教育专题：讲座——数学思想应用2011.ppt

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1、讲讲 座座数学思想应用数学思想应用讲讲 座座(一一)递推思想应用递推思想应用 张 涛 一、数线段、三角形、一、数线段、三角形、角、交点、部分角、交点、部分 1数线段数线段 直线上依次有 个点，问最多能构成多少条线段？解1：解2：2数三角形数三角形 直线上依次有 个点，直线外有1个点，连接这些点，问最多能构成多少个三角形？解：3数角数角 人教版数学七年级上册第四章 观察：从同一定点出发的 条射线，问它们最多能构成多少个角？解：4数交点数交点 人教版人教版数学数学七年级上册第四章七年级上册第四章 拓广探索：平面上拓广探索：平面上2条直线相交，有条直线相交，有1个交个交点，点，3条直线相交，最多有多

2、少个交点？条直线相交，最多有多少个交点？4条呢？条呢？条呢？条呢？解：解：5数部分数部分 （1）直线上 个点最多可以把直线分成几部分？解：所以 （2）人教版数学八年级上册第十四章 拓广探索：平面上 条直线最多可以把平面分成几部分？解：（3）空间中 张平面最多可以把空间分成几部分？解：二、线段染色问题二、线段染色问题 1问题的原型与问题的提出问题的原型与问题的提出 题目题目1假设世界上任何两个人要么互相认识，要么互相不认识，则世界上任何6个人中必有3人互相认识或必有3人互相不认识 题目题目2世界上任何6个人在一起，每两人都用左手或右手握一次手，证明至少有3人互相用左手握了手或者互相用右手握了手

3、题目题目3设有6棵树，任意3棵不共线，任意两棵树之间用白线或黑线连接，证明无论怎样连，总存在同色的三角形 题目题目4在6个同学中，任意两个同学都通一次电话，在他们的通话中仅讨论所规定的两个问题中的一个问题，证明至少有3个同学在通话中讨论了同一个问题 以上四个题目，本质上是一个题目 问题：问题：平面上有6个点，任意三点不共线，将其任意2点用线段连接现用两种颜色给每条线段染色，证明：无论怎样染，总有同色的三角形 2问题的推广问题的推广 （1）平面上有17个点，任意三点不共线，将其任意两点用线段连接现用3种颜色给每条线段染色，证明：无论怎样染，总有同色的三角形 （2）平面上有66个点，任意三点不共线

4、，将其任意两点用线段连接现用4种颜色给每条线段染色，证明：无论怎样染，总有同色的三角形 （3）3递推公式递推公式 将颜色种数记为 ，平面点数记为 ，即 平面上至少有 个点，任意三点不共线，将其任意两点用线段连接，用 种颜色给每条线段染色，无论怎样染，总有同色的三角形求 找规律 猜想：猜想：4通项公式通项公式 记 ，由 得 ，且 则则 ，其中 故 ，或或采用收尾法时 （收尾法）5 的计算的计算 6 的奇偶性，如的奇偶性，如 的奇偶性的奇偶性 7 的奇偶性的应用的奇偶性的应用 三、项链染色问题三、项链染色问题 从一道竞赛题说起：从一道竞赛题说起：抽象地说就是：中间有1块区域，周围有5块区域围成一圈

5、，这5块区域两两邻接而且都和中间的区域邻接现有4种颜色的盆景花，要求相邻的花不同色，问有多少种不同的摆法？这个问题可以抽象成用3种颜色给一条5颗珠子的项链染色，要求相邻的珠子不同色，问有多少种不同的染法？（如下图）问题：问题：用 种颜色给一条 个珠子的项链染色，要求相邻的珠子不同色，问有多少种不同的染法？讨论一、讨论一、的情况的情况 1假设项链是条形的显然，当 时有1种染法，当 时不存在满足要求的染法 2假设项链是环形的显然，当 时有1种染法，当 时不存在满足要求的染法 讨论二、讨论二、的情况的情况 1假设项链是条形的 由于相邻的珠子不能同色，所以它们的颜色必须相间，所以满足要求的染法有2种

6、2假设项链是环形的 当 时，显然有2种染法 当 时，由于相邻的珠子不能同色，所以它们的颜色必须相间 当 为偶数时，有2种染法 当 为大于1的奇数时，满足要求的染法不存在 讨论三、讨论三、的情况的情况 1假设项链是条形的 （）通过具体试染可得 ，（）猜测递推公式，及 （3）通项公式为 2假设项链是环形的 当 时，满足要求的染法当且仅当是 中第 个与第个不同色的染法记 中第 个与第个不同色的染法的种数为 （1）具体试染得 （2）递推公式 或 或 或 （3）通项公式为 证明：通过递推公式 用初等方法求通项 记 （），则 ，因而 从而 讨论四、讨论四、的情况的情况 1假设项链是条形的假设项链是条形的

