第二章 光的标量衍射理论.ppt

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1、Chapter 2第二章第二章光的标量的衍射理论光的标量的衍射理论Optical Scalar diffraction theory光光光光波作为标量的条件是：波作为标量的条件是：波作为标量的条件是：波作为标量的条件是：(1)(1)(1)(1)衍射孔径较光波波长大得多；衍射孔径较光波波长大得多；衍射孔径较光波波长大得多；衍射孔径较光波波长大得多；(2)(2)(2)(2)在远离孔径外观察衍射场。在远离孔径外观察衍射场。在远离孔径外观察衍射场。在远离孔径外观察衍射场。2.1 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论2.1.1 2.1.1 衍射的概念衍射的概念衍射的概念衍射的概念2.1.1.1 2.1.1.

2、1 衍射概念认识的深化衍射概念认识的深化衍射概念认识的深化衍射概念认识的深化衍射：光波在传播过程中波面产生破缺的现象，称为衍射，这衍射：光波在传播过程中波面产生破缺的现象，称为衍射，这是惠更斯菲涅耳原理是惠更斯菲涅耳原理(Huygens-(Huygens-FresnelFresnel principle)principle)对圆孔、对圆孔、单缝、多缝等衍射问题进行解析而得出的概念。单缝、多缝等衍射问题进行解析而得出的概念。光源光源衍射物衍射物 观察屏观察屏衍射花样衍射花样图图1现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致现在一般认为，光波在传播的过程中，不论任何原因导致波前的复振幅分布（

3、包括振幅分布和相位分布）的改变，使波前的复振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改变，使自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。自由传播光场变为衍射光场的现象都称为衍射。2.1.1.1 2.1.1.1 衍射概念认识的深化衍射概念认识的深化衍射概念认识的深化衍射概念认识的深化1.1.衍射与干涉一般是同时存在的衍射与干涉一般是同时存在的 共同本质共同本质 形式上区别形式上区别2.2.衍射是一切波动固有的特性衍射是一切波动固有的特性障碍物限度与障碍物限度与 的比的比3.3.引起衍射的障碍物分引起衍射的障碍物分振幅型振幅型孔孔 缝缝位相型位相型光学厚度不均匀的玻璃板光学厚度不均匀的玻璃板只要以某种方式

4、使波前或位相发生变化只要以某种方式使波前或位相发生变化引入空间引入空间不均匀性不均匀性,这种不均匀性的特征限度与这种不均匀性的特征限度与 在一定范围在一定范围4.4.若若/a趋于零趋于零衍射现象消失衍射现象消失几何光学是几何光学是/a趋于零趋于零 的极限情况的极限情况2.1.1.1 2.1.1.1 衍射概念认识的深化衍射概念认识的深化衍射概念认识的深化衍射概念认识的深化2.1.1.2.2.1.1.2.衍射屏和衍射系统衍射屏和衍射系统障碍物障碍物衍射屏衍射屏复振幅透射函数复振幅透射函数屏函数屏函数-瞳函数瞳函数振幅型振幅型只改变振幅只改变振幅位相型位相型只改变位相只改变位相例如例如 孔孔(圆圆,

5、矩矩,缝缝)照明照明空间空间衍射屏衍射屏观察屏观察屏观察屏观察屏照明照明空间空间衍射衍射空间空间或或图2.1.1 衍射系统及其三个重要的分析平面U U0 0是衍射屏前表面的复振幅是衍射屏前表面的复振幅是衍射屏前表面的复振幅是衍射屏前表面的复振幅是衍射屏后表面的复振幅是衍射屏后表面的复振幅是衍射屏后表面的复振幅是衍射屏后表面的复振幅2.1.1.3.2.1.1.3.衍射问题衍射问题(1)(1)已知照明情况和衍射屏的特征，求观察屏上的复已知照明情况和衍射屏的特征，求观察屏上的复振幅分布。即已知振幅分布。即已知U0(x0,y0)U0(x0,y0)和和t(x0,y0),t(x0,y0),求求U(x,yU

6、(x,y)。根据式。根据式(2.1.2),(2.1.2),这类问题就是已知这类问题就是已知U0(x0,y0)U0(x0,y0)求求U(x,yU(x,y)。(2)(2)已知观察屏上的复振幅分布或强度分布，求衍射屏已知观察屏上的复振幅分布或强度分布，求衍射屏的特征和光源参数。如：根据光栅衍射图样确定光栅常数，的特征和光源参数。如：根据光栅衍射图样确定光栅常数，根据衍射光谱确定光源波长等就是这类问题的典型例子。根据衍射光谱确定光源波长等就是这类问题的典型例子。上一点的子波源为上一点的子波源为上一点的子波源为上一点的子波源为把子波源视为点光源（球面波），一把子波源视为点光源（球面波），一把子波源视为点

