6.4数列的通项及数列求和(精品).ppt

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1、 数列的求和数列的求和 单县一中文科数学组单县一中文科数学组回扣练习回扣练习1.如果等差数列如果等差数列 中，中，那么，那么 2.2.设设aan n 是首项为是首项为1 1的正项数列，且的正项数列，且则它的通项公式是则它的通项公式是解解（1 1）方法一方法一 数列数列 a an n 是首项为是首项为1 1的正项数列的正项数列,a an na an n+1+10,+1=0,0,+1=0,令令 =t t,(,(n n+1)+1)t t2 2+t t-n n=0,=0,(n n+1)+1)t t-n n(t t+1)=0,+1)=0,t t=或或t t=-1=-1（舍去），（舍去），即即方法二方法二

2、 由（由（n n+1+1）+a an n+1+1a an n=0,=0,得得n n()+()+a an n+1+1(a an n+1+1+a an n)=0,)=0,即（即（a an n+1+1+a an n）(n n+1)+1)a an n+1+1-nanan n=0.=0.a an n0,0,a an n+1+1+a an n0,(0,(n n+1)+1)a an n+1+1-nanan n=0,=0,即即 探探究究提提高高 已已知知递递推推关关系系求求通通项项公公式式这这类类问问题题要要求求不不高高,主主要要掌掌握握由由a a1 1和和递递推推关关系系先先求求出出前前几几项项,再再归归纳

3、、猜想纳、猜想a an n的方法的方法,以及累加：以及累加：a an n=(=(a an n-a an n-1-1)+)+(a an n-1-1-a an n-2-2)+)+(+(a a2 2-a a1 1)+)+a a1 1;累乘：累乘：a an n=等方法等方法.高考目标高考目标1掌握数列求和问题的基本解法掌握数列求和问题的基本解法(公式法、公式法、倒序法、错位相减法、通项展开法、裂项倒序法、错位相减法、通项展开法、裂项法、分组法法、分组法)。2 2帮帮助助学学生生运运用用化化归归的的思思想想方方法法，把把特特殊殊数数列列问问题题转转化化为为常常见见的的简简单单数数列列的的问问题。题。要点

4、梳理要点梳理1.1.若已知数列若已知数列 a an n，满足，满足a an n+1+1-a an n=f f（n n），且），且f f（1 1）+f f（2 2）+f f（n n）可求，则可用）可求，则可用 求数列的求数列的 通项通项a an n.2.2.若已知数列若已知数列 a an n，满足，满足 =f f（n n），且），且f f(1)(1)f f(2)(2)f f（n n）可求，则可用）可求，则可用 求数列的通项求数列的通项a an n.累加法累加法累积法累积法基础知识基础知识 自主学习自主学习3.3.等差数列前等差数列前n n项和项和S Sn n=，推导方法：推导方法：；等比数列前等

5、比数列前n n项和项和 推导方法推导方法:乘公比，错位相减法乘公比，错位相减法.S Sn n=，nana1 1=q q=1,=1,q q1.1.，倒序相加法倒序相加法4.4.常见数列的前常见数列的前n n项和项和（1 1）1+2+3+1+2+3+n n=;（2 2）2+4+6+2+4+6+2+2n n=;（3 3）1+3+5+1+3+5+(2+(2n n-1)=-1)=;（4 4）1 12 2+2+22 2+3+32 2+n n2 2=;（5 5）1 13 3+2+23 3+3+33 3+n n3 3=.n n2 2+n nn n2 25.5.（1 1）分分组组求求和和：把把一一个个数数列列分

6、分成成几几个个可可以以直直接接求求和的数列和的数列.（2 2）拆拆项项相相消消：有有时时把把一一个个数数列列的的通通项项公公式式分分成成两两项项差差的的形形式式，相相加加过过程程消消去去中中间间项项，只只剩剩有有限限项项再求和再求和.（3 3）错错位位相相减减：适适用用于于一一个个等等差差数数列列和和一一个个等等比比数数列对应项相乘构成的数列求和列对应项相乘构成的数列求和.（4 4）倒倒序序相相加加：例例如如，等等差差数数列列前前n n项项和和公公式式的的推推导导.6.6.常见的拆项公式有常见的拆项公式有基础自测基础自测6.6.若若数数列列 a an n 的的通通项项公公式式为为a an n=

7、2=2n n+2+2n n-1,-1,则则数数列列 a an n 的的前前n n项和为项和为（）解析解析 S Sn n=2=2n n+1+1-2+-2+n n2 2.【例例1 1】(2008(2008全全国国文文，19)19)在在数数列列 a an n 中中，a a1 1=1=1，a an n+1+1=2=2a an n+2+2n n.（1 1）设）设b bn n=.=.证明：数列证明：数列 b bn n 是等差数列；是等差数列；（2 2）求数列）求数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n.（1 1）证明证明 a an n+1+1=2=2a an n+2+2n n，b bn n=