7、2假设项链是环形的 （1）同讨论三类似可知 ，（2）递推公式 或 （3）通项公式为 讨论五、对讨论五、对 取任意值的情况取任意值的情况 1对条形项链有 2对环形项链有 原题的解答：当k=3,n=5时，x=30所以共有430=120种不同的摆法。四四、拆项链问题、拆项链问题 1问题的原型问题的原型 汉森太太走进海边的一家旅馆，要租用一个房间，租期为一周这家旅馆的房费每天25美元（美金），而且要求每天交现金汉森太太没有带现金，只好准备把一根金项链作为现金支付这根金项链共7节，每节都值25美元她对旅馆经理说明：“我马上去找珠宝匠把项链拆开，每天给你一节，等到周末我的现金汇到再把项链赎回”经理同意了但

8、是珠宝匠是以切割和以后重新连接项链的节数来计算工钱的那么，以什么方式断开项链能少花这笔费用而又能做到每天用一节项链来付房费呢？2问题的解答问题的解答 只要断开第3节即可 这是因为，当断开第3节后，项链被分成了3段，它们分别是1节、2节和4节第一天付1节，第二天用2节去换回1节，第三天再付1节，第四天用4节去换回那3节，第五天再付1节，第六天用2节换回1节，第七天再付1节显然这是断开项链的最佳方法 3解答的数学原理解答的数学原理 将1，2，4用二进位制表示为 ，显然这三个数之和可以表示出任何一个不超过三位的二进位数 ，即1，2，3，4，5，6，7 4问题的引深问题的引深 若项链有 节（），问最少

9、需要断开几节？答案是断开1节 若 ，问最少需要断开几节？怎样断法？5反向问题反向问题 要保证每天付一节项链，只准断开 节，问这根项链最长多少节？设这根项链最长为 节，这 节断开的项链将整条项链最多分成 段，它们最长各为 ，节 所以相连总长为：所以 6具体做法 设项链有 节，且 则需断开 节项链：第 ，节，这 节即可.7举例：举例：（1）解：由 知 就是说只需断开第4和第11节，得到的5段分别为1，1，3，6，12节 （2）或 即租一年 解：由 知 故只需断开5节第7，20，45，94，191节即可 五、天平砝码的重量设计五、天平砝码的重量设计 问题的提出问题的提出 如何设计天平的砝码重量才最经

10、济？下面分两种情况来讨论只允许在天平的一端放砝码和允许在天平的两端放砝码 1只允许在天平的一端放砝码只允许在天平的一端放砝码 砝码的重量应该依次为1，2，4，8，16，也就是 ，它们的二进制表示为 ，根据二进制数的知识可知用这样 个砝码就可以称出 的每个单位的重量（）从以上讨论可知这最经济如拆项链 2允许在天平的两端放砝码允许在天平的两端放砝码 砝码的重量应该依次为 1，3，9，27，81，也就是 ，利用这样设计的 个砝码 ，就可以称出1 的每个单位的重量 （），例如，（奥赛题）要用天平称出140克的重量，应设计4个砝码，重量分别为1克、3克、9克、27克具体称法自试 如此设计10个砝码可称出

11、129524的每个 单 位 的 重 量，20个 砝 码 可 称 出11743392200的每个单位的重量 六、费波拿奇数列六、费波拿奇数列 问题的原型问题的原型：如果一对小兔子（一公一母）一个月长大，以后每个月生一对小兔子，假设所有的兔子都不死，问 个月后共有多少对兔子？很多现实中的问题都是这一模型，如树枝分叉、树叶、病菌、股票等 递推公式：递推公式：记第 个月的兔子对数为 ，由于第 个月的每对兔子都生1对小兔子，而且第 个月的兔子都没死，所以第 个月的兔子对数就是第 个月的兔子对数加上第 个月的兔子对数，即 或 其中 ，简单计算可得数列的前几项为：通项公式通项公式：（用母函数法求）设 则 -

