初中二次函数知识点总结.docx

《初中二次函数知识点总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中二次函数知识点总结.docx（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 初中二次函数知识点总结(全面) 初中二次函数学问点总结(全面) 二次函数学问点 （一）、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零二次函数的定义域是全体实数2.二次函数yax2bxc的构造特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 （二）、二次函数yax2bxc的性质 b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，2a4a2a当xbb时，y随x的增大而减小

2、；当x时，y随x的增大而增大；当2a2a4acb2bx时，y有最小值 4a2a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb2bb时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增，当x4a2a2a2a4acb2b大而减小；当x时，y有最大值 4a2a（三）、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）； 3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函 数都可以写成交点式，只有抛物线

3、与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习 1.以下关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A. B.C.D. 2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A.第一象限B.其次象限C.x轴上D.y轴上4.抛物线 的对称轴是() A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=4 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论中，正确的选项是()A.ab0，c0B.ab0，c10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向

4、上平移3个单位， 所得的抛物线的函数关系式是()A.C.二、填空题 1、以下函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx2（2）y(x2)(x2)(x1)2 B.D. 1（4）yx22x3x2、二次函数y2(x3)25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴 是； 3、当k为何值时，函数y(k1)xk2k1为二次函数？画出其函数的图象 3、函数yx(23x)，当x为时，函数的最大值是； 14、二次函数yx22x，当x时，y0;且y随x的增大而减 2小； 5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是_. 6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=_. 7.若抛物线y

5、=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_. 8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_. 9、二次函数yx2x的对称轴是 10二次函数y2x2x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小 11抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a=12、抛物线yax2xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？ 222213已知抛物线y= 125xx22（）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（）画出草图 （）观看草图，指出x为何值时，y0,y0,y0. 14、（201*年宁波市）如图，已知二次函数

6、y12xbxc2的图象经过A（2，0）、B（0，6）两点。（1）求这个二次函数的解析式 （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，求点C的坐标 1.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经受了从亏损到赢利的过程， 下面的二次函数图象（局部）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销 售时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可到达30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 扩展阅读：二次函数学问点总结 厦门分校 二次函数学问点 一、二次函

7、数概念： 一切为了孩子美妙的将来 b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一1二次函数的概念：一般地，形如yaxbxc（a，c可以为零二次函数的定义域是全体实数元二次方程类似，二次项系数a0，而b，2.二次函数yaxbxc的构造特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 22b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项a，二、二次函数的根本形式 1.二次函数根本形式：yax的性质：a的肯定值越大，抛物线的开口越小。 2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴性质 00，00，y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时

8、，y有最小值0a0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值02.yaxc的性质：上加下减。 2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴性质 c0，c0，y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值ca0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c3.yaxh的性质： 左加右减。4. 2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴X=h性质0h，0h，xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0a0向下X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而

9、增大；xh时，y有最大值0yaxhk的性质： 2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴X=h性质h，kxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k厦门分校 三、二次函平移1.平移一切为了孩子美妙的将来 X=ha0向下h，kxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，数图象的步骤：y有最大值k方法一：将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；保持抛物线yax的外形不变，将其顶点平移到h，k处，详细平移方法如下： 22y=ax2向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k厦门分校

10、 一切为了孩子美妙的将来 bbb4acb2当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小值 2a2a2a4ab4acb2bb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为时，y随x的增大而增大；当，当x2a4a2a2abb4acb2x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值 2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 21.一般式：yaxbxc（a，b，c为常数，a0）；22.顶点式：ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）； 3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点

11、式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即 b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a 二次函数yaxbxc中，a作为二次项系数，明显a0 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a打算了抛物线开口的大小和方向，a的正负打算开口方向，a的大小打算开口的大小2.一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b打算了抛物线的对称轴在a0的前提下， 当b0时，当b0

12、时，当b0时，2b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧2ab0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧2a在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，总结起来，在a确定的前提下，b打算了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴x总结：3.常数项c b在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同右异”2ay轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标

13、为0；当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c打算了抛物线与y轴交点的位置 当c0时，抛物线与 b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的总之，只要a，二次函数解析式确实定： 依据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，选择适当的形式， 厦门分校 才能使解题简便一般来说，有如下几种状况： 1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式 九、

14、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称 yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是yaxbxc； 22一切为了孩子美妙的将来 yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk； 2.关于 22y轴对称 2yaxbxc关于 2y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc； 2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk； 3.关于原点对称 yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是yaxbxc；yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 2222b2yaxbxc关于顶点对称后，得到

15、的解析式是yaxbxc； 2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk n对称5.关于点m，22n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk关于点m，依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的外形肯定不会发生变化，因此a永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或便利运算的原则，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程： 1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点状况）： 2一元二次方程axbxc0是二次函

16、数yaxbxc当函数值y0时的特别状况. 222图象与x轴的交点个数： 0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程当b4ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，2b24ac.axbxc0a0的两根这两点间的距离ABx2x1a2当0时，图象与x轴只有一个交点；当0时，图象与x轴没有交点. 厦门分校 1“当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 一切为了孩子美妙的将来 2“当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0 2.抛物线yaxbxc的图象与3.二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小

17、）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置推断二次函数yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号推断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 2与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，提醒 22y轴肯定相交，交点坐标为(0，c)； 二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 图像参考： y=2x2y=x20抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负二次

18、三项式的值为非负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴无交点一元二次方程有两个相等的实数根0二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2 厦门分校 y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2一切为了孩子美妙的将来 y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2 十一、函数的应用 y=2x2y=2(x-4)2刹车距离二次函数应用何时获得最大利润 最大面积是多少 二次函数考察重点与常见题型 1考察二次函数的定义、性质，有关试题常消失在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数值是 2

19、综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终 则m的y(m2)x2m2m2的图像经过原点， y=2(x-4)2-3角坐标系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，假如函数 ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（） yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题消失的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x5，求这条抛物线的解析式。34考察用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：3

20、2已知抛物线yaxbxc（a0）与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是2 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5考察代数与几何的综合力量，常见的作为专项压轴题。【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 厦门分校 例1（1）二次函数yaxbxc的图像如图1，则点M(b,2一切为了孩子美妙的将来 c)在（）aA第一象限B其次象限C第三象限D第四象限 （2）已知二次函数y=ax+bx+c（a0）的图象如图2所示，则以下结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A1个B

21、2个C3个D4个 2 (1)(2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键 例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1厦门分校 直线A，C解析式为y=6x-6直线A“C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的x的范围为-1厦门分校一切为了孩子美妙的将来 （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b则15kb25,解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40 2kb202 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销

22、售利润为w元w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区分，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例3.你知道吗?平常我们在跳大绳时，绳甩到最高处的外形可近似地看为抛物线如下图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)() A15mB1625mC166mD167m分析：此题考察二次函数的应用答案：B 2 友情提示：本文中关于初中二次函数学问点总结(全面)给出的范例仅供您参考拓展思维使用，初中二次函数学问点总结(全面)：该篇文章建议您自主创作。