教育精品：1312第1课时线段垂直平分线的性质和判定.ppt

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1、13.1.2 线段的垂直平分线的性质第十三章 轴对称导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 八年级数学上（RJ）学习目标1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法(重点）2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题（难点）导入新课导入新课问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC讲授新课讲授新课线段垂直平分线的性质一如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P

2、2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离之间的数量关系ABlP1P2P3探究发现P1A _P1BP2A _ P2BP3A _ P3B猜想：点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离分别相等 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P 在l 上求证：PA=PB证明：lAB，PCA=PCB又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB（SAS）PA=PBPABlC验证结论例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交

3、AC于D，若DBC的周长为35cm，则BC的长为()A5cmB10cmC15cmD17.5cm典例精析C解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm，BC352015(cm).故选C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长练一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6 B.5 C.4 D.32.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,BCE的周长等于18cm,则AC的长

4、是 .B10cmPABCD图图ABCDE图图例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.ABCDEK已知：直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：（1）任意取一点K，使点K和和点C在AB的两旁.（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.F（1）为什么任意取一点K，使点K与点C 在直线两旁？（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？想一想：例3 已知:如图,在ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P

5、.求证：PA=PB=PC.BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上解析：证明：点P在线段AB的垂直平分线MN上，PA=PB.同理 PB=PC.PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？例4 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.解析：(1)根据ADBC可知ADCECF，再根据E是CD的中点可得出ADEFCE

6、，根据全等三角形的性质即可解答(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出ABBF，再结合（1）即可解答证明：(1)ADBC，ADCECF.E是CD的中点，DEEC.又AEDCEF，ADEFCE，FCAD.(2)ADEFCE，AEEF，ADCF.BEAE，BE是线段AF的垂直平分线，ABBFBCCF.ADCF，ABBCAD.线段垂直平分线的判定二想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？PAB合作探究已知：如图，PA=PB求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C则PCA=PCB=90在RtPCA 和RtPCB 中，PA=PB，PC=PC

7、，RtPCA RtPCB（HL）AC=BC又又 PCAB，点P 在线段AB 的垂直平分线上PABC知识要点线段垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上u应用格式：PA=PB，点P 在AB 的垂直平分线上PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.这些点能组成什么几何图形？你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.PABClu应用格式：AB=AC，MB=MC，直线AM 是线段BC 的垂直 平分线A B C D M 这是判

8、断一条直线是线段的垂直平分线的方法.例5 已知：如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE.OE是CD的垂直平分线.又又OE=OE，RtOEDRtOEC.DO=CO.例6 已知：如图，在ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：点O在线段AB的垂直平分线上，OA=OB.同理OB=OC.OA=OC.点O在AC的垂直平分线上.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你能想

9、到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？当堂练习当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）AAB垂直平分CD；B CD垂直平分AB；CAB与CD互相垂直平分；DCD平分 ACB A2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是ABC ()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D4.下列说法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB

10、其中正确的有 （填序号）.3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共有种.无数5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.ABCDE166.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明：AC=BC，AD=BD，点C和点D在线段AB的垂直平分线上，CD为线段AB的垂直平分线.又 AB与CD相交于点O，AO=BO.7.如图所示，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，试说明AD与EF的关系

11、解：AD垂直平分EF.AD平分BAC，DEAB，DFAC，EADFAD，AEDAFD=90.又ADAD，ADEADF，AEAF，DEDF.A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.ABCDEF8.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明AOCAOD，可得AO平分DAC，根据角平分线的性质可得OEOF.拓展提升：解：(1)AB、CD互相垂直平分，OCOD，AOOB，且ACBCADBD；(2)OEOF，理由如下：在AOC和AOD中，AC=AD，AOAO，OCOD，AOCAOD(SSS)，CAODAO.又OEAC，OFAD，OEOF.课堂小结课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性 质到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内 容判 定内 容作 用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作 用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上