中学数学概念的教学(精品).ppt
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1、中学数学概念的教学中学数学概念的教学中学数学概念的教学中学数学概念的教学一、什么是概念一、什么是概念二、概念的内涵和外延二、概念的内涵和外延三、概念间的关系三、概念间的关系四、概念的定义四、概念的定义五、概念的划分五、概念的划分六、数学概念学习的基本理论六、数学概念学习的基本理论七、数学概念的教学设计七、数学概念的教学设计应注意的问题应注意的问题八、八、数学概念教学的几点体会数学概念教学的几点体会以以“双曲线为双曲线为什么有渐近线什么有渐近线”为例为例一、什么是概念一、什么是概念概念概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式。概念不同于感知
2、,感知是具体的、直接的,概念却是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感知的重要特征。概念是最基本的思维形式,任何一门学科,都是由一系列的概念及其体系组成的。如果把人的思维比作一个有机体,那么概念就是这个有机体的细胞。二、概念的内涵和外延二、概念的内涵和外延1.概念的内涵概念的内涵是概念所反映的对象本质属性的总和(即概念所反映的对象的质的方面);概念的外延概念的外延是概念所反映的对象的全体(即概念所指的对象的范围或集合)。例如,“平行四边形”的内涵包括:是四边形,对边平行,对边相等,对角相等,对角线互相平分等等。“平行四边形”的外延包括:矩形、菱形、正方形以及各种各样的任意的平行四边形。2
3、.概念的内涵与外延之间的反变关系概念的内涵与外延之间的反变关系:要对概念加深认识,还要注意逻辑学中称之为概念的内涵与外延的反变关系,即:概念的内涵扩大时,其所得的新概念的外延缩小;当概念的内涵缩小时,其所得的新概念的外延扩大。反之,也成立。例如,在“矩形”概念的内涵中增加“一组邻边相等”的属性时,就得到外延缩小了的“正方形”的概念;在“矩形”的概念中去掉“有一个角是直角”的属性,就得到外延扩大了的“平行四边形”的概念。利用概念的内涵与外延的反变关系,通过采取扩大概念的内涵同时缩小概念的外延的方法来研究概念间的关系和性质,这种方法在逻辑学中称之为“概念的限制”;通过缩小概念内涵的同时扩大概念外延
4、的方法来认识同类概念的共同性质,这种方法在逻辑学上称之为“概念的概括”。在中学数学的概念教学中,经常使用概念的限制和概括的方法给新概念下定义和复习同类概念的共同性质。三、概念间的关系三、概念间的关系概念间的关系,是指两个概念的外延所对应的集合之间的关系。概念之间的关系可分为四类:同一关系:从属关系交叉关系全异关系。同一关系如果两个概念A和B的外延相等,那么这两个概念之间的关系叫做同一关系同一关系,这两个概念叫做同一概念(图(1)。例如,“等边三角形”和“正三角形”,一个圆的“直径”和该圆中“最大的弦”都是同一概念。具有同一关系的两个概念在推理时可以互相代替。从属关系从属关系如果概念A的外延是概
5、念B的外延的真子集,那么这两个概念之间的关系叫做从属关系从属关系,其中外延较大的概念B叫做属概念,外延较小的概念A叫做种概念(图(2)。例如“有理数”和“实数”具有从属关系,这里,“实数”是属概念,“有理数”是种概念。属概念和种概念是相对的。例如,“矩形”和“平行四边形”具有从属关系,这时,“矩形”是种概念;“正方形”和“矩形”也具有从属关系,而这时“矩形”是属概念。交叉关系交叉关系如果概念A的外延和概念B的外延只有一部分重合,那么这两个概念之间的关系叫做交叉关系交叉关系,这两个概念叫做交叉概念(图(3)。例如,“有理数”和“正实数”是交叉概念,它们外延的交集是“正有理数”的外延。又如,“矩形
6、”和“菱形”是交叉概念,它们外延的交集是“正方形”的外延。全异关系全异关系如果概念A的外延和概念B的外延的交集为空集,那么这两个概念之间的关系叫做全异关系全异关系(或不相容关系),这两个概念叫做全异概念(图(4)。“直角三角形”和“等边三角形”、“自然数”和“负有理数”都是全异概念。在全异关系中,有两种常见的特殊情形:(1)矛盾关系矛盾关系。如果概念A和概念B具有全异关系,且它们外延的并集等于某一属概念C的外延,那么这两个概念间的关系(相对于属概念C而言)叫做矛盾关系矛盾关系,这两个概念叫做矛盾概念(图(5)。例如,“有理数”和“无理数”相对于实数来说具有矛盾关系。又如“等腰三角形”和“不等边
7、三角形”相对于三角形是一对矛盾概念。(2)对立关系对立关系。如果概念A和概念B具有全异关系,且它们外延的并集为某一属概念C的真子集,那么这两个概念间的关系(相对于属概念C而言)叫做对立关系对立关系,这两个概念叫做对立概念(图(6)例如,“正有理数”和“负有理数”相对于有理数来说是具有对立关系的两个概念。又如,“锐角三角形”和“直角三角形”是一对对立概念。四、概念的定义四、概念的定义概念是客观事物在人的头脑中的抽象概括,是看不见摸不着概念是客观事物在人的头脑中的抽象概括,是看不见摸不着的,要用词语表达出来,这就是给概念下定义。而明确概念的,要用词语表达出来,这就是给概念下定义。而明确概念就是要明
