第一章 数制与编码(精品).ppt

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1、第一章 数制与编码主要内容主要内容各种进位计数制及其相互转换各种进位计数制及其相互转换带符号数的表示方法带符号数的表示方法常用的一般编码常用的一般编码1.1 概述数字量和模拟量数字量：变化在时间上和数量上都是不连续的。（存在一个最小数量单位）模拟量：数字量以外的物理量。数字电路和模拟电路：工作信号，研究的对象，分析/设计方法以及所用的数学工具都有显著的不同1.2 1.2 进位计数制进位计数制一、一、十进制数的表示十进制数的表示 数码个数数码个数10个：个：计数规律计数规律:数数 制制：进位计数制：进位计数制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9逢十进逢十进 1,借一当借一当10数码的个数和计

2、数规律是进位计数制的两个决定因素计数体制、计数方法。计数体制、计数方法。高位进位，本位归高位进位，本位归0。例例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2例例：123.45 读作 一百二十三点四五 计数法计数法计数法计数法例例：123.45 读作 一百二十三点四五例例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2 位置计数法位置计数法 按权展开式按权展开式 按权展开通式按权展开通式 和式和式(N)10=an-110n-1+an-210n-2+a1101+a0100 +a-1 10-1+a-210-2+a-m10-m 基与基数基与基数基与基数基与基

3、数用来表示数的数码的集合称为基（用来表示数的数码的集合称为基（09）,集合的大小集合的大小称为基数称为基数(十进制为十进制为10)。即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为基基数数，也叫，也叫模。模。在十进制中，在十进制中，10的整幂次方称为的整幂次方称为10进制数的权。进制数的权。即表示某种进位计数制不同位置上数字的即表示某种进位计数制不同位置上数字的单位值单位值，位置不同显示的数值大小不同。位置不同显示的数值大小不同。123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2数位不同，权值不同。数位不同，权值不同。权权权权例例：其

4、它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广，对任意进制对任意进制 R，数，数N可以表示成按权展开式：可以表示成按权展开式：(N)R=an-1R n-1+an-2R n-2+a1R1+a0R0 +a-1 R-1+a-2R-2+a-mR-m(N)R=(an-1 an-2 a1 a0.a-1 a-2 a-m)R二、二、其它进制其它进制权值一般用十进制表示 R2 二进制二进制数码个数数码个数2个：个：计数规律计数规律:例：例：0,1逢二进逢二进 1,借一当借一当 2(11011.01)2=124+123+022+121+120+02-1+12-2(1101

5、1.01)101(10)4+1(10)3+0(10)2+1(10)1 +1(10)0 +0(10)-1+1(10)-2权值一般用十进制表示二进制数的特点二进制数的特点二进制数的特点二进制数的特点:只有两个数码,很容易用物理器件来实现。运算规则简单。可使用逻辑代数这一数学工具。节省设备节省设备的说明节省设备的说明:1）设）设n是数的位数是数的位数 R是基数是基数 Rn-最大信息量最大信息量 nR-Rn个数码所需设备量个数码所需设备量 例：例：n=3，R=10，(R)10n=103=1000 nR=310=30 R=2时时,为使为使 2n1000 n=10(Rn=1024),nR=102=20 同

6、样为同样为1000的信息量，二进制比十进制节省设备。的信息量，二进制比十进制节省设备。2）唯一性证明）唯一性证明 N=Rn（N为最大信息量）为最大信息量）LnN=nLnR 令令C=LnN C=nLnR 两边同乘两边同乘R，RC=nRLnR 可求得可求得:R=e=2.718 R8 八进制八进制数码个数数码个数8个：个：计数规律计数规律:例：例：0,1,2,3,4,5,6,7逢八进逢八进 1,借一当借一当 8(176.5)8=182+781+680+58-1(176.5)101(10)2+7(10)1+6(10)0+5(10)-1 R16 十六进制进制数码个数数码个数16个：个：计数规律计数规律:

7、例：例：其它进制其它进制 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F(0 10 15)逢逢十六进十六进 1,借一当借一当 16如六进制、十二进制、二十四进制、六十进制等。如六进制、十二进制、二十四进制、六十进制等。书书P4 表表1.1.1所列各进制对应值要求熟记。所列各进制对应值要求熟记。几种常用数制的表示方法：几种常用数制的表示方法：R10二进制八进制十六进制000011112102231133410044510155611066711177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111

8、117F1.2 2 数制转换数制转换说明：说明：转换是任意的。转换是任意的。方法：多项式替代法方法：多项式替代法基数乘除法基数乘除法混合法混合法直接转换法直接转换法1010 10 K，K 一、多项式替代法一、多项式替代法 （R10）(11011.11)2=()10=124+123+022+121+120+12-1+12-216 8 0 2 1 0.5 0.25 =(27.75)10(321.4)8=()10=382+281+180+48-1192 16 1 0.5 =(209.5)10 例例1：例例2：二、基数乘除法二、基数乘除法（10 R）整数的转换基数除法规则：规则：除基取余，商零为止除基