8、，b bn n+1+1=b bn n+1+1，即，即b bn n+1+1-b bn n=1,=1,b b1 1=1,=1,故数列故数列 b bn n 是首项为是首项为1 1，公差为，公差为1 1的等差数列的等差数列.题型一题型一 错位相减法求和错位相减法求和(2)(2)解解 由（由（1 1）知）知,b bn n=n n,a an n=n n2 2n n-1-1,则则S Sn n=1=12 20 0+2+22 21 1+(+(n n-1)-1)2 2n n-2-2+n n2 2n n-1-12 2S Sn n=1=12 21 1+2+22 22 2+(+(n n-1)-1)2 2n n-1-1+

9、n n2 2n n两式相减，得两式相减，得S Sn n=n n2 2n n-1-12 20 0-2-21 1-2-2n n-1-1=n n2 2n n-2-2n n+1.+1.解解 前前n n项和为项和为S Sn n=（1+11+1）+=+=+1+4+7+1+4+7+(3+(3n n-2)-2)，设设S S1 1=当当a a=1=1时，时，S S1 1=n n；当当a a11时，时，S S1 1=【例例3 3】求下列数列的前求下列数列的前n n项和：项和：题型三题型三 分组转化求和分组转化求和S S2 2=1+4+7+=1+4+7+（3 3n n-2-2）=当当a a=1=1时，时，S Sn

10、n=S S1 1+S S2 2=当当a a11时，时，S Sn n=S S1 1+S S2 2=探探究究提提高高 先先将将求求和和式式中中的的项项进进行行适适当当分分组组调调整整，使使之之每每一一个个组组为为等等差差或或等等比比数数列列，然然后后分分别别求求和和，从从而而得得出出原原数数列列的的和和.它它是是通通过过对对数数列列通通项项结结构构特特点点的的分分析析研研究究，将将数数列列分分解解转转化化为为若若干干个个能能求求和和的的新新数数列列的的和和或或差，从而求得原数列的和的一种求和方法差，从而求得原数列的和的一种求和方法.方法与技巧方法与技巧1.1.求求数数列列通通项项的的方方法法技技巧

11、巧：(1)(1)通通过过对对数数列列前前若若干干项项的的观观察察、分分析析,找找出出项项与与项项数数之之间间的的统统一一对对应应关关系系，猜猜想想通通项项公公式式；(2)(2)理理解解数数列列的的项项与与前前n n项项和和之之间间满满足足a an n=S Sn n-S Sn n-1-1（n n22）的的关关系系，并并能能灵灵活活运运用用它它解决有关数列问题解决有关数列问题.2.2.a an n的两种常见变形的两种常见变形 a an n=a a1 1+（a a2 2-a a1 1）+（a a3 3-a a2 2）+（a an n-a an n-1-1）（累累加加法）；法）；a an n=a a1

12、 1 （累乘法）（累乘法）.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.数列求和的方法技巧数列求和的方法技巧（1 1）倒倒序序相相加加：用用于于等等差差数数列列与与二二项项式式系系数数相相关关联联的数列的求和的数列的求和.（2 2）错错位位相相减减：用用于于等等差差数数列列与与等等比比数数列列的的积积数数列列的求和的求和.（3 3）分分组组求求和和：用用于于若若干干个个等等差差或或等等比比数数列列的的和和数数列的求和列的求和.失误与防范失误与防范1.1.直直接接用用公公式式求求和和时时，注注意意公公式式的的应应用用范范围围和和公公式式的的推导过程推导过程.2.2.重重点点通通过过数数列列通通项项

13、公公式式观观察察数数列列特特点点和和规规律律，在在分分析析数数列列通通项项的的基基础础上上，判判断断求求和和类类型型，寻寻找找求求和和的的方方法法，或或拆拆为为基基本本数数列列求求和和，或或转转化化为为基基本本数数列求和列求和.求和过程中同时要对项数作出准确判断求和过程中同时要对项数作出准确判断.3.3.含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.一、选择题一、选择题1.1.等差数列等差数列 a an n 的通项公式的通项公式a an n=2=2n n-1,-1,数列数列b bn n=其前其前n n项和为项和为S Sn n，则，则S Sn n等于等于（）A.B.A

14、.B.C.D.C.D.以上都不对以上都不对定时检测定时检测解析解析 a an n=2=2n n-1-1，答案答案 B B2.2.已已 知知 数数 列列 a an n 的的 前前 n n项项 和和 S Sn n=n n2 2-4-4n n+2+2，则则|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|+|a a1010|等于等于（）A.66A.66B.65B.65C.61C.61D.56D.56 解析解析 当当n n=1=1时，时，a a1 1=S S1 1=-1;=-1;当当n n22时，时，a an n=S Sn n-S Sn n-1-1=n n2 2-4-4n n+2-+2-（n n-1-1）2 2-4-4（n n-1-1）+2+2 =2=2n n-5-5，a a2 2=-1=-1，a a3 3=1=1，a a4 4=3=3，a a1010=15=15，|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|+|a a1010|=1+1+|=1+1+=2+64=66.=2+64=66.A