 范围内，99%在 范围内，在此范围内几乎包括了全部数据，而 之外的数据，统计上称为离群点。123统计学 3.3.5是非标志的标准差z（1）是非标志的概念：z在统计中，有时把现象的总体单位分成具有某一标志的单位和不具有某一标志的单位两组，这个标志是品质标志。如将全部产品分为合格品和不和格品两组。z这种用是、否或有、无表示的标志被称为是非

44、标志。124统计学 3.3.5是非标志的标准差z（2）是非标志的成数：是非标志不能用数量表示，可以计算结构比例，即总体中具有某一标志的单位数占总体单位数的比重或成数，设为P，如产品合格率；不具有某一标志的单位数占总体单位数的比重或成数，设为Q。z设总体单位数为N，具有某一标志的单位数为N1，不具有某一标志的单位数为N0，N0+N1=N，P=N1/N，Q=N0/N，P+Q=1125统计学 3.3.5是非标志的标准差z（3）是非标志的平均数：z将是非标志量化，是表示为1，非表示为0，则其平均数按加权公式计算 126统计学 3.3.5是非标志的标准差z（4）是非标志的标准差：127统计学 例子z已知

45、某产品的合格率为95%，求其合格率的标准差。z解：128统计学3.4离散系数(coefficient of variation)的意义、计算和适用场合z 把握以下问题：z3.4.1离散系数的意义；z3.4.2离散系数的计算；z3.4.3离散系数的适用场合。129统计学 3.4.1离散系数的意义z（1）又称标准差系数，它是一组数据的标准差与其均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。z（2）意义：A、方差和标准差是反映数据分散程度的绝对数，它受变量值大小和其均值大小的影响；zB、且有单位，对均值不同或计量单位不同的变量值，不能直接比较，因此引入离散系数。130统计学 3.4.2离散系数的计算z（1

46、）其计算公式为：zV和VS分别表示总体离散系数和样本离散系数。z（2）例：某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如下表所示。试比较产品销售额与销售利润的离散程度。131统计学表2-5某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）X1销售利润（万元）X2 1 2 3 4 5 6 7 8 170 220 390 430 480 650 950 1000 8.1 12.5 18.0 22.0 26.5 40.0 64.0 69.0132统计学 例子的解z由于销售额与利润额数据水平不同,不能直接用标准差比较,需要计算离散系数。由表中数据得：z =536.25(万元)S1=309.1

47、9（万元）V1=0.577z =32.5215(万元)S2=23.09(万元)V2=0.710z计算结果表明V1V2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度。133统计学 第4节分布偏态与峰度的测度z偏态和峰度是对数据分布偏斜和扁平程度的描述。z把握如下问题：z4.1偏态及其测度；z4.2峰度及其测度。134统计学4.1偏态及其测度z把握以下问题：z4.1.1偏态的意义；z4.1.2偏态系数的计算公式；z4.1.3例子。135统计学 4.1.1偏态的意义z它是对分布偏斜方向及程度的测度。前面学过用众数、中位数和均值间的关系判断分布是左偏还是右偏，但不能测度偏斜程度，这需要计算偏态系数，

48、它是对分布偏斜程度的测度。136统计学 4.1.2偏态系数的计算公式z公式为：137统计学 4.1.2偏态系数的计算公式z公式的理解：上式是根据离差三次方的平均数再除以标准差的三次方，当分布对称时，离差三次方后正负离差可以相互抵消，公式分子为0，则SK=0；当分布不对称时，正负离差不能抵消，SK有正负。SK为正值表示正偏离差值较大，可以判断正偏或右偏；反之，SK为负值表示负离差数值较大，可以判断为负偏或左偏。在计算SK时，将离差三次方的平均数除以标准差的三次方是把偏态系数转化为相对数，SK的绝对值越大，表示偏斜程度越大。138统计学 4.1.3例子z例:已知1997年我国农村居民家庭按纯收入分

49、组的有关数据如表2-6。计算偏态系数。表2-6农村居民家庭按纯收入分组的数据按纯收入分（百元）5以下510101515202025户数比重（%）2.2812.4520.3519.5214.93按纯收入分(百元)2530303535404045455050以上户数比重(%)10.356.564.132.681.814.94139统计学 4.1.3例子z解:计算过程见表(略),根据表数据计算得:140统计学 4.1.3例子z将计算结果代入公式得：z由结果知，偏态系数为正，且数值较大，说明农村家庭纯收入的分布为右偏分布，即收入较少的家庭占多数，收入较高的家庭占少数，且偏斜的程较大。141统计学 4.

50、2峰度及其测度z把握以下问题：z4.2.1峰度的意义；z4.2.2峰度的计算公式；z4.2.3例子。142统计学 4.2.1峰度的意义z 峰度是分布集中趋势高峰的形状。它通常是与正态分布相比而言，在同一方差时，若分布比正态分布更高更瘦，则为尖峰分布，反之，则为平峰分布，如图2-5所示143统计学 如图z 144统计学 4.2.2峰度系数的计算公式z峰度系数是离差四次方的平均数，再除以标准差的四次方，公式为：145统计学 4.2.2峰度系数计算公式z公式的理解：将离差的四次方除以标准差的四次方是为了将峰度系数转化成相对数。z用峰度系数说明分布的尖峰和扁平程度，是与正态分布的峰度系数比较而言。由于