8、确概念的内涵和外延。所以,就是要明确概念的内涵和外延。所以,概念定义就是揭示概概念定义就是揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。念的内涵或外延的逻辑方法。揭示概念内涵的定义叫揭示概念内涵的定义叫内涵定内涵定义,义,揭示概念外延的定义叫做揭示概念外延的定义叫做外延定义外延定义。在中学里,大多数。在中学里,大多数概念的定义是内涵定义。概念的定义是内涵定义。1.定义定义定义定义是建立概念的逻辑方法,下定义的模式通常有两种:下定义的模式通常有两种:一种是通过揭示概念的内涵来给出定义;另一种是通过揭示概念的外延来给出定义。例例1两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。例例2函数叫做指数函数。一切定义都由被定义
9、项、定义项和定义联项三部分组成。被定义项被定义项是需要加以明确的概念。定义项定义项是用来明确定义项的概念。定义联项定义联项是用来联结被定义项和定义项的词语。常用的定义联项有“叫做”、“就是”、“是”、“称为”等等。2.定义的方式定义的方式(1)属加种差定义属加种差定义。属加种差定义是数学概念的最常用的一种定义方式。用属加种差下定义,要做好两方面的工作:一是找出被定义概念的临近的属概念;二是确定种差,即找出被定义概念与同一属概念中其它种概念之间的差别。属加种差定义属加种差定义可以用下列公式表示:属+种差=被定义项例如,平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形种差属被定义项(2)发
10、生定义。发生定义。发生定义发生定义是把只属于被定义概念,只属于被定义概念,而不属于其他任何事物的发生或形成的属性作种差的定义属性作种差的定义。例如,椭椭圆的定义:平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。(3)关系定义。关系定义是以事物间的关系作为种差的定义,关系定义是以事物间的关系作为种差的定义,它指出这种关系是被定义事物所具有而其他事物不具有的特有属性。例如,偶数的定义:能被2整除的整数叫做偶数。(4)外延定义。外延定义外延定义。外延定义是通过列举概念的全部对象来下的定义。例如,有理数的定义:正整数、负整数、正分数、负分数和零统称有理数。(5)约定式定义约定式定义。约定
11、式定义约定式定义是依据数学上的某种特殊需要,通过约定的方式来下的定义。例如,“零指数”的概念规定为:。(6)递归定义递归定义。略。3.定义的规则定义的规则规则1定义必须是相称的,即定义项和被定义项必须是同一概念。规则2定义不应当是循环的,即给概念下定义时,不能用被定义项来说明自己。规则3定义应当清楚确切。即定义要简明扼要,所列定义项必须是确切的概念,不能用譬喻或其它含糊的说法来表达定义。4.原始概念原始概念按定义的按定义的规则3基本要求,给某概念下定义时,定义项选基本要求,给某概念下定义时,定义项选用的必须是在此之前已明确定义过的概念,否则概念就会模用的必须是在此之前已明确定义过的概念,否则概
12、念就会模糊不清。这样顺次上溯,终必出现不能用前面已被定义过的糊不清。这样顺次上溯,终必出现不能用前面已被定义过的概念来下定义的概念,这样的概念称为原始概念。在中学数概念来下定义的概念,这样的概念称为原始概念。在中学数学中,对原始概念的解释并非是下定义,这是要明确的。学中,对原始概念的解释并非是下定义,这是要明确的。五、概念的划分五、概念的划分1.划分划分划分划分是揭示概念外延的逻辑方法。也就是通过把一个属概念分为若干个种概念来明确概念的逻辑方法。任何划分都包含划分的母项、划分的子项和划分的根据三个要素。2.划分的规则划分的规则规则1划分应当是相称的。即划分后各个子项外延的总和(并集),应当与母
13、项的外延相等。规则2划分后各个子项应当互不相容。即划分后不能有一些事物既属于这个子项,又属于另一个子项。规则3划分应按同一标准进行。即每次划分不能使用几个不同的划分根据。六、概念学习的基本理论六、概念学习的基本理论奥苏贝尔的概念学习理论奥苏贝尔的概念学习理论以色列著名数学教育家斯法德的代数思维以色列著名数学教育家斯法德的代数思维的基本形式(对象的基本形式(对象过程理论)过程理论)美国的杜宾斯基等人美国的杜宾斯基等人的APOS理论模型理论模型奥苏贝尔有概念学习理论简介奥苏贝尔有概念学习理论简介奥苏贝尔奥苏贝尔(D(DP PAusubelAusubel)是是意义学习论的创始人。他认为,从接受式-发
