第4章连续系统复频域分析.ppt
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1、第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 4.2 单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质 4.3 单边拉普拉斯逆变换单边拉普拉斯逆变换 4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析 4.5 系统微分方程的复频域解系统微分方程的复频域解 4.6 RLC系统的复频域分析系统的复频域分析 4.7 连续系统的表示和模拟连续系统的表示和模拟 4.8 系统函数与系统特性系统函数与系统特性 第4章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 一个信号f(t)若满足绝对可
2、积条件,则其傅里叶变换一定存在。例如,e-t(t)(0)就是这种信号。若f(t)不满足绝对可积条件,则其傅里叶变换不一定存在。例如,信号(t)在引入冲激函数后其傅里叶变换存在,而信号et(t)(0)的傅里叶变换不存在。若给信号et(t)乘以信号e-t(),得到信号e-(-)t(t)。信号e-(-)t(t)满足绝对可积条件,因此其傅里叶变换存在。第4章 连续系统的复频域分析 设有信号f(t)e-t(为实数),并且能选择适当的使f(t)e-t绝对可积,则该信号的傅里叶变换存在。若用F(+j)表示该信号的傅里叶变换,根据傅里叶变换的定义,则有 根据傅里叶逆变换的定义,则 第4章 连续系统的复频域分析
3、 上式两边乘以et,得 第4章 连续系统的复频域分析 4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域双边拉普拉斯变换的收敛域 任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定存在。由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号f(t)e-t的傅里叶变换,因此,若f(t)e-t绝对可积,即 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.1-1 求时限信号f1(t)=(t)-(t-)的双边拉氏变换及其收敛域。式中,0。第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.1-2 求因果信号f2(t)=e-t(t)(0)的双边拉氏变换及其收敛域。解解 设f2(t)的双边拉氏变换为F2(s),则 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.1-3 求反
4、因果信号f3(t)=-e-t(-t)(0)的双边拉氏变换及其收敛域。第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域(a)F2(s)的收敛域;(b)F3(s)的收敛域;(c)F4(s)的收敛域 第4章 连续系统的复频域分析 双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂,并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应,这就使其应用受到限制。实际中的信号都是有起始时刻的(tt0时f(t)=0),若起始时刻t0=0,则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0”,该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单,计算方便,线性连续系统的复频域分析
5、主要使用单边拉普拉斯变换。第4章 连续系统的复频域分析 4.1.3 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 信号f(t)的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换(或反变换)分别为 第4章 连续系统的复频域分析 与双边拉普拉斯变换存在的条件类似,若f(t)满足 则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在的S复平面上s的取值区域称为F(s)的收敛域。因为f(t)的单边拉普拉斯变换等于f(t)(t)的双边拉普拉斯变换,所以,单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同,即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于j轴的一条直线的右边区域,可表示为 第4章 连续系统的复频域分析 4.1.