12、得 ，从而 由幂级数展开的唯一性得 七七、世界末日问题、世界末日问题 印度有一个古老的传说：“梵天（印度教的主神）创造世界的时候，在黄铜板上插上了三根宝石针，在其中的一根针上从下到上放了由大到小的64片金片这就是所谓的梵塔不论白天黑夜，都有一个值班的僧侣把这些金片在三根针上移来移去，移动的法则是：一次只能移一片，要求不管在哪根针上，小片永远在大片的上面当所有的64片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界就将在一声霹雳声中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽”1问题的提出问题的提出 将上述的64改成一般的 ，全部移到另一根上最少需要 次，求 2 的递推公式的递推公式 显然 ，3 的

13、通项公式的通项公式 由 得 所以 ，从而 4世界末日问题的数字答案世界末日问题的数字答案 5世界末日问题的时间答案世界末日问题的时间答案 假如僧侣们每一秒钟移动一片金片，日夜不停，岁岁如此，全部移完大约需要58万亿年！太阳系的寿命不会超过200亿年 6象棋发明人的报酬问题象棋发明人的报酬问题 这么多的麦子需要全世界生产2000年！八、八、研讨研讨称球问题称球问题 一、所给工具为带有砝码的天平秤 设有 堆球，其中有一堆每个的重量为 ，其余 堆每个重量为 ，问最少称几次可以找出每个重量为 的那一堆？二、所给工具为没有砝码的天平秤 设有 个球，其中只有 个为次品（重量不一样）问最少称几次可以找出那个

14、次品球？讲讲 座座(二二)数形结合思想应用数形结合思想应用 勾股定理的应用勾股定理的应用 张 涛一、黄金分割点一、黄金分割点 1 黄金分割点的计算 设线段 的黄金分割点为 ，则 即 。解得 即 2 黄金分割点的作图法 设线段 的长为 ，过 作 的垂线 使 的长为 ，连 。以 为心过 画圆交 于 ，以 为心过 画圆交 于 ，则 就是 的黄金分割点，即 3 证明所以二、正十边形二、正十边形 1黄金三角形（顶角为 的等腰三角形）作一个顶角为 腰长为 的等腰三角形并作出其一个底角的角平分线，设这个三角形的底长为 。则由相似三角形的对应边成比例 可得 ，即 ，解之得 所以 2正十边形的边长 正十边形的每

15、个圆心角为 ，其半角为 。设圆的半径为 ，则正十边形的边长为 3正十边形的作图 作半径为 的圆 的互相垂直的两条直径 与 ，取 的中点 ，连 。以 为心过 画弧交 于 ，以 为心过 画弧交圆 于 ，连 ，则 就是正十边形的一条边 4证明 三、正五边形三、正五边形 1正五边形的边长 正五边形的每个圆心角为 ，其半角为 。设圆的半径为 ，则正五边形的边长为 。而 从而 2正五边形的作图 作半径为 的圆 的互相垂直的两条直径 与 ，取 的中点 ，连 。以 为心过 画弧交 于 ，以 为心过 画弧交圆 于 ，连 ，则 就是正五边形的一条边 3证明 4中国民间近似解法 九五顶五八，八五两边分 ；讲讲 座座

16、(三三)类比思想应用类比思想应用 贝努力难题贝努力难题 张 涛一、雅各一、雅各贝努力难题的由来贝努力难题的由来 雅各贝努力（16541705）是瑞士巴塞尔大学的数学讲座教授，他曾求出了很多无穷级数的和，但对于所有正整数平方的倒数和 却束手无策，于是他便声称：“假如有人能够求出这个我直到现在还未求出的和，并把它通知我，我将非常感激”。二、欧拉的天才解法二、欧拉的天才解法 欧拉（17071783）于1740年的解法 1假设 为 的 个不同的非零根，则 2假设 为 的 个不同的非零根，由知 3将的括号展开并比较等号两边关于 项的系数得 4考虑三角方程 的幂级数展开式 这是一个一元无限次方程，是方程的

17、根，即有无限个根 ，将 这个根去掉，同时两边同除以 得 它的无限个根为 ，5将、两式分别与、两式作类比就有和所以 6欧拉还用同样的方法得出：三、异议三、异议 异议主要集中在、两式分别与、两式作类比上，因为作为有限次代数方程来说，、两式的结论无疑是正确的，但是对于无限次方程是否有类似的结论呢？这在数学上找不到依据，因此欧拉的这个方法值得怀疑。这一异议持续了十年之久，但是欧拉深信自己的结论是正确的，并进行数值检验。后来欧拉给出了这个问题的新的严格证明。四、贝努力难题的解法 1将 的右端二项式展开，比较虚部与实部得所以 当 时有 2令 （）得 这说明 （）是方程 的 个根。由韦达定理得 从而 由 得

