2-1,2复变函数的导数和解析函数(精品).ppt

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1、第一、二节第一、二节 复变函数的导数 解析函数解析函数一、复变函数的导数与微分二、函数在一点可导的充要条件三、解析函数的概念2一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:3在定义中应注意在定义中应注意:4例例1 解解5例例2 解解672.可导与连续可导与连续:函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但但函数函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证8证毕证毕93.求导法则求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导

2、数的定义在形式上完全一致,并且复变函并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来到复变函数中来,且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:10114.微分的概念微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致.定义定义12特别地特别地,13二、二、函数在一点可导的充要条件定理一定理一柯西介绍柯西介绍黎曼介绍黎曼介绍14证证(1)必要性必要性.15

3、16(2)充分性充分性.由于由于有界有界无穷小无穷小19证毕证毕20三、解析函数的概念三、解析函数的概念1.解析函数的定义解析函数的定义212.奇点的定义奇点的定义根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等不等价价的概念的概念.即函数在一点处可导即函数在一点处可导,不一定在该点不一定在该点处解析处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.22例例3 解解由本节例由本节例1和例和例2知知:232425例例

4、4解解呢？呢？是函数的奇点，是函数的奇点，其他点处解析其他点处解析26定理定理以上定理的证明以上定理的证明,可利用求导法则可利用求导法则.27根据定理可知根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.2829解析函数的判定方法解析函数的判定方法:30四、典型例题四、典型例题例例5 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:解解不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,四个偏导数四个偏导数均连续均连续指数函数指数函数32四个偏导数均连续四个偏导数均连续由由C-R方程方程即即解得解得例例6 解解34例例7证证35参照以上例题可进一步证明

5、参照以上例题可进一步证明:36例例8 8证证根据隐函数求导法则根据隐函数求导法则,37根据柯西黎曼方程得根据柯西黎曼方程得38五、小结与思考五、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法求导方法.注意注意:复变函数的导数定义与一元实变函数复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求它们的一些求导公式与求导法则也一样导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限然而复变函数极限存在要求与存在要求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关,这表明它在这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多一点可导的条件比实变函数严格得多.39思考题思考题40思考题答案思考题答案反之不对反之不对.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.41例例2 证证其它例子其它例子4243例例4 证证4445例例5解解46课堂练习课堂练习答案答案47例例8证证48作业作业:习题二习题二 56页页:3(2)4 作业作业:习题二习题二 新书新书50页页:3(2)4