6、4 常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 4.2 单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质 1.线性线性 第4章 连续系统的复频域分析 2.时移性时移性 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 3.复频移复频移 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-3 f1(t)=cos(0t)(t),f2(t)=sin(0t)(t),求f1(t)和f2(t)的象函数。第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-4 第4章 连续系统的复频域分析
7、4.尺度变换尺度变换 若则式中,为常数,证证第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-5 已知 求f1(t)的象函数。解解 因为 第4章 连续系统的复频域分析 5.时域卷积时域卷积 第4章 连续系统的复频域分析 证证 根据信号卷积的定义,并且f1(t)和f2(t)是因果信号,则 第4章 连续系统的复频域分析 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-6 已知图 4.2-1(a)所示信号f(t)与图(b)所示信号f(t)的关系为f(t)=f(t)*f(t),求f(t)的单边拉氏变换。图 4.2-1 例 4.2-6 图(a)f(t)的波形;(b)f(t)的波形 第4章 连续系统的复频域分析 第
8、4章 连续系统的复频域分析 6.时域微分时域微分 式中,f(1)(t)、f(2)(t)、f(n)(t)分别表示f(t)的一次、二次、n次导数,f(0-)、f(1)(0-)、f(i)(0-)分别表示f(t)、f(1)(t)、f(i)(t)在t=0-时的值。第4章 连续系统的复频域分析 证证 先证明式(4.2-9)和式(4.2-10)。根据单边拉普拉斯变换的定义,则有 第4章 连续系统的复频域分析 反复应用式(4.2-9),就可得到f(n)(t)的单边拉普拉斯变换如式(4.2-11)所示。f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域至少是Res0。若F(s)在s=0处有一阶极点,则sF(s)中的这种极
9、点被消去,f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域可能扩大。f(n)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域也有类似情况。若f(t)为因果信号,则f(n)(0-)=0(n=1,2,),此时,时域微分性质表示为 n=1,2,;Res0 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-7 求f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换。解解(1)求f1(t)的单边拉氏变换。由于 故根据线性得 若应用时域微分性质求解,则有 第4章 连续系统的复频域分析 (2)求f2(t)的单边拉氏变换。由于 因此得 第4章 连续系统的复频域分析 7.时域积分时域积分 若f(t)F(s),Res0,则有:若f(-n)(t)表示从-到t对
10、f(t)的n重积分,则有(4.2-12)(4.2-13)第4章 连续系统的复频域分析 证明式(4.2-12):因为 根据时域卷积性质,则 因为第4章 连续系统的复频域分析 证明式(4.2-13):因为 单边拉普拉斯变换为根据线性得第4章 连续系统的复频域分析 若f(t)是因果信号,f(n)(t)是f(t)的n次导数,则f(t)等于f(n)(t)从0-到t的n重积分。若f(n)(t)的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示,根据时域积分性质式(4.2-12),则f(t)的单边拉氏变换为 若f(t)为非因果信号,则Lf(t)=Lf(t)(t)。因此,若f(t)(t)的n次导数 的单边拉普拉斯变换用Fn(
11、s)表示,则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)也可由式(4.2-17)得到。第4章 连续系统的复频域分析 非因果信号f(t)的单边拉普拉斯变换也可根据式(4.2-13)求解。若f(t)在t=-的值f(-)=0,f(1)(t)是f(t)的一阶导数,则 t-若f(1)(t)的单边拉普拉斯变换用F1(s)表示,则f(t)的单边拉普拉斯变换为 若f(-)0,则 t-第4章 连续系统的复频域分析 对于t0-,有 则f(t)的单边拉普拉斯变换为 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-8 求图 4.2-2(a)所示因果信号f(t)的单边拉氏变换。解解 f(t)的二阶导数为 由于(t)1,由时移和线性性
12、质得 由时域积分性质 第4章 连续系统的复频域分析 图 4.2-2 例 4.2-8 图(a)f(t)的波形;(b)f(t)的波形;(c)f(t)的波形 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-9 求图 4.2-3(a)所示信号f(t)的单边拉普拉斯变换。解解 方法一方法一 由于由于 根据单边拉氏变换的定义,得 第4章 连续系统的复频域分析 图 4.2-3 例 4.2-9 图 第4章 连续系统的复频域分析 方法二方法二 f(0-)=-1,f(t)的一阶导数为 f(1)(t)的单边拉氏变换为 Res-Res0 第4章 连续系统的复频域分析 8.复频域微分复频域微分 若f(t)F(s),Res0
