数值最优化(李董辉)第二章 下降算法与线性搜索(精品).ppt

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1、最优化最优化主讲：刘陶文博士课件制作：刘陶文课件制作：刘陶文唯楚有材唯楚有材 於斯为盛於斯为盛第二章第二章 无约束问题的下降算法无约束问题的下降算法 与线性搜索与线性搜索第一节第一节 无约束问题的最优性条件无约束问题的最优性条件第二节第二节 下降算法的一般步骤下降算法的一般步骤第三节第三节 线性搜索线性搜索第一节第一节 无约束问题的最优性条件无约束问题的最优性条件第二节第二节 下降算法的一般步骤下降算法的一般步骤第三节第三节 线性搜索线性搜索1.单峰函数单峰函数定义定义：设：设是区间是区间上的一元函数，上的一元函数，是是在在上的极小点，且对任意的上的极小点，且对任意的有有（a）当当时，时，（b

2、）当当.则称则称 是单峰函数。是单峰函数。.一、一、精确线性搜索精确线性搜索黄金分割法黄金分割法(0.618法法)性质：通过计算区间性质：通过计算区间内两个不同点的函数值，就可以内两个不同点的函数值，就可以确定一个包含极小点的子区间。确定一个包含极小点的子区间。定理定理 设设是区间是区间上的一元函数，上的一元函数，是是在在上的极小点。任取点上的极小点。任取点则有则有（1）如果）如果，则，则（2）如果）如果则则.2.黄金分割法黄金分割法思想思想通过选取试探点使包含极小点的区间按相同比例不断缩短，通过选取试探点使包含极小点的区间按相同比例不断缩短，直到区间长度小到一定程度，此时区间上各点的函数直到

3、区间长度小到一定程度，此时区间上各点的函数值均接近极小值。值均接近极小值。下面推导黄金分割法的计算公式。下面推导黄金分割法的计算公式。通过确定通过确定 的取值，使上一次迭代剩余的迭代点恰与下一次的取值，使上一次迭代剩余的迭代点恰与下一次迭代的一个迭代点重合，从而减少算法的计算量。迭代的一个迭代点重合，从而减少算法的计算量。同理可得。同理可得。算法步骤：算法步骤：黄金分割法的迭代效果：第黄金分割法的迭代效果：第k次后迭代后所得区间长度为次后迭代后所得区间长度为初始区间长度的初始区间长度的其它的试探点算法：其它的试探点算法：Fibonacci算法。算法。二、二、非精确线性搜索非精确线性搜索 Armijo 型线性搜索型线性搜索 和和 Wolfe-Powell 型线性搜索型线性搜索OebcaArmijo:0，a Wolfe-Powell:e,cGoldstein:b,c各种线性搜索的图例各种线性搜索的图例 四、下降算法的全局收敛性和超线性收敛性四、下降算法的全局收敛性和超线性收敛性上述定理说明了下降算法的收敛速度上述定理说明了下降算法的收敛速度 和取单位步长的重要性和取单位步长的重要性