高等代数 第八章 空间问题.ppt
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1、 第八章第八章 空间问题空间问题8-1 8-1 概概 述述8-2 8-2 直角坐标下的基本方程直角坐标下的基本方程8-3 8-3 空间轴对称问题空间轴对称问题8-4 8-4 空间球对称问题空间球对称问题目目 录录 本章首先给出空间问题直角坐标下的平衡方程、几何本章首先给出空间问题直角坐标下的平衡方程、几何方程和物理方程。针对空间问题的解析解一般只能在特殊方程和物理方程。针对空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到,我们着重讨论边界条件下才可以得到,我们着重讨论空间轴对称空间轴对称球对称球对称问题问题。轴对称问题轴对称问题x xz zy yP Pxzy球对称问题球对称问题8-1 8-1
2、 概概 述述 已知的几何参数和载荷(表面力和体积力),一般都与三已知的几何参数和载荷(表面力和体积力),一般都与三个坐标参数个坐标参数x、y、z有关;有关;15个未知函数个未知函数6个应力分量:个应力分量:6个应变分量个应变分量:,三个位移分,三个位移分量:量:u、v、w,一般都是三个坐标参数,一般都是三个坐标参数x、y、z的函数;的函数;基本方程式是三维的,但若某一方向变化规律为已知时,基本方程式是三维的,但若某一方向变化规律为已知时,维数可相应减少。维数可相应减少。分析空间问题时,仍然要从三个方面来考虑分析空间问题时,仍然要从三个方面来考虑:静力学:静力学方面,几何学方面和物理学方面。方面
3、,几何学方面和物理学方面。8-1 8-1 概概 述述 8-2 8-2 直角坐标下的基本方程直角坐标下的基本方程一 平衡微分方程二 几何方程三 物理方程 在空间问题中,若弹性体的几何形状、约束情况以在空间问题中,若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外力作用,都对称于某一轴(通过这个轴的任及所受的外力作用,都对称于某一轴(通过这个轴的任一平面都是对称面),则所有的应力、形变和位移也对一平面都是对称面),则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题空间轴对称问题。根据轴对称的特点,应采用根据轴对称的特点,应采用圆柱坐标圆柱坐标 表表示。若取对称轴为示。
4、若取对称轴为 z z 轴,则轴对称问题的应力分量、形轴,则轴对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是变分量和位移分量都将只是 和和 的函数,而与的函数,而与 坐坐标无关。标无关。轴对称问题的弹性体的形状一般为轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或圆柱体或半空间体半空间体。8-3 8-3 空间轴对称问题空间轴对称问题x xz zy yP P 平衡微分方程平衡微分方程由于轴对称,在微元体的两个由于轴对称,在微元体的两个圆柱面上,只有圆柱面上,只有正应力正应力和和轴向轴向剪应力剪应力;在两个水平面上只有;在两个水平面上只有正应力正应力和和径向剪应力径向剪应力;在两个;在两个垂直面上只有环向正应
5、力,图垂直面上只有环向正应力,图示。示。注意注意:此时环向正应力的:此时环向正应力的增量为零。增量为零。由径向和轴向平衡,并利用由径向和轴向平衡,并利用8-3 8-3 空间轴对称问题空间轴对称问题 将六面体所受的各力投影到六面体中心的径向轴上,将六面体所受的各力投影到六面体中心的径向轴上,得平衡方程得平衡方程略去高阶微量,并整理后得略去高阶微量,并整理后得8-3 8-3 空间轴对称问题空间轴对称问题同理,将六面体所受的各力投影同理,将六面体所受的各力投影到到z z轴上,并化简,得到轴上,并化简,得到 轴对称问题的柱坐标平衡微分方程径向位移径向位移引起的形变分量为引起的形变分量为轴向位移轴向位移
6、引起的形变分量为引起的形变分量为由由叠加原理叠加原理,即得,即得空间轴对称问题的几何方程空间轴对称问题的几何方程8-3 8-3 空间轴对称问题空间轴对称问题几何方程几何方程 物理方程物理方程由于圆柱坐标是和直角坐标一样的正交坐标,所以可直接由于圆柱坐标是和直角坐标一样的正交坐标,所以可直接根据虎克定律得物理方程:根据虎克定律得物理方程:形变分量表示形变分量表示将前三式相加得到将前三式相加得到体应变体应变第一应力第一应力不变量不变量8-3 8-3 空间轴对称问题空间轴对称问题 位移求解问题位移求解问题:取位移分量为基本未知函数,并要通过取位移分量为基本未知函数,并要通过消元法消元法,导出弹性体区
7、域,导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。在空间问题中即内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。在空间问题中即要求从要求从1515个基本方程中消去应力分量和形变分量,得出只包含个基本方程中消去应力分量和形变分量,得出只包含3 3个位移分量的微分方程。个位移分量的微分方程。8-3 8-3 空间轴对称问题空间轴对称问题对于对于轴对称问题轴对称问题相应的微分方程为相应的微分方程为其中:其中:这就是按位移求解空间轴对称问题时的这就是按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程基本微分方程。由于。由于轴对称问题中的边界面多为坐标面,位移和应力边界条件都轴对称问题中的边界面多为坐标面,位移
8、和应力边界条件都比较简单。比较简单。半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力 设有半空间体,密度为设有半空间体,密度为 ,在水平边界上受均布压力,在水平边界上受均布压力 如图所示,以边界面为如图所示,以边界面为xyxy面,面,z z轴垂直向下。这样,体轴垂直向下。这样,体力分量就是力分量就是 假设假设 这样就得到这样就得到 (a a)例题例题 可见基本微分方程中的前两式自然满足,而第三式成可见基本微分方程中的前两式自然满足,而第三式成为为 积分积分(b)(b)(c)(c)半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力 例题例题 (d)(d)其中A、B为待定常数 将以上结果代入物理方程
9、得将以上结果代入物理方程得在边界面在边界面 上上有有(e)(e)半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力 下面根据边界条件来决定常数 所以应力边界条件中的前两式自动满足,而第三式要求所以应力边界条件中的前两式自动满足,而第三式要求 例题例题 由(由(d d)为了确定常数为了确定常数B B,必须利用位移边界条件。假定半空间体,必须利用位移边界条件。假定半空间体在距边界为在距边界为h h处没有位移,则由位移边界条件处没有位移,则由位移边界条件代入代入(f)(f)(g)(g)(h)(h)代入代入半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力 例题例题 最大的位移发生在边界上最大的位移发生在
10、边界上和和是铅直截面上的水平正应力,是铅直截面上的水平正应力,是水平截面上的铅直正应力,是水平截面上的铅直正应力,它们的比值是它们的比值是 土力学中称之为土力学中称之为侧应力系数。侧应力系数。半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力 应力分量和位移分量都已经完全确定,并且所有一切条件都满足。从而得到的结果是正确解答。例题例题 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力 设有半空间体,体力不计,设有半空间体,体力不计,在水平边界上受有法向集中力在水平边界上受有法向集中力F F,轴对称空间问题,对称轴,轴对称空间问题,对称轴为力为力F F的作用线。的作用线。采用采用位移解法位
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