13、,则有 Res0 n=1,2,;Res0 证证 根据单边拉普拉斯变换的定义 Res0 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-10 求f(t)=tn(t)的单边拉氏变换。解解 由于 Res0,根据式(4.2-21),得 Res0于是得 Res0由于t2(t)=(-t)(-t)(t),Res0 重复应用以上方法可以得到 Res0 第4章 连续系统的复频域分析 9.复频域积分复频域积分 若f(t)F(s),Res0,则有 式中,存在,的单边拉普拉斯变换的收敛域为Res0和Res0的公共部分。第4章 连续系统的复频域分析 证证 根据单边拉普拉斯变换的定义 Res0 对上式两边从s到积分,并交换积
14、分次序得 因为t0,所以上式方括号中的积分 在Res0时收敛。因此得 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-11 求f(t)的单边拉氏变换。解解 由于 根据复频域积分性质,得 第4章 连续系统的复频域分析 10.初值和终值定理初值和终值定理(1)初值定理若信号f(t)不包含冲激函数(t)及其各阶导数,并且 Res0 则信号f(t)的初值为 第4章 连续系统的复频域分析(2)终值定理若f(t)在t时极限f()存在,并且f(t)F(s)Res0;-00则f(t)的终值为 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.2-12 解解 由于cos t(t),根据复频移性质,则有 由初值定理得由终值定理
15、得第4章 连续系统的复频域分析 表表 4.1 单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质 第4章 连续系统的复频域分析 表表 4.2 常用信号的单边拉普拉斯变换常用信号的单边拉普拉斯变换 第4章 连续系统的复频域分析 4.3 单边拉普拉斯逆变换单边拉普拉斯逆变换 4.3.1 查表法查表法 例例4.3-1 已知 ,求F(s)的原函数f(t)。解解 F(s)可以表示为 第4章 连续系统的复频域分析 由附录F查得编号为15的象函数与本例中F(s)的形式相同。编号15的变换对为 与本例中F(s)的表示式对比,则b1=1,b0=1,=2,代入变换对得 第4章 连续系统的复频域分析 4.3.2 部分分式
16、展开法部分分式展开法 若F(s)为s的有理分式,则可表示为 式中,ai(i=0,1,2,n-1)、bi(i=0,1,2,m)均为实数。若mn,则 为假分式。若mn,则 为真分式。第4章 连续系统的复频域分析 式中,ci(i=0,1,2,n-1)为实数。N(s)为有理多项式,其逆变换为冲激函数及其一阶到m-n阶导数之和。为有理真分式,可展开为部分分式后求逆变换。例如,若F(s)为假分式,可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和,即 第4章 连续系统的复频域分析 则 第4章 连续系统的复频域分析 若 为有理真分式,可直接展开为部分分式后求逆变换。要把F(s)展开为部分分式,必须先求
17、出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项式,所以A(s)=0有n个根si(i=1,2,n)。si可能为单根,也可能为重根;可能为实根,也可能为复根。si又称为F(s)的极极点点。F(s)展开为部分分式的具体形式取决于si的上述性质。第4章 连续系统的复频域分析 1.F(s)仅有单极点仅有单极点 若A(s)=0仅有n个单根si(i=1,2,n),则根据附录A中式(A-2),无论si是实根还是复根,都可将F(s)展开为 式中,各部分分式项的系数Ki为 第4章 连续系统的复频域分析 故F(s)的单边拉普拉斯逆变换可表示为 由于 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-2 已知已知 ,求F(
18、s)的单边拉氏逆变换(原函数)f(t)。解解 F(s)的分母多项式A(s)=0的两个根分别为s1=-2,s2=-3。因此,F(s)的部分分式展开式为 第4章 连续系统的复频域分析 所以 于是得 第4章 连续系统的复频域分析 2.F(s)有重极点有重极点 若A(s)=0在s=s1处有r重根,而其余(n-r)个根sj(j=r+1,,n),这些根的值是实数或复数,则由附录A中式(A-8)和(A-11)可得 式中:第4章 连续系统的复频域分析 先求F1(s)的逆变换,因为 由复频移性质,可得 F(s)的单边拉普拉斯逆变换为 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-3 已知求 F(s)的单边拉氏逆变