7、光源（球面波），一把子波源视为点光源（球面波），一个子波源在个子波源在个子波源在个子波源在后后后后P P P P点产生的振动为点产生的振动为点产生的振动为点产生的振动为惠更斯惠更斯惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理菲涅耳原理菲涅耳原理为波面上每一为波面上每一为波面上每一为波面上每一点都可以作为点都可以作为点都可以作为点都可以作为次级子波的波源次级子波的波源次级子波的波源次级子波的波源，其后，其后，其后，其后空间每一点处的光场是所有子波源在空间每一点处的光场是所有子波源在空间每一点处的光场是所有子波源在空间每一点处的光场是所有子波源在该点该点该点该点叠加叠加叠加叠加的结果。的结果。的结果。的结果。

8、上所有子波源在上所有子波源在上所有子波源在上所有子波源在P P P P点产生的总振动为点产生的总振动为点产生的总振动为点产生的总振动为P0P2.1 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论2.1.2 2.1.2 惠更斯惠更斯惠更斯惠更斯-菲聂耳原理菲聂耳原理菲聂耳原理菲聂耳原理(2.1.3)图2.1.2波面波面波面波面在在在在P P P P点的复振幅点的复振幅点的复振幅点的复振幅是倾斜因子是倾斜因子是倾斜因子是倾斜因子惠更斯惠更斯惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理菲涅耳原理菲涅耳原理是对光的衍射现象物理规律的认识。但其是对光的衍射现象物理规律的认识。但其数学表达式则不够精确，表达式中的一些参数也不够严格

9、。数学表达式则不够精确，表达式中的一些参数也不够严格。基基尔尔霍夫霍夫根据根据惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理，利用电磁场理论推导出了严，利用电磁场理论推导出了严格的衍射公式。格的衍射公式。传播中的单色光波场中任意一点传播中的单色光波场中任意一点P P的光振动的光振动u u u u应满足标量波动方程应满足标量波动方程光波场可以表示为光波场可以表示为光波场可以表示为光波场可以表示为将将将将(2.1.3)(2.1.3)(2.1.3)(2.1.3)式代入（式代入（式代入（式代入（2.1.22.1.22.1.22.1.2）式可得光波场满足）式可得光波场满足）式可得光波场满足）式可得光波场满足亥姆霍兹方

10、程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 (2.1.4)(2.1.3)(2.1.5)在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中在直角坐标系中2.1.3 2.1.3 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式孔径平面上的复振幅分布是由球面波产生，因此孔径平面上的复振幅分布是由球面波产生，因此孔径平面上的复振幅分布是由球面波产生，因此孔径平面上的复振幅分布是由球面波产生，因此按图按图按图按图(2.1.2)(2.1.2)(2.1.2)(2.1.2)中的条件（解释），将亥姆霍兹方程与格林中的条件（解释），将亥姆霍兹方程与格林中的条件（解释），将亥姆霍兹方程与格林中的条件（解释），将

11、亥姆霍兹方程与格林定理结合，可以得到定理结合，可以得到定理结合，可以得到定理结合，可以得到P P P P点处光波场的点处光波场的点处光波场的点处光波场的基基基基尔尔尔尔霍夫霍夫霍夫霍夫衍射公式衍射公式衍射公式衍射公式与惠更斯与惠更斯与惠更斯与惠更斯菲涅耳公式对比，可以看出菲涅耳公式对比，可以看出菲涅耳公式对比，可以看出菲涅耳公式对比，可以看出基于这样的对应关系，基尔霍夫衍射公式仍然可以表示为菲涅基于这样的对应关系，基尔霍夫衍射公式仍然可以表示为菲涅基于这样的对应关系，基尔霍夫衍射公式仍然可以表示为菲涅基于这样的对应关系，基尔霍夫衍射公式仍然可以表示为菲涅耳原理形式，称为耳原理形式，称为耳原理形

12、式，称为耳原理形式，称为菲涅耳菲涅耳菲涅耳菲涅耳基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式(2.1.6)将上式代入（将上式代入（将上式代入（将上式代入（2.1.62.1.62.1.62.1.6）式得）式得）式得）式得(2.1.7)(2.1.8)(2.1.9)图2.1.3 基尔霍夫衍射理论是描述球面子波相干叠加的理论，可称为球面基尔霍夫衍射理论是描述球面子波相干叠加的理论，可称为球面基尔霍夫衍射理论是描述球面子波相干叠加的理论，可称为球面基尔霍夫衍射理论是描述球面子波相干叠加的理论，可称为球面 波理论。波理论。波理论。波理论。由基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外的阴影

13、区内U(P0)=0，因此公式(2.1.7)的积分可以扩展到无穷，即(2.1.10)2.1.4 2.1.4 衍射的线性性质衍射的线性性质衍射的线性性质衍射的线性性质2.1.4.1.2.1.4.1.衍射作用等效衍射作用等效线性系统线性系统令令 h(x,y,xh(x,y,xh(x,y,xh(x,y,x0 0 0 0,y,y,y,y0 0 0 0)叫做脉冲响应函数或点扩散函数。叫做脉冲响应函数或点扩散函数。叫做脉冲响应函数或点扩散函数。叫做脉冲响应函数或点扩散函数。衍射过程或传播过程可等效为一种线性系统的线性变换，衍射过程或传播过程可等效为一种线性系统的线性变换，衍射过程或传播过程可等效为一种线性系统