18、 故 3对 从 到 取和得 即取极限由两边夹得 或 讲讲 座座(四四)拓扑思想应用拓扑思想应用 张 涛一、一笔画问题一、一笔画问题1介绍一笔画问题2欧拉定理：（1）能一笔画的充要条件是奇数点至多两个（2）能回到出发点的一笔画的充要条件是没有奇数点（3）不能回到出发点的一笔画的充要条件是只有两个奇数点二、将军饮马问题二、将军饮马问题1介绍“将军饮马”问题：将军牵着马从A地到河边饮马后要到同岸的B地问怎样走最近？答案是：应瞄准B地关于河岸的对称点C走到河边D，饮完马后径直走到B地2引申出光线折射、照镜子、打台球等等3.拓广探索题10：（1）从A到B应该走线段AB（2）从A到C应该先从A到BD的中点

19、，再到C（3）引申：如果所给的立体为长方体时，怎样走最近？(俄国名题蜘蛛与苍蝇)4 拓广拓广（1）水杯上的蚂蚁爬行路线（2）漏斗上的蚂蚁爬行路线（3）可展曲面与不可展曲面（4）地图三、结合三、结合 数学活动数学活动2介绍莫比乌斯带介绍莫比乌斯带1莫比乌斯带有几面？莫比乌斯带有几面？2把纸条一端扭转 粘合而成的曲面是几面的？3沿莫比乌斯带的2、3、4、5、6等分线剪开后会得到什么结果？4莫比乌斯带有什么实用价值？5克莱茵瓶四、介绍正多面体四、介绍正多面体正多面体只有五种正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体证明：设正多面体的每个面都是正n（n2）边形，每个顶点在k（k2）个n边形上

20、，n边形的每个内角为 ，则 或当n=3时，k=3,4,5得到正四、八、二十面体；当n=4时，k=3得到正六面体；当n=5时，k=3得到正十二面体当n5时，无解所以正多面体只有上述五种五、介绍欧拉公式五、介绍欧拉公式记多面体的顶点数为V，面数F，棱数为E，则有1.证明：对任何m（m4）个面的多面体，记它的顶点数、面数和棱数分别为 、和 ，把它想象成一个由m个可伸缩的面围成的，先取下一个面，把余下的图形的开口向外拉开直到摊平在平面上，选定其中的一个面（n边形），让这个面的各边收缩成一个点，就得到了m-1个面的多面体，记它的顶点数、面数和棱数分别为 、和则有 所以这说明 的值与多面体的顶点数、面数、

21、棱数及形状都无关，对正方体来说有 ，所以对任何多面体都有2.欧拉公式成立的条件（1）（2）六、皮亚诺定理能否类比六、皮亚诺定理能否类比 亚诺定理：平面上任何一条简单封闭曲线，都能把平面分成两部分 能否类比成：三维空间中任何一张简单封闭曲面，都能把空间分成两部分？答案是不能！如克莱茵瓶，讲讲 座座(五五)变量替换思想应用变量替换思想应用二、三、四次方程的解法二、三、四次方程的解法 张 涛一、代数方程的化简一、代数方程的化简 任一代数方程 都可用平移变换 变成与其同解的缺少 次高项的方程 用待定常数法，将 代入得 展开得 合并得 令 ，即 ，即 时，即可消 去次高项。二、二三次方程的韦达定理二、二

22、三次方程的韦达定理 （1），是方程 的解 的充要条件是 （2），是方程 的解的充要条件是三、二次方程三、二次方程 二次方程二次方程 （）两边同除以 得 令 代入得 解得 ，代回得四、三次方程四、三次方程 三次方程 用变换 转化成等价方程 转化后的方程还是不能直接求解，考虑用两个待定变量代替 ，设 代入得 展开整理得 两个未知量只有一个方程，所以可增加一个条件，今要求 这样就变成了两个方程 和 所以根据韦达定理可知 和 是二次方程 的两个根，解得 由此得 最后得 五、四次方程五、四次方程 四次方程 用变换 转化成等价方程 转化后的方程还是不能直接求解，考虑用三个待定变量代替 ，设 代入得展开整理