9、取余，商零为止例例 1：解：解：例例 2：解：解：(25)10=()2(25)10=(11001)2(54)10=()16(54)10=(36)16小数的转换基数乘法规则：规则：乘基取整，满足精度要求为止乘基取整，满足精度要求为止例例 3：例例 4：解：解：例例 5：解：解：(0.125)10=()2(0.125)10=(0.001)2 ，(0.125)10=(0.02)4(0.125)10=()4(29.93)10=()2(29.93)10=(11101.111011)2 小数的精度若求出的是若求出的是有有限位小数，标明已求出准确的转换小数；限位小数，标明已求出准确的转换小数；若求出的是若求

10、出的是无无限位小数，标明转换出的小数存在误差。限位小数，标明转换出的小数存在误差。取数原则：取数原则：等精度转换等精度转换等精度转换；等精度转换；按题意要求按题意要求设设进制有进制有 ii位小数，转换后位小数，转换后进制有进制有 jj位小数。位小数。(0.001)=(1-i)10 (0.001)=(1-j)10 i位j位等精度转换等精度转换(续续)转换后应使：1-j 1-I即 I j 故故取取满足不等式的最小整数满足不等式的最小整数例例:(0.3021)10()16 ，已知精度为(0.1)410 解：解：10，16，I4取 j=4按题意要求按题意要求例例:(0.3021)10()2 ，要求精度

11、 0.1%解解:例例:(0.3021)10()8 ，要求精度 0.01%解解:取 j=10取 j=5三、混合法三、混合法(10)(N)(N)10 (N)多项式替代法多项式替代法 基数乘除法基数乘除法例例:(2022)3()8解解:(2022)3=233+032+231+230=(62)10=(76)8四、直接转换法四、直接转换法(K，K)一般在二、八、十六进制之间转换一般在二、八、十六进制之间转换 八进制与二进制之间的转换：八进制与二进制之间的转换：(10011100101101001000.01)B=(010 011 100 101 101 001 000.010)B=()O01554=(2

12、345510.2)O322从小数点开始从小数点开始3位一组位一组不足补不足补0不不足足补补0 十六进制与二进制之间的转换：十六进制与二进制之间的转换：(10011100101101001000.01)B=(1001 1100 1011 0100 1000.0100)B=()H84BC9=(9CB48.4)H不足补不足补0从小数点开始从小数点开始4位一组位一组4反之:(345.7)O=()B(345.7)O=(011 100 101.111)B1位八进制对应位八进制对应3位二进制位二进制(27B.7C)H=()B(27B.7C)H=(0010 0111 1011.0111 1100)B1位十六进

13、制位十六进制对应对应4位二进制位二进制=(10 0111 1011.0111 11)B0可可去掉去掉1.41.4 带符号数的代码表示带符号数的代码表示一、符号数真值：在数值前加“”号表示正数；在数值前加“”号表示负数。机器数：把符号数值化的表示方法称。用“0”表示正数，用“1”表示负数。例：真值 机器数91001 0100191001 11001符号位符号位二、原码常用的机器数有：原码、反码、补码其符号位规则相同，数值部分的表示形式有差异。组成：特点：符号位数值位正0 不变负1例：X11101 X1原=01101X21101 X2原=11101直观易辨认；有2个0；符号不参与运算；数值范围三、

14、反码 组成：特点：符号位数值位正0 不变负1 取反 例：X11101 X1反=01101X21101 X2反=10010正数的反码同原码，负数的反码数值按位取反；有2个0；反码的反码为原码；数值范围X11101 X1反=10010X1反反=11101=X1原 特点(续)两数和的反码等于两数反码之和；两数和的反码等于两数反码之和；符号位参与运算符号位参与运算,有进位时循环相加有进位时循环相加。例：已知 X11100 X21010 求 Y1 X1 X2 ；Y2 X2 X1 解：X1反=01100，X1反=10011，X2反=01010 ，X2反=10101 Y1反 X1反 X2反=00010 Y1

15、0010 0 1 0 1 0+1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0+1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1+1 0 0 0 1 0循环相循环相加加 Y2反 X2反 X1反=11101 Y20010四、补码 组成：特点：符号位数值位正0 不变负1 取反1 例：X11101 X1补=01101X21101 X2补=10011正数的补码同原码，正数的补码同原码，负数的补码数值按位取反负数的补码数值按位取反1；只有只有1个个0；补码的补码为原码；补码的补码为原码；数值范围数值范围X11101 X1补=10011X1补补=11101=X1原 特点(续)两数和的补码等于两数补码之