14、的线性变换，衍射过程或传播过程可等效为一种线性系统的线性变换，则则(2.1.11)h h(x,y,x(x,y,x0 0,y,y0 0)代表了系统的全部特性。代表了系统的全部特性。代表了系统的全部特性。代表了系统的全部特性。设衍射屏孔径位于x0-y0平面，P0点的坐标(x0,y0)，观察点位于x-y平面，P点的坐标为(x,y),式(2.1.11)可以表示为(2.1.12)式(2.1.12)是描述线性系统输入与输出关系的叠加积分。如果在近轴远场（当点光源如果在近轴远场（当点光源如果在近轴远场（当点光源如果在近轴远场（当点光源P P P P0 0 0 0足够远，而且入射光在孔径平面足够远，而且入射光

15、在孔径平面足够远，而且入射光在孔径平面足够远，而且入射光在孔径平面上各点的入射角都不大，即傍轴近似）衍射情况下，上各点的入射角都不大，即傍轴近似）衍射情况下，上各点的入射角都不大，即傍轴近似）衍射情况下，上各点的入射角都不大，即傍轴近似）衍射情况下，K K()1)1)1)1，菲涅耳菲涅耳菲涅耳菲涅耳基尔霍夫衍射公式变为基尔霍夫衍射公式变为基尔霍夫衍射公式变为基尔霍夫衍射公式变为(2.1.10)式可简化为(2.1.13)y yr rx xo oy yo oz zPP0Ox xz z图2.1.4孔径平面位于x0y0平面,观察点位于xy平面,如图2.1.4所示2.1.4.2.2.1.4.2.衍射作用

16、等效衍射作用等效线性空不变系统线性空不变系统因此，因此，因此，因此，脉冲响应具有空间不变性脉冲响应具有空间不变性脉冲响应具有空间不变性脉冲响应具有空间不变性。即，无论孔径平面上子波源。即，无论孔径平面上子波源。即，无论孔径平面上子波源。即，无论孔径平面上子波源的位置如何，所产生的球面子波的形式是一样的。的位置如何，所产生的球面子波的形式是一样的。的位置如何，所产生的球面子波的形式是一样的。的位置如何，所产生的球面子波的形式是一样的。由图可见，观察点P到孔径平面上任一点P0的距离(2.1.13)式可写为:(2.1.14)2.1.4.2.2.1.4.2.衍射作用等效衍射作用等效线性空不变系统线性空

17、不变系统利用(2.1.14)式，叠加积分(2.1.12)式可改写为(2.1.15)(2.1.15)式表明：孔径平面上透射光场U(x0,y0)与观察平面上光场复振幅分布之间存在一个卷积积分所描述的关系。忽略倾斜因子的变化后，就可以把光波在衍射孔径后的传播过程看成是光波通过一个线性不变系统。系统在空间域的特性唯一地由其空不变脉冲响应(2.1.14)式所确定。2.2 衍射的角谱理论衍射的角谱理论(wavefront 为一个与前为一个与前进方向垂直的等相平面）进方向垂直的等相平面）yxPlane wave波的振幅为A(恒量),位相为（恒量）可设A=1,0预备知识；预备知识；平面波的一般数学表达式平面波

18、的一般数学表达式1D 0yy 设平面波设平面波 A=1，斜入射到 y 轴上,设设原点处光波相位为原点处光波相位为0则任意点则任意点y 处光波相位为：处光波相位为：为波矢量，大小为 ，方向沿波的前进方向为波矢量的方向余弦特例：=90o,ycos2Dyx0(X,y,z)3Dyx(X,y)z2Dyx0(2.2-1)式是投射到式是投射到x,y平面上方向余弦为平面上方向余弦为 的平面波表达式的平面波表达式(2.2-1)设单色光场某一平面x-y上的复振幅分布为U(x,y),利用傅里叶变换公式对U(x,y)进行傅里叶分析，即(2.2.1)yx0z：2.2.1 角谱的概念角谱的概念复振幅分布U(x,y可分解为

19、频率不同的复指数分量的线性组合，各频率分量的权重因子为A(fx,fy)(2.2.2)代表一个沿所确定方向传播的单色振幅平面波。式(2.2.1)的物理意义是：任意一平面上复振幅分布U(x,y),都可以看作为向不同方向传播的平面波分量的线性叠加，这些平面波分量的传播方向由空间频率fx,fy决定，其相对振幅和位相则取决于空间频谱A(fx,fy)的振幅和位相。2.2.1 角谱的概念角谱的概念利用关系式用的方向余弦表示，式(2.2.2)可改写成(2.2.3)2.2.2.角谱的传输角谱的传输yx0zxy(2.2.4)(2.2.5)2.2.2.1.2.2.2.1.衍射公式的角谱分析衍射公式的角谱分析孔径平面