14、现式和意义性-机械性两个维度上划分,可以把学习分为4种,但在学校情境中,学生学习的书本知识绝大多数是有意义的接受学习。他指出,有意义学习过程的实质,就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的(nonarbitrary)和实质性的(substantive)联系。所谓非人为的联系,是指新知识与认知结构中有关观念在某种合理的或逻辑基础上的联系。所谓实质性联系,是指新的符号或符号代表的观念与学习者认知结构中已有的表象、已经有意义的符号、概念或命题的联系。有意义学习的条件有内外两条:外部条件是指学习材料本身必须具有逻辑意义,即能与人类学习能力范围内的有关观念建立非人为的和实质性的
15、联系;内部条件则包括两个方面:一是学习者必须具有意义学习的心向,二是学习者认知结构中必须具有适当的能力与新知识进行联系的知识。他强调影响学生学习的首要因素是已有的知识。他在教育心理学:认知取向一书的扉页上写出这样一句代表他的核心思想的话:“如果要我只用一句话说明教育心理学的要义,我认为影响学生学习的首要因素,是他的先备知识;研究并了解学生学习新知识之前具有的先备知识,进而配合设计教学,以产生有效的学习,就是教育心理学的任务。”(Ausubel,1968)。奥苏贝尔奥苏贝尔教育心理学中最重要的观念之一教育心理学中最重要的观念之一,是他对意义学,是他对意义学习(习(meaningful learn
16、ingmeaningful learning)的描述。在他看来,学生的学)的描述。在他看来,学生的学习,如果要有价值的话,应该尽可能地有意义。为此,习,如果要有价值的话,应该尽可能地有意义。为此,他他仔细区分了接受学习与发现学习、机械学习与意义学习之仔细区分了接受学习与发现学习、机械学习与意义学习之间的关系,间的关系,具体如下:具体如下:接受学习与发现学习之间的区别并不难理解。在接受学习与发现学习之间的区别并不难理解。在接受学习接受学习中,中,学习的主要内容基本上是以定论的形式传授给学生的。学习的主要内容基本上是以定论的形式传授给学生的。对学生来讲,学习不包括任何发现,只要求他们把教学内对学生
17、来讲,学习不包括任何发现,只要求他们把教学内容加以内化容加以内化(即把它结合进自己的认知结构之内即把它结合进自己的认知结构之内),以便将,以便将来能够再现或派作他用。来能够再现或派作他用。发现学习的基本特征是发现学习的基本特征是,学习的,学习的主要内容不是现成地给予学生的,而是在学生内化之前,主要内容不是现成地给予学生的,而是在学生内化之前,必须由他们自己去发现这些内容。换言之,学习的首要任必须由他们自己去发现这些内容。换言之,学习的首要任务是发现,然后便同接受学习一样,把发现的内容加以内务是发现,然后便同接受学习一样,把发现的内容加以内化,以便以后在一定的场合下予以运用。所以,发现学习化,以
18、便以后在一定的场合下予以运用。所以,发现学习只是比接受学习多了前面一个阶段只是比接受学习多了前面一个阶段发现,其他没有什发现,其他没有什么不同。么不同。意义学习和机械学习。奥苏贝尔根据知识学习过程的不同性质,将学习分为意义学习和机械学习。意义学习是指语言文字或符号所表述的新知识能够与学习者认知结构中已有的有关旧知识建立一种实质的和非人为的联系。以下两个先决条件是划分意义学习和机械学习的标准:“(1)学习者表现出一种意义学习(meaningful learning)的心向,即表现出一种把新学的材料同他已了解的知识建立非任意的、实质性联系的意向。(2)学习任务对于学习者具有潜在意义,即学习的任务能
19、够在非任意的和非逐字逐句的基础上同学习者知识结构联系起来。”明确了意义学习的先决条件,就不难对意义学习和机械学习做出明确地区分。拿无意义音节的学习来说,由于学习者头脑中没有与之对应的有关观念,无意义音节不能与学习者认知结构中的适当观念建立实质性的联系,因此,在学习中只能逐字逐句地背诵它,所以,它只能建立一种逐字逐句的联系,因而是机械的学习。有时人们为了便于记亿,往往把无意义的材料赋予某种意义,但这种意义的赋予不符合逻辑意义,而且是因人而异的。这种联系是一种人为的或任意的联系,因而也属于机械学习。当然意义学习和机械学习的划分也不是绝对的。奥苏贝尔认为,“这两种学习仅是处在一个连续体的两个极端”。
20、“概念、命题和原理的学习是意义学习,而符号学习便具有某种机械学习的逐字逐句的性质”。有时机械学习和意义学习也会同时发生,例如,学生通过背诵来学习一首古诗或学习乘法口诀就是这种情况。奥苏贝尔把意义学习分为以下四种类型奥苏贝尔把意义学习分为以下四种类型:1.1.表征学习表征学习(representational learning)(representational learning)对儿童来说,最主要的理智任务之一,是要学习各种符号的意义。儿童最初学到的符对儿童来说,最主要的理智任务之一,是要学习各种符号的意义。儿童最初学到的符号,是家长对他们所讲的词汇。我们的任务是要了解,儿童开始时是怎样赋予这
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