16、和；符号位参与运算,有进位时丢弃。例：已知 X11100 X21010 求 Y1 X1 X2 ；Y2 X2 X1 解：X1补=01100，X1补=10100，X2补=01010 ，X2补=10110 Y1补 X1补 X2补=00010 Y10010 0 1 0 1 0+1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0+1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0进位丢进位丢弃弃 Y2补 X2补 X1补=11110 Y20010补码的补充说明：补码的补充说明：数学上，补码与其真值构成了以某一值（计算机数学上，补码与其真值构成了以某一值（计算机的字长）为模的的字长）为模的“模数系统模数系统

17、”或或“同余同余”结构的代数系结构的代数系统。统。计量器的容量。例：计算机的字长为L，模数为2L。1 0 0 1 9+1 0 0 0 8 1 0 0 0 1 17丢弃 在模16的系统中，17=1（mod16）。在某一模数系统中，模数为在某一模数系统中，模数为N，如果如果a、b的的 余数相同，则称余数相同，则称a、b模模N同余。例：同余。例：17和和33在模在模16系统中同余系统中同余1。同余同余：模模：补码的应用：在模N的系统中，数L与N-L是一对互补的数，利用其特点可把减法变成加法运算。L补=N+L -(N1)L 0如如N=2n则为取反加则为取反加1例：钟表为模12的系统。顺时针：+；逆时针

18、：-由12点拨到3点：1）12+3=15=15-12=3（mod12)2)12-9=3 12+（12-9）=3（mod12)则：12-9=12+3=3123961.5 编码编码一、二一、二十进制编码十进制编码 数字电路中编码的方式很多，常用的主数字电路中编码的方式很多，常用的主要是二要是二 十进制码（十进制码（BCD码）。码）。BCD-Binary-Coded-Decimal 用四位二进制数表示用四位二进制数表示09十个数码，即为十个数码，即为BCD码码。四位二进制数最多可以有。四位二进制数最多可以有16种不同组合，不同的种不同组合，不同的组合便形成了一种编码。主要有：组合便形成了一种编码。主

19、要有：8421码、码、5421码、码、2421码、余码、余3码等码等000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数二进制数自然码自然码 8421码码 2421码码 5421码码 余三码余三码 前10个码 前后各5个码 中间10个码简称8421码。按4位二进制数的自然顺序，取前十个数依次表示十进制的09，后6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。8421码是一种有权码，每位有固

20、定的权，从高到低依次为8,4,2,1，如:8421码(0111)8421BCD=08+14+12+11=7 8421 BCD8421 BCD码码码码与自然二进制数排列一至，10101111为冗余码；8421码与十进制的转换关系为直接转换关系 例:（0001 0011.0110 0100)8421BCD=(13.64)10运算时按逢10进1的原则,并且要进行调整。调整原则:有进位或出现冗余码时：加+6调整。有权码，从左到右为 8 4 2 1；8421码的特点码的特点：例:8+9=17 1 0 0 0+)1 0 0 1 1 0 0 0 1 有进位6+)0 1 1 00 1 1 1例:7+6=13

21、0 1 1 1+)0 1 1 0 1 1 0 1 +)0 1 1 01 0 0 1 1丢弃8421码运算举例:冗余码6 2421 BCD2421 BCD码码码码简称简称2421码。典型码。典型2421码按码按4位二进制数的自位二进制数的自然顺序，取前然顺序，取前8个数依次表示十进制的个数依次表示十进制的07，8和和9分别为分别为1110和和1111。其余。其余6个数不允许出现，若出现个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。这只是则认为是非法的或错误的。这只是2421码的码的一种一种编编码方案。码方案。2421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为2,4,2,1，如:2421码 (

22、0111)2421=02+14+12+11=72421码 (1110)2421=12+14+12+01=82421码的编码方案：码的编码方案：代码代码方案方案1方案方案2方案方案3/4000000000000010001000100012001010000010/10003001110010011/10014010010100100/10105010110111011/01016011011001100/01107011111011101/011181110111011109111111111111对九自补 余余余余3 3码码码码由8421码加3形成。4）如果两个余3码相加没有进位，则和数要减

23、3，否则和数要加3。1)是一种无权码。2)有六个冗余码。（0000、0001、0010、1101、1110、1111）3）对9的自补码。例：(4)余3码=0111;(5)余3码=1000 (0111)9补=1000 即0111按位取反。00000001001000110110011110001001101010111101111011110101110001000345678291数码数码余三码余三码 中间10个码 0 1 0 0)0 1 1 01 0 1 0)0 0 1 10 1 1 1例如：例如：0100+0110=0111 1 0 0 0)1 0 0 11 0 0 0 1+)0 0 1

24、11 0 1 0 01000+1001=0100余3码运算丢弃无进位减3有进位加3000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数二进制数自然码自然码 8421码码 2421码码 5421码码 余三码余三码 前10个码 前后各5个码 中间10个码二、可靠性编码二、可靠性编码 能减少错误，发现错误，甚至纠正错误的编码能减少错误，发现错误，甚至纠正错误的编码 称为可靠性编码。称为可靠性编码