20、的复振幅U(x0,y0)，有,观察平面的复振幅U(x,y)，有,衍射公式描述了孔径平面的复振幅分布U(x0,y0)与观察平面上的复振幅分布U(x,y)的关系。实质上是角谱传播规律的描述。将（将（2.2.5）式代入（）式代入（2.1.5）式的亥姆霍兹方程得）式的亥姆霍兹方程得:(2.2.7)由初始条件决定，在z=0处即为孔径平面，角谱是2.2.2.1.2.2.2.1.衍射公式的角谱分析衍射公式的角谱分析(2.2.8)讨论：讨论：，倏逝波(消逝波 Evanescent wave)1(2.2.9)时，传输光波中只有垂直于时，传输光波中只有垂直于时，传输光波中只有垂直于时，传输光波中只有垂直于z z

21、z z轴传轴传轴传轴传输的平面波成分。它在输的平面波成分。它在输的平面波成分。它在输的平面波成分。它在z z z z方向的净能量流为零。方向的净能量流为零。方向的净能量流为零。方向的净能量流为零。2.2.2.1.2.2.2.1.衍射公式的角谱分析衍射公式的角谱分析(4)将(2.2.8)式改写成(2.2.10)(2.2.11)2.2.2.1.2.2.2.1.衍射公式的角谱分析衍射公式的角谱分析式(2.2.10)是用空间频谱描述的衍射公式，它也是衍射公式在频率域中表述的一种形式。式(2.2.10)又可写作2.2.2.1.2.2.2.1.衍射公式的角谱分析衍射公式的角谱分析忽略倏逝波，传递函数表征为

22、：(2.2.13)(2.2.13)式表明传递函数相当于一个低通滤波器,它只允许空间频率小于1/的光束的传播。式中传递函数表征为：(2.2.12)2.2.3.角谱衍射理论与基尔霍夫衍射理论的统一角谱衍射理论与基尔霍夫衍射理论的统一由(2.2.8)式得上式的频谱式(2.2.10)式，即(2.2.14)对上式进行傅里叶分析(2.2.15)(2.2.16)2.2.3.角谱衍射理论与基尔霍夫衍射理论的统一角谱衍射理论与基尔霍夫衍射理论的统一把式(2.2.16)代入式(2.2.15)得(2.2.17)显然，式(2.2.17)中后一项的积分是系统传递函数的傅里叶逆变换，用h(x-x0,y-y0)表示，有(2

23、.2.18)2.2.3.角谱衍射理论与基尔霍夫衍射理论的统一角谱衍射理论与基尔霍夫衍射理论的统一并且z远大于孔径和观察区域的最大线度，即在近轴条件下，式(2.2.18)的结果为(2.2.19)式(2.2.19)与式(2.2.14)给出的脉冲响应是一样的。将其代入式(2.2.17)可得上式就是基尔霍夫叠加积分公式(2.1.15)。基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论是描述是描述是描述是描述球面波子波相干叠加的衍射理论球面波子波相干叠加的衍射理论球面波子波相干叠加的衍射理论球面波子波相干叠加的衍射理论，角角角角谱理论是衍射的平面波理论谱理论是衍射的平面波理论谱理论是衍射

24、的平面波理论谱理论是衍射的平面波理论，二者是统一的，他们都证明了，二者是统一的，他们都证明了，二者是统一的，他们都证明了，二者是统一的，他们都证明了光光光光的传播现象可以看做线性不变系统的传播现象可以看做线性不变系统的传播现象可以看做线性不变系统的传播现象可以看做线性不变系统。假定入射到孔径平面上的场分布为假定入射到孔径平面上的场分布为假定入射到孔径平面上的场分布为假定入射到孔径平面上的场分布为U(xU(xU(xU(x0 0 0 0,y,y,y,y0 0 0 0),),),),衍射屏的复振幅衍射屏的复振幅衍射屏的复振幅衍射屏的复振幅透过率透过率透过率透过率t(xt(x0 0,y,y0 0),)

25、,衍射屏后表面即出射光场为衍射屏后表面即出射光场为衍射屏后表面即出射光场为衍射屏后表面即出射光场为UU(x(x0 0,y,y0 0).).它们它们它们它们的关系是的关系是的关系是的关系是由傅里叶变换的卷积定理可得由傅里叶变换的卷积定理可得由傅里叶变换的卷积定理可得由傅里叶变换的卷积定理可得 2.2.4.孔径对角谱的影响孔径对角谱的影响(2.2.20)假定入射光场的角谱和透射光场的角谱分别是假定入射光场的角谱和透射光场的角谱分别是假定入射光场的角谱和透射光场的角谱分别是假定入射光场的角谱和透射光场的角谱分别是(2.2.21)设无穷大不透明衍射屏上有一孔径设无穷大不透明衍射屏上有一孔径，孔径的复振

26、幅透过率为，孔径的复振幅透过率为对于单位振幅平面波垂直照射衍射屏这种特殊情况，入射光场对于单位振幅平面波垂直照射衍射屏这种特殊情况，入射光场对于单位振幅平面波垂直照射衍射屏这种特殊情况，入射光场对于单位振幅平面波垂直照射衍射屏这种特殊情况，入射光场U U U U(x(x(x(x0 0 0 0,y,y,y,y0 0 0 0)=1)=1)=1)=1即即即即通过衍射屏后，由通过衍射屏后，由通过衍射屏后，由通过衍射屏后，由函数所表征的函数所表征的入射光场的角谱等于孔径函入射光场的角谱等于孔径函入射光场的角谱等于孔径函入射光场的角谱等于孔径函数的傅里叶变换，显然角谱分量大大增加了。因此，从空域数的傅里叶