19、换。解解 F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3。因此,F(s)可展开为 第4章 连续系统的复频域分析 于是得 第4章 连续系统的复频域分析 3.F(s)有复极点有复极点 如果A(s)=0的复根为s1,2=-j,则F(s)可展开为 式中,K2=K*1。令K1=|K1|ej,则有 第4章 连续系统的复频域分析 由复频移和线性性质得F(s)的原函数为 对于F(s)的一对共轭复极点s1=-+j和s2=-j,只需要计算出系数K1=|K1|ej(与s1对应),然后把|K1|、代入式(4.3-8),就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。第4章 连续系统的复频域分析 如果F(s)有复重极点,那
20、么相应的部分分式也呈现与复单极点类似的特点。以A(s)=0的根为二重共轭复根s1,2=-j为例,其F(s)可展开为 第4章 连续系统的复频域分析 式中:根据复频移和线性性质,求得F(s)的原函数为 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-4 已知 求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。解解 F(s)可以表示为 F(s)有一对共轭单极点s1,2=-2j2,可展开为 第4章 连续系统的复频域分析 于是得 于是得 第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-5 已知 ,求F(s)的单边拉氏逆变换。解解 F(s)不是有理分式,但F(s)可以表示为 式中,F1(s)由线性和常用变换对得到由时移性质得第
21、4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-6 已知单边拉氏变换 求F(s)的原函数f(t)。解解 F(s)为有理分式,可用部分分式法求f(t)。但F(s)又可表示为 因为,根据复频域微分性质,则F(s)的原函数为第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-7 已知 求F(s)的单边拉氏逆变换。解解 F(s)不是有理分式,不能展开为部分分式。F(s)可以表示为 对于从t=0-起始的周期性冲激序列 其单边拉氏变换为 第4章 连续系统的复频域分析 由于因此,根据时域卷积性质得于是得第4章 连续系统的复频域分析 例4.3-7 中f(t)与F(s)的对应关系可以推广应用到一般从t=0-起始的周期信号。设
22、f(t)为从t=0-起始的周期信号,周期为T,f1(t)为f(t)的第一周期内的信号。f(t)和f1(t)如图4.3-1(a)、(b)所示。f(t)可以表示为 令f1(t)F1(s),f(t)F(s),则有 Res0 第4章 连续系统的复频域分析 图 4.3-1 因果周期信号 第4章 连续系统的复频域分析*4.3.3 反演积分法反演积分法 单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求逆变换,这种方法称反演积分法反演积分法。单边拉普拉斯逆变换的定义为 第4章 连续系统的复频域分析 留数定理的内容为:若复变函数G(s)在闭合曲线L上及其内部,除内部的有限个孤立奇点外处处解析,则G(s)沿
23、闭合曲线L的积分等于2j乘以G(s)在这些奇点(si)的留数之和,即 第4章 连续系统的复频域分析 图 4.3-2 拉普拉斯逆变换的积分路径 第4章 连续系统的复频域分析 若给积分路径AB补充一半圆C,如图 4.3-2 所示,则构成一闭合路径L(ACBA)。若令G(s)=F(s)est,且G(s)的奇点全部是极点,根据留数定理,则有 第4章 连续系统的复频域分析 根据留数定理和约当引理,则F(s)的单边拉普拉斯逆变换为 t0 t0 根据复变函数理论,若F(s)为有理真分式,并且F(s)est的极点s=si为一阶极点,则该极点的留数为 若F(s)est的极点s=si为r重极点,则该极点的留数为(
24、4.3-15)第4章 连续系统的复频域分析 例例 4.3-8 已知 Res-2。求F(s)的单边拉氏逆变换。解解 选a-2,则F(s)est在a左侧的极点分别为一阶极点s1=-3和二重极点s2=-2。第4章 连续系统的复频域分析 于是,根据式(4.3-15),得 t0 t0 第4章 连续系统的复频域分析 4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析 4.4.1 连续信号的复频域分解连续信号的复频域分解 根据单边拉普拉斯逆变换的定义,若信号f(t)的单边拉普拉斯变换为F(s),则信号f(t)可以表示为 第4章 连续系统的复频域分析 4.4.2 基本信号基本信号est激励下的零状态响应激励下的
25、零状态响应 若线性时不变连续系统(LTI)的输入为f(t),零状态响应为yf(t),冲激响应为h(t),由连续系统的时域分析可知:若系统的输入为基本信号,即f(t)=est,则若h(t)为因果函数,则有第4章 连续系统的复频域分析 式中:即,H(s)是冲激响应h(t)的单边拉普拉斯变换,称为线性边续系统的系统函数系统函数,est称为系统的特征函数特征函数。第4章 连续系统的复频域分析 4.4.3 一般信号一般信号f(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应 对于-j到+j区间上的任一s,信号est产生的零状态响应为H(s)est。est与其响应的对应关系表示为 根据线性系统的齐次性,对于-j到
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