25、。纠错的三个层次纠错的三个层次编码本身不易出错编码本身不易出错格雷码格雷码出错能检查出来出错能检查出来奇偶校验码奇偶校验码检查并能纠错检查并能纠错汉明码汉明码纠错是以增加硬件为代价的纠错是以增加硬件为代价的 格雷码格雷码格雷码格雷码在一组数的编码中，如果任意相邻的代码只有一位二进制数不同，即为格雷码。典型二进制格雷码编码规则：(1 1 0 1)B例：13的格雷码：1011=(1 0 1 1)G格雷码的特点：十进制十进制 二进制二进制GREY1000000 0 0 0100010 0 0 1200100 0 1 1300110 0 1 0401000 1 1 0501010 1 1 160110

26、0 1 0 1701110 1 0 0810001 1 0 0910011 1 0 11010101 1 1 11110111 1 1 01211001 0 1 01311011 0 1 11411101 0 0 11511111 0 0 0 汉明距离1 循环特性 n一定时最大数的第一定时最大数的第n位为位为1，其，其余各位为余各位为0。具有反射特性 第第n位为反射位，以第位为反射位，以第n位位的的0、1交界处为轴上下对称。交界处为轴上下对称。一个一个n位的格雷码，可由位的格雷码，可由n1位格雷码产生。位格雷码产生。方法：在方法：在n1位码前加位码前加0，再，再作对称镜像。作对称镜像。例：十进

27、制十进制 二进制二进制GREY1步进码步进码GREY2000000000000000000100010001000010001200100011000110011300110010001110010401000110011110110501010111111111110601100101111101010701110100111001011810001100110001001910011101100001000101010111111101111101211001010131101101114111010011511111000反射循环格雷码应用：循环计数循环计数例：7的典型格雷码为 0100

28、典型二进制格雷码转换成二进制数的方法：(0 1 0 0)G01=(0 1 1 1)B11 奇偶校验码奇偶校验码奇偶校验码奇偶校验码组成组成:信息位校验位（信息位校验位（1位）奇偶校验码位）奇偶校验码码中：码中：1的的个数为个数为奇奇数数奇校验码奇校验码1的个数为的个数为偶偶数数偶校验码偶校验码由信息位和校验位(冗余部分)两部分组成。校验位的取值可使整个校验码中的1的个数按事先的规完成为奇数或偶数。简单的奇偶校验码：简单的奇偶校验码：数数码码信息位信息位校验位校验位奇校验码奇校验码偶校验码偶校验码8421BCD奇奇偶偶0000010 00001 000001000101 00010 000112

29、001001 00100 001013001110 40100015010110601101070111018100001 10000 100019100110 10011 10010 奇校验位奇校验位：PB8 B4 B2 B1 1偶校验位偶校验位：PB8 B4 B2 B1以以8421BCD码为例码为例 检错检错只能检出单个错误或奇数个错，但不能纠错。只能检出单个错误或奇数个错，但不能纠错。校验校验：PB8 B4 B2 B1 P奇校验：奇校验：P1 正确正确偶校验偶校验：P0 正确正确例例:奇校验传送奇校验传送 1001：解解:校验位校验位 P=1,奇校验码为奇校验码为:10011 正确传送时

30、正确传送时:PB8 B4 B2 B1 P=1 0 0 1 1=1不正确传送时不正确传送时:设接收码为设接收码为10111 PB8 B4 B2 B1 P=1 0 1 1 1=0出错学习要求：学习要求：熟练掌握各进位计数制间的相互转换熟练掌握一个数原码、反码、补码的表示，以及原码、反码、补码的算术运算。掌握8421BCD码、余3码、格雷码、奇偶校验码的特点。作业作业:P171-6(3)，1-10(3)，1-13(7)，1-15(3)本章完本章完!例例1 转换过程：转换过程：余余2251122 余余 062 余余 032 余余 10 (25)10=(11001)2低位高位2 余余 11(25)10=

31、()2 余余16546316 余余 30 (54)10=(36)16低位高位例例2 转换过程：转换过程：(54)10=()16例例3 转换过程：转换过程：例例4 转换过程：转换过程：0.125 20.25 2 0.5 2 1.0低位高位(0.125)10=(0.001)20.125 40.5 4 2.0低位高位(0.125)10=(0.02)4(0.125)10=()2(0.125)10=()4例例5 转换过程：转换过程：余余2291142余余072 余余 132余余10 (29.93)10=(11101.11101)22 余余 11低位高位0.93 2 1.8 6 2 1.7 2 2 1.4 4低位高位高位 2 0.8 8 2 1.7 6(29.93)10=()2