27、变换，显然角谱分量大大增加了。因此，从空域数的傅里叶变换，显然角谱分量大大增加了。因此，从空域数的傅里叶变换，显然角谱分量大大增加了。因此，从空域看，孔径的作用限制了入射波面的大小；从频域看，则是展看，孔径的作用限制了入射波面的大小；从频域看，则是展看，孔径的作用限制了入射波面的大小；从频域看，则是展看，孔径的作用限制了入射波面的大小；从频域看，则是展宽了入射光场的角谱。宽了入射光场的角谱。宽了入射光场的角谱。宽了入射光场的角谱。根据式根据式根据式根据式(2.2.21)(2.2.21)(2.2.21)(2.2.21)因而因而因而因而式中式中式中式中 是衍射屏或孔径透过率函数的傅里叶变换，即是衍

28、射屏或孔径透过率函数的傅里叶变换，即是衍射屏或孔径透过率函数的傅里叶变换，即是衍射屏或孔径透过率函数的傅里叶变换，即(2.2.22)2.2.4.孔径对角谱的影响孔径对角谱的影响(2.2.23)(2.2.24)举例：举例：举例：举例：单位振幅平面波垂直照明矩形孔径对入射角谱的效应单位振幅平面波垂直照明矩形孔径对入射角谱的效应单位振幅平面波垂直照明矩形孔径对入射角谱的效应单位振幅平面波垂直照明矩形孔径对入射角谱的效应 2.2.4.孔径对角谱的影响孔径对角谱的影响矩形孔径的透过率函数可表示为：矩形孔径的透过率函数可表示为：矩形孔径的透过率函数可表示为：矩形孔径的透过率函数可表示为：根据式根据式根据式

29、根据式(2.2.23)(2.2.23)(2.2.23)(2.2.23)，有入射光场角谱，有入射光场角谱，有入射光场角谱，有入射光场角谱由式由式由式由式(2.2.24)(2.2.24)(2.2.24)(2.2.24)投射光场角谱投射光场角谱投射光场角谱投射光场角谱所包含的角谱分量大大增加了。所包含的角谱分量大大增加了。所包含的角谱分量大大增加了。所包含的角谱分量大大增加了。光源或接收屏距离光源或接收屏距离衍射屏为开始出现衍射屏为开始出现衍射现象至无限远衍射现象至无限远-菲涅耳衍射均满足菲涅耳衍射均满足傍轴近似傍轴近似光源光源障碍物障碍物接收屏接收屏2.3 菲涅耳衍射菲涅耳衍射 2.3.1.菲涅耳

30、近似条件和菲涅耳区菲涅耳近似条件和菲涅耳区在衍射问题中，为了方便观测、分析计算及应用，可以把衍在衍射问题中，为了方便观测、分析计算及应用，可以把衍在衍射问题中，为了方便观测、分析计算及应用，可以把衍在衍射问题中，为了方便观测、分析计算及应用，可以把衍射光场分为三个区域：射光场分为三个区域：射光场分为三个区域：射光场分为三个区域：几何投影区、菲涅耳衍射区和夫琅禾几何投影区、菲涅耳衍射区和夫琅禾几何投影区、菲涅耳衍射区和夫琅禾几何投影区、菲涅耳衍射区和夫琅禾费衍射区费衍射区费衍射区费衍射区。在几何投影区，。在几何投影区，。在几何投影区，。在几何投影区，衍射现象不明显，光场的传播可衍射现象不明显，光

31、场的传播可衍射现象不明显，光场的传播可衍射现象不明显，光场的传播可以看作直线传播以看作直线传播以看作直线传播以看作直线传播；从；从；从；从开始出现衍射现象至无限远的区域，被开始出现衍射现象至无限远的区域，被开始出现衍射现象至无限远的区域，被开始出现衍射现象至无限远的区域，被划分为菲涅耳衍射区划分为菲涅耳衍射区划分为菲涅耳衍射区划分为菲涅耳衍射区；当；当；当；当观察屏至衍射屏的距离足够远，以观察屏至衍射屏的距离足够远，以观察屏至衍射屏的距离足够远，以观察屏至衍射屏的距离足够远，以至衍射场的分布不随距离的增加而明显变化，只是衍射花样至衍射场的分布不随距离的增加而明显变化，只是衍射花样至衍射场的分布

32、不随距离的增加而明显变化，只是衍射花样至衍射场的分布不随距离的增加而明显变化，只是衍射花样的尺寸随距离增加而增大时，称为夫琅禾费衍射区的尺寸随距离增加而增大时，称为夫琅禾费衍射区的尺寸随距离增加而增大时，称为夫琅禾费衍射区的尺寸随距离增加而增大时，称为夫琅禾费衍射区。2.3.1.菲涅耳近似条件和菲涅耳区菲涅耳近似条件和菲涅耳区x xo oy yo ox xy yz zP P（x x，y y）P PO O（x xO O，y yO O）r r 图图图图2.3.22.3.2参看图2.3.2,由基尔霍夫衍射叠加积分公式(2.1.15)，观察屏上复振幅分布为(2.3.1)(2.3.2)式中式中式中式中

