机械振动理论基础(第五章).ppt

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1、第五章第五章 连续系统的近似解连续系统的近似解 上面讨论过的均匀杆的纵向振动、扭转振动和模向振动等，只是在简单的端点条件得到的精确解。实际问题中，大量的质量和刚度分布不均匀的连续系统不可能得到精确解，因此，采用近似计算方法在工程中是十分重要的。本章所考虑的近似方法是对连续系统离散化的方法即用一个相当的离散系统来代替一个连续系统。离散化方法可分为两大类：1/4/20231东北大学设备诊断工程中心1把解写成有限级数形式 把无限个自由系统离散化为n个自由度系统。2把质量集中到本来是连续系统的各质点上。本章主要研究第一类方法：瑞利法；瑞利李兹法；假定振型法。他们都基于瑞雷商的概念。5-1 5-1 瑞利

2、商瑞利商 以多个自由度系统为例来讲瑞雷商的概念。1/4/20232东北大学设备诊断工程中心 设有n个自由度的保守系，以 表示系统的广义坐标，相应的刚度矩阵为 ，惯性矩阵为 。设特征值的解为 设想系统以某一阶频率作同步振动，即：式中：于是可求出该系统的动能和势能表达式：将 和 的表达式代入（b）、（a）式，得 1/4/20233东北大学设备诊断工程中心 当 时，系统处于平衡位置。势能 ，动能 。当 时，系统的动能等于零，势能达极大值。此时系统达极端位置，但保守系统总机械能是不变的。1/4/20234东北大学设备诊断工程中心所以 因而得：此式称为特征值和特征矢量关系式。现在我们对某一系统的特征值问

3、题一无所知，我们考虑任意矢量 作为近似的特矢量代入（c）式，可得一近似的特征值。式中的R(x)是一标量，它决定于矩阵 和1/4/20235东北大学设备诊断工程中心 矢量 。一系统的矩阵是一定的，而矢量 是任意的。因此对于给定系统的R(x)仅取决于矢量 ，标量R(x)称为瑞利商。显然，如果任意矢量 刚好与系统的特征矢量之一相符，那么，瑞雷商等于对应的特征值。此外，瑞利商还有如下一些性质：1）瑞利商在系统特征值矢量附近有驻值（或叫稳定值）为了阐明此性质，根据展开定理，将任意矢量表示成系统特征矢量的线性结合，即：1/4/20236东北大学设备诊断工程中心 为模态矩阵，并已正则化，所以 将(d)代入(

4、5-1)式右端，得 1/4/20237东北大学设备诊断工程中心 如果试探矢量 与某一特征矢量 非常接近，也就是说(d)式中所有的 与 相比都很少，或且 是一阶微量，(f)式的分子和分母都除以 ，于是：1/4/20238东北大学设备诊断工程中心 式中和括号里的每一项乘上因子 目的是保证和号里的第 项为零。分子，分母相除后舍去三阶以上的高阶微量而得右端表达式。由（5-2）式可以看到，如矢量 对特征矢量 的偏差是一阶微量，则瑞利商对特征值 的偏差是二阶微量，这说明瑞雷商在特征矢量附近有驻值。2）瑞利商在一阶振型附近有一极小值。如果我们令 ，则（5-2）式成为 1/4/20239东北大学设备诊断工程中

5、心一般情况下：于是，式中的等号有在全部 都等于零时才成立，因此瑞利商绝不低于一阶特征值，恰恰是一阶特征值为瑞利商的极小值，应用它可得到系统的基频。5-2 5-2 瑞利能量法瑞利能量法 瑞雷法是无须解有关的特征值问题而能估算出系统基频的方法之一。1/4/202310东北大学设备诊断工程中心 具体做法是先假定一个振型函数 ，计算出系统以此振型作同步简谐振动时的最大势能 和参数改动能 ，然后将 和 ，代入瑞雷商的分式中，即得估算的基频 假定的振型必须满足全部或部分边界条件且要接近第一阶振型，的估计值与精确解的接近程度取决于 ，与一阶振型 的接近成度，而这取决于分析者的经验和技巧。1/4/202311

6、东北大学设备诊断工程中心例如：例如：均匀园截面轴的扭振 以 表示轴上X处的角位移点在X处的扭矩表达式为：1/4/202312东北大学设备诊断工程中心于是：长 的微之储存的弹性能为：整根轴的势能为：如果两端用扭转弹簧（扭转刚度 ）支承，则系统的势能为：1/4/202313东北大学设备诊断工程中心 瑞雷法只能求出系统基频粗糙的近似值，且估计值总是高于实的基频。53 瑞雷瑞雷李兹法李兹法 瑞雷法的关键是振型函数的选择,如果假定的振型接近一阶振型,则估算的频率是基频很好的近似,但是一旦选好了振型函数，估算的频率也就有了，我们无法估计其精确度如何。也无法用调整使之更精确些。瑞雷李兹法的优点是能调整假定的

7、振型，使估算的一阶频率尽量降低，而且还能求出有1/4/202314东北大学设备诊断工程中心限阶频率的估计值。以杆的纵向振动为 例，非均匀杆每单位 长度的质量为 拉压 刚度 ，都是横座 标X的函数，右端有集中质量M，今用瑞利李兹法算其头几阶频率和振型。将杆纵向振动的振型函数写成下面有限级数的形式：1/4/202315东北大学设备诊断工程中心 (1)(2)如果做不到，应满足几何边界条件，叫容许函数。(3)必须彼此线性无关，但不同于特征函数，它们无须满足系统的微分方程，但必须对自变量X必须可导，且导数的阶数至少等于出现在中的阶数。(4)式中 为待定常数，它们应选取多元函数1/4/202316东北大学

8、设备诊断工程中心瑞雷商，取驻值 使商具有驻值的必要条件是：以 表示对应于瑞雷商驻值的 值，并考虑到（5-6）（5-7）式，可写成：1/4/202317东北大学设备诊断工程中心 由代数方程组（5-8）解出N个特征值 （它们就是所求的前N阶频率平方的近似值），和N个特征矢量代入（5-5）式，得对应的N个振型函数 具体计算分如下几个步骤：1）指定式（5-5）中的类比函数或容许函数2）计算势能和参改动能，将其写成如下二次型 1/4/202318东北大学设备诊断工程中心以变截面集中质量为例。1：势能 所以 1/4/202319东北大学设备诊断工程中心又所以：于是：（5-6）式中：(3）将（5-10）代入

9、（5-8）得：1/4/202320东北大学设备诊断工程中心写成矩阵的形式为：4）把（5-12）看成为N个自由度离散系统的特征值问题，得N个特征值和特征矢量，及对应的振型函数。1/4/202321东北大学设备诊断工程中心 瑞利法李兹法的实质是把一个无限的自由度系统离散化为N个自由度的系统，然后接多自由度的方法和振型，求频率和振型。1/4/202322东北大学设备诊断工程中心 例例52 等直杆参数为，长为 ，左端固定，右端有一刚度K的弹簧支承，求杆纵向振动。前2阶频率和振型，设 解：（1）设：1/4/202323东北大学设备诊断工程中心 这是左端固定，右端自由等直杆纵向振动的前两阶振型为本例的容许函数，并设（2）将代入 1/4/202324东北大学设备诊断工程中心又：得：（3）1/4/202325东北大学设备诊断工程中心解特征值问题 于是得振型函数 1/4/202326东北大学设备诊断工程中心