23、得 因为用了3个未知量代替了一个未知量，所以还可以再增加2个条件，为此设 代入得即 从而得 由、及韦达定理可知 ，是3次方程 的3个根，记这个三次方程的3个根为 ,和 ，则 ，这时 有8种可能的组合，但由于有条件的限制，实际上只有4种组合为方程的4个根 六、小结六、小结 1共同点是先把方程用平移变换消去次高项2解二次方程,是先消去一次项,再开方,将其转化成一次方程来处理.3解三次方程时引进了两个辅助变量和一个二次辅助方程，这说明要解三次方程必须要先会解二次方程4解四次方程时引进了三个辅助变量和一个三次辅助方程，这说明要解四次方程必须要先会解三次方程5这种解法是否能类比？就是说是否可以通过引进四

24、个辅助变量和一个四次辅助方程的方法解出五次方程？事实上,这个类比是不可能成功的.七、韦达解三次方程七、韦达解三次方程 任意三次方程都同解于方程 ，用变换 代入得 ，展开得 即 ，或 这是关于 的二次方程，求出 ，然后求 ，再求 讲讲 座座(六六)病例诊断病例诊断 张 涛 一、常识方面一、常识方面问题问题1 百米赛跑（都按匀速计算），甲比乙早到5米，甲比丙早到10米，问乙比丙早到几米？问题问题2：今年比去年的多百分之十，问去年比今年的少百分之几？问题问题3：爷孙俩卖瓜，三块钱一个，五块钱两个。今有甲、乙、丙三人合买了两个瓜，每人给了两块钱。三人走后，卖瓜老爷爷意识到共收了六块钱，多收了这三人一块

25、钱，便打发小孙子送还多收的那一块钱。小孙子在追赶的路上渴了，花四毛钱买了一根冰棍儿吃了。追上三人后把剩下的六毛钱还给每人两毛钱。有好事者见了问道：你们三人相当于每人交了一块八毛钱，共五块四毛钱，就算加上小孩儿吃的四毛钱的冰棍钱，也只有五块八毛钱，那还差两毛钱哪里去了？二、二、运算方面运算方面问题问题1 1=2证明：设 ，则问题问题2 证明：设 ，则 。则问题问题3证明：证明：问题问题4 证明：设 ，则 问题问题5证明：证明：三、三、代数方面代数方面问题问题 设设 且且 ，求求 的值。的值。解：四、四、三角方面三角方面问题问题 已知已知 ，（其中（其中 ，为锐角），求为锐角），求 。解：平方和得

26、解：平方和得 即 ，或 平方差得 即 ，即 即 所以 由 ，为锐角且 知 ，所以 五、五、几何方面几何方面问题1 求证：任一三角形都是等腰三角形。证明：任给三角形，选定一个角，作这个角的平分线和它对边上的垂直平分线，则它们可能平行，也可能相交，相交时还可分成交点在三角形之内、之上和之外。各种情况下都可证明此三角形是等腰三角形。如图：问题问题2 举例说明：直角可以等于钝角。六、六、按比例分配方面按比例分配方面问题问题1：一老翁只有三子，家产只有17匹马。去世后留下遗嘱：“17匹马，长子得1/2，次子得1/3，三子得1/9”。弟兄三人无法分，请来一位智者帮忙。智者从自己家里牵来一匹马，合在一起共1

27、8匹。按比例分配，长子得18/2=9匹，次子得18/3=6匹，三子得18/9=2匹，共分掉了9+6+2=17匹，余下智者的那一匹物归原主。这种分法可算是两全其美，天衣无缝。问这种分法是否正确呢？问题问题2：一般说来，按比例分配是被人们普遍认可的分配方案，而当分配只能在自然数中进行时，一般来说是按应分部分的小数部分的大小依次分配余下的部分，这种分配真与常理不悖吗？例如：甲、乙、丙三个部门，甲有103人，乙有63人，丙有34人，共200人。分配20个名额。分配如下：部门人数占比例数20个名额21个名额按比例分实际分按比例分实际分甲1030.51510.31010.81511乙630.3156.366.6157丙340.173.443.573合计200120202121七、药效A、B两种药品在甲乙两医院试验结果如下：药品甲医院乙医院有效无效有效无效A6144040B28478512对甲医院而言，A与B到底哪种药效更好？对乙医院而言，A与B到底哪种药效更好？对甲乙医院而言，A与B到底哪种药效更好？问药品A与B到底哪种药效更好？八、解方程方面例1 计算解：所以 解之得例2 计算解：所以 例3 计算解：所以解之得例4 解方程解：由方程特点得 ，故 例3 解方程解：由方程特点得 ，故