33、2.3.1.菲涅耳近似条件和菲涅耳区菲涅耳近似条件和菲涅耳区在近轴条件下，观察平面和孔径平面间的距离z远大于孔径，也远大于观察区域的最大限度。式(2.3.2)分母中的r用z来近似，复指数中的r，由于k值很大，应有更精确的近似。由图2.3.2知(2.3.3)将(2.3.3)式作二项式展开，略去高阶项得(2.3.4)这种近似称为菲聂耳近似或傍轴近似。(2.3.5)表示的条件称为菲涅耳衍射条件。满足这个条件时，观察屏所在的区域称为菲涅耳区。(2.3.5)以展开式中第三项所贡献的位相变化远小于1rad作估计，即 2.3.1.菲涅耳近似条件和菲涅耳区菲涅耳近似条件和菲涅耳区所以 2.3.2.菲涅耳衍射公

34、式菲涅耳衍射公式可见，菲涅耳近似的物理实质是用二次曲面代替球面的惠更斯子波。将式(2.3.6)代入式(2.3.1)，可得菲涅耳衍射计算公式(2.3.7)上述菲涅耳衍射公式是在基尔霍夫衍射理论的基础上，通过对脉冲响应h(x-x0,y-y0)做出近似而得到的。它是在空间域中表述的菲涅耳衍射公式，是卷积形式的菲涅耳衍射公式。2.3.2.1.2.3.2.1.空域中的表述空域中的表述在满足菲涅耳条件式(2.3.5)时，式(2.3.2)中复指数的r可由式(2.3.4)表示。将式(2.3.4)代入式(2.3.2)，于是脉冲响应(2.3.6)由公式(2.2.8)，观察面上光扰动的角谱与孔径平面上的光扰动的角谱

35、之间的关系为 从衍射角谱理论出发，导出菲涅耳衍射公式从衍射角谱理论出发，导出菲涅耳衍射公式(2.3.8)(2.3.9)可对相位因子的根式作二项式展开，即式中H为描述传播现象频率效应的传递函数，其值为(2.3.10)如果展开式中第三项所贡献的相位远小于 1rad 则上式中从第三项起都可以忽略不计，即z应满足(2.3.11)2.3.2.2.2.3.2.2.频率域中的表述频率域中的表述平面波传播方向与孔径平面和观察平面坐标之间的关系为把他们代入(2.3.11)式得出这与(2.3.5)式一致。(2.3.13)在菲涅耳衍射区内把(2.3.13)式代入(2.3.9)式得(2.3.14)2.3.2.2.2.

36、3.2.2.频率域中的表述频率域中的表述2.3.2.2.2.3.2.2.频率域中的表述频率域中的表述根据(2.3.14)式与式(2.3.8)得(2.3.15)传递函数可表示为(2.3.16)(2.3.17)(2.3.15)改写成根据(2.3.15)式与式(2.3.17)都是频率域中表述的菲涅耳衍射公式。对(2.3.17)式两边作傅里叶逆变换并应用傅里叶变换的卷积定理可得(2.3.18)(2.3.19)即2.3.2.3.2.3.2.3.两种表述的一致性两种表述的一致性式中(2.3.19)式与(2.3.6)式中的h一致说明根据角谱理论得到的一个近似传递函数，其傅里叶逆变换正好是基尔霍夫理论中给出的

37、一个经过近似的脉冲响应函数。将(2.3.19)式代入(2.3.1)式得(2.3.20)将(2.3.20)式代入(2.3.7)式完全一致，都是菲涅耳近似条件下的衍射公式。这说明从空间域的基尔霍夫衍射理论或从频率域的角谱理论去分析衍射问题，最终效果是完全一致的。2.3.2.3.2.3.2.3.两种表述的一致性两种表述的一致性展开指数中的二次项则有，2.4 菲涅耳衍射与傅里叶变换的关系菲涅耳衍射与傅里叶变换的关系2.4.12.4.1 一般情况一般情况将菲涅耳衍射公式(2.4.1)(2.4.1)式可以看作是傅里叶变换形式的菲涅耳衍射公式。菲涅耳衍射可以看作是 的傅里叶变换。空间频率取值与观察平面坐标的

38、关系为：2.4.1 2.4.1 一般情况一般情况(2.4.1)式可以看出，菲涅耳衍射图样的复振幅分布正比于的傅里叶变换。观察平面上光场的函数分布随着距离z的增大会发生变化。如：只考察轴上的观察点，沿着z方向是明暗不断交替变化的。3.2.1.1 物体放在紧贴透镜前平面时其在透镜后焦面上的复振幅分布物体放在紧贴透镜前平面时其在透镜后焦面上的复振幅分布2.4.22.4.2 会聚球面波照明的情况会聚球面波照明的情况假定假定假定假定衍射屏孔径复振幅透过率衍射屏孔径复振幅透过率衍射屏孔径复振幅透过率衍射屏孔径复振幅透过率t(xt(x0 0,y,y0 0),),观察屏和衍射屏平行，用向观察屏和衍射屏平行，用

39、向观察屏和衍射屏平行，用向观察屏和衍射屏平行，用向观察屏会聚的球面波照明孔径，球面波中心位于观察屏上观察屏会聚的球面波照明孔径，球面波中心位于观察屏上观察屏会聚的球面波照明孔径，球面波中心位于观察屏上观察屏会聚的球面波照明孔径，球面波中心位于观察屏上(x,yx,y)点。点。点。点。根据球面波光场在任一平面上复振幅的表达式根据球面波光场在任一平面上复振幅的表达式根据球面波光场在任一平面上复振幅的表达式根据球面波光场在任一平面上复振幅的表达式(1.10.6)(1.10.6)(1.10.6)(1.10.6),会聚照会聚照会聚照会聚照明孔径的球面波在孔径平面上的复振幅在近轴条件下为，明孔径的球面波在孔

40、径平面上的复振幅在近轴条件下为，明孔径的球面波在孔径平面上的复振幅在近轴条件下为，明孔径的球面波在孔径平面上的复振幅在近轴条件下为，(2.4.2)式中，式中，式中，式中，z z z z是观察屏与孔径平面之间的距离，是观察屏与孔径平面之间的距离，是观察屏与孔径平面之间的距离，是观察屏与孔径平面之间的距离，a a a a0 0 0 0是由照明光源决定是由照明光源决定是由照明光源决定是由照明光源决定的常数。衍射屏后的投射光场复振幅可表示为的常数。衍射屏后的投射光场复振幅可表示为的常数。衍射屏后的投射光场复振幅可表示为的常数。衍射屏后的投射光场复振幅可表示为(2.4.3)2.4.22.4.2 会聚球面

41、波照明的情况会聚球面波照明的情况将(2.4.3)式代入(2.4.1)式得(2.4.4)将(2.4.4)式中的平方项展开得(2.4.5)对于确定的z,是常数，用C表示，(2.4.5)式可表示为(2.4.6)2.4.22.4.2 会聚球面波照明的情况会聚球面波照明的情况空间频率取值与观察平面坐标的关系为：(2.4.6)式中与x,y有关的相位因子，对确定的会聚球面波，它只是常数位相因子，对屏上衍射强度分布不会产生影响。这样观察屏上的菲涅耳衍射图样的复振幅与衍射屏复振幅透过率函数的傅里叶变换成正比。光源或接收屏距光源或接收屏距离衍射屏都相当于离衍射屏都相当于无限远无限远衍射物上衍射物上的入射波和衍射波

42、的入射波和衍射波都可看成平面波都可看成平面波夫琅禾费衍射均满夫琅禾费衍射均满足远场近似足远场近似2.5.夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射(Fraunhofer Diffraction)光源光源障碍物障碍物接收屏接收屏 2.5.1.夫琅和费衍射近似条件和范围夫琅和费衍射近似条件和范围当当当当观察屏至衍射屏的距离足够远，以至衍射场的分布观察屏至衍射屏的距离足够远，以至衍射场的分布观察屏至衍射屏的距离足够远，以至衍射场的分布观察屏至衍射屏的距离足够远，以至衍射场的分布不随距离的增加而明显变化，只是衍射花样的尺寸不随距离的增加而明显变化，只是衍射花样的尺寸不随距离的增加而明显变化，只是衍射花样的尺寸不随距离的

43、增加而明显变化，只是衍射花样的尺寸随距离增加而增大时，称为夫琅禾费衍射区随距离增加而增大时，称为夫琅禾费衍射区随距离增加而增大时，称为夫琅禾费衍射区随距离增加而增大时，称为夫琅禾费衍射区。2.5.1.夫琅和费衍射近似条件和范围夫琅和费衍射近似条件和范围当当当当观察平面离开孔径平面的距离观察平面离开孔径平面的距离观察平面离开孔径平面的距离观察平面离开孔径平面的距离z z进一步增大，使其不仅满足进一步增大，使其不仅满足进一步增大，使其不仅满足进一步增大，使其不仅满足菲涅耳近似条件，而且满足菲涅耳近似条件，而且满足菲涅耳近似条件，而且满足菲涅耳近似条件，而且满足(2.5.1)即(2.5.2)这时，这

44、时，这时，这时，观察平面所在的区域称为夫琅和费衍射区。观察平面所在的区域称为夫琅和费衍射区。观察平面所在的区域称为夫琅和费衍射区。观察平面所在的区域称为夫琅和费衍射区。一般情况下，一般情况下，一般情况下，一般情况下，满足夫琅和费衍射的距离，总是十分大的。当满足夫琅和费衍射的距离，总是十分大的。当满足夫琅和费衍射的距离，总是十分大的。当满足夫琅和费衍射的距离，总是十分大的。当 z z时时时时，式式式式(2.5.2)(2.5.2)必定满足。必定满足。必定满足。必定满足。2.5.1.夫琅和费衍射近似条件和范围夫琅和费衍射近似条件和范围举例：波长为500微米的平行光照明边长为0.1cm的方形孔的夫琅和

45、费衍射距离。即令所以在（在（2.3.20）式中再加入更强的近似条件：）式中再加入更强的近似条件：来研究远场衍射的情形来研究远场衍射的情形，这时这时（2.3.20）式式（菲涅耳衍射）（菲涅耳衍射）化为远场衍射的公式如下（化为远场衍射的公式如下（夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射）：）：(2.3.20)(2.5.4)2.5.2.夫琅和费衍射公式夫琅和费衍射公式当不等式(2.5.1)的条件满足时，可将式(2.3.4)所给出的r的计算式中的平方项展开将 项略去，所以(2.5.3)2.6.夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射 与傅里叶变换的关系与傅里叶变换的关系 2.6.1.夫琅和费衍射与傅里叶变换的关系夫琅和费衍射与傅里叶

46、变换的关系式式(2.5.4)表示的表示的夫琅禾费衍射公式夫琅禾费衍射公式为：为：(2.6.1)将上式的积分部分改写为：将上式的积分部分改写为：(2.6.2)令(2.6.3)式式(2.6.2)写为：写为：2.6.1.夫琅和费衍射与傅里叶变换的关系夫琅和费衍射与傅里叶变换的关系夫琅禾费衍射公式夫琅禾费衍射公式(2.6.1)可以用傅里叶变换表示为：可以用傅里叶变换表示为：(2.6.4)(2.6.4)式表明，在式表明，在夫琅禾费衍射中，观察屏平面上光场复振幅夫琅禾费衍射中，观察屏平面上光场复振幅分布正比于衍射屏孔径平面上透射光场复振幅分布的分布正比于衍射屏孔径平面上透射光场复振幅分布的傅里叶变傅里叶变

47、换。换。空间频率取值与观察平面坐标的关系为：2.6.1.夫琅和费衍射与傅里叶变换的关系夫琅和费衍射与傅里叶变换的关系(2.6.4)式积分号前有位相因子，说明式积分号前有位相因子，说明夫琅禾费衍射不是精确的夫琅禾费衍射不是精确的傅里叶变换。但是，位相因子并不影响观察平面上衍射图样的傅里叶变换。但是，位相因子并不影响观察平面上衍射图样的强度分布。即强度分布。即(2.6.5)(2.6.5)式式A0表示孔径平面透射光场复振幅分布的频谱。表示孔径平面透射光场复振幅分布的频谱。(2.6.5)式说明，观察屏上衍射图样的强度分布式说明，观察屏上衍射图样的强度分布I(x,y)主要由主要由 决定。决定。也就是说，

48、略去功率谱，它直接等于孔径透射光场分布的功率谱。也就是说，略去功率谱，它直接等于孔径透射光场分布的功率谱。2.6.2.单位振幅平面波垂直照明的单位振幅平面波垂直照明的夫琅和费衍射夫琅和费衍射单位振幅单位振幅单位振幅单位振幅平面波垂直照明时，衍射屏上孔径平面上透射光场的平面波垂直照明时，衍射屏上孔径平面上透射光场的平面波垂直照明时，衍射屏上孔径平面上透射光场的平面波垂直照明时，衍射屏上孔径平面上透射光场的复振幅为，复振幅为，复振幅为，复振幅为，(2.6.6)式中，式中，式中，式中，t(xt(xt(xt(x0 0 0 0,y,y,y,y0 0 0 0)是是是是孔径的复振幅透过率函数。利用式孔径的复

49、振幅透过率函数。利用式孔径的复振幅透过率函数。利用式孔径的复振幅透过率函数。利用式(2.6.6),(2.6.6),式式式式(2.6.4)(2.6.4)可改写成可改写成可改写成可改写成(2.6.7)(2.6.7)式是单位振幅平面波垂直照明衍射屏的式是单位振幅平面波垂直照明衍射屏的夫琅禾费衍射公式。夫琅禾费衍射公式。2.7.简单孔径的夫琅禾费衍射简单孔径的夫琅禾费衍射2.7.1 2.7.1 矩形孔的衍射矩形孔的衍射图图2.7.1 矩形孔径的衍射矩形孔径的衍射矩形孔的复振幅透过率为：其中a,b为常数，它们分别是矩形孔径在x0,y0方向的宽度：2.7.1 2.7.1 矩形孔的衍射矩形孔的衍射2.7.1

50、 2.7.1 矩形孔的衍射矩形孔的衍射根据夫琅和费衍射公式得：(2.7.1)得衍射平面的光强度为 2.7.1 2.7.1 矩形孔的衍射矩形孔的衍射(2.7.2)中央（0级）最大光强为：由函数的定义知：当 时，因此：当 时，有零值，故得中央亮斑的宽度为：2.7.2 夫琅禾费单缝衍射夫琅禾费单缝衍射单缝夫琅和费衍射单缝夫琅和费衍射光强光强光源在透镜光源在透镜L L1 1的物方焦平面的物方焦平面接收屏在接收屏在L L2 2象方焦平面象方焦平面因为：单缝的复幅透过率为：得2.7.2 单缝的衍射单缝的衍射式中，a为缝宽。得强度分布为：(2.7.5)(2.7.6)Intensity单缝衍射光强分布计算模拟