4_2方阵的相似对角化与4-3正交矩阵 2.ppt

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1、线性代数下页结束返回第第2 2节节 相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵与矩阵的对角化 一、相似矩阵及其性质一、相似矩阵及其性质 二、二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件 下页线性代数下页结束返回2.1 2.1 相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质 定义定义2 设设A，B为为n阶矩阵阶矩阵，如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P，使得使得 P-1AP B成立成立，则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似，记为记为AB.例如例如，5-1 3 1A=0-2 4 0B=，1-5 1 1P=，因为因为 1-5 1 1-1 1-5-116=-P-1AP 5-1 3 1 1-5 1 1 2-2-20-4

2、16=-0 12-24 0=-16 0-2 4 0=，所以所以AB.相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性自反性：A A 对称性对称性：若若AB，则则BA 传递性传递性：若若AB，BC，则则 AC下页线性代数下页结束返回 定理定理1 如果矩阵如果矩阵A与与B相似相似，则它们有相同的特征多项则它们有相同的特征多项式式，从而有相同的特征值从而有相同的特征值.证明证明：因为因为P-1AP B，A与与B有相同的特征多项式有相同的特征多项式，|l lE-B|P-1(l lE)P-P-1AP|l lE-P-1AP|P-1(l lE-A)P|P-1|l lE-A|P

3、|l lE-A|，所以它们有相同的特征值所以它们有相同的特征值.下页 定义定义2 设设A，B为为n阶矩阵阶矩阵，如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P，使得使得 P-1AP B成立成立，则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似，记为记为AB.线性代数下页结束返回 相似矩阵还具有下述性质：相似矩阵还具有下述性质：AB P-1AP B (1)相似矩阵有相似矩阵有相同的秩相同的秩；r(A)=r(B)(2)相似矩阵有相似矩阵有相同的特征值相同的特征值；|E A|=|E B|(3)相似矩阵的相似矩阵的行列式相等行列式相等；|A|=|B|(4)相似矩阵的相似矩阵的迹相等迹相等；tr(A)=tr(B)(5)相似矩阵或相

4、似矩阵或都可逆或都不可逆都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们当它们可逆时，它们的的逆矩阵也相似逆矩阵也相似.下页 定理定理1 如果矩阵如果矩阵A与与B相似相似，则它们有相同的特征多项则它们有相同的特征多项式式，从而有相同的特征值从而有相同的特征值.(P-1AP)-1 B-1即：即：P-1A-1P B-1线性代数下页结束返回解解：由于由于A和和B相似，所以相似，所以tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即即 解解：由于矩阵由于矩阵A和和D相似相似，所以所以|A|=|D|,即即|A|=|D|12.下页 例例1.若矩阵若矩阵相似，求相似，求x，y.解得解得例例2.设设3阶方阵阶方阵A相似于相似于,

5、求求|A|.线性代数下页结束返回 定理定理2 n阶矩阵阶矩阵A与与n阶对角矩阵阶对角矩阵 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似的充分必要条件为相似的充分必要条件为矩阵矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.必要性必要性.设存在可逆矩阵设存在可逆矩阵P(x x1,x x2,x xn)使使 P-1APLL，即：，即：AP PL L则有则有可得可得 Ax xi l lix xi (i 1,2,n).因为因为P可逆可逆，所以所以x x1,x x2,x xn 都是非零向量都是非零向量，因而都是因而都是A的特征向量的特征向量，并且这并且这n个特征向量个特征向量线性无关线性

6、无关.l l1 10 00l l2 2 000 l ln A(x x1,x x2,x xn)(x x1,x x2,x xn)，证明证明：=(l l1 1 x x1,l l2 2 x x2,l lnx xn)2.22.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页(Ax x1,Ax x2,Ax xn)线性代数下页结束返回 充分性充分性.设设x x1，x x2，x xn为为A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，它们所对应的特征值依次为它们所对应的特征值依次为l l1，l l2，l ln，则有则有 Ax xi l lix xi (i=1,2,n).令令 P(x x1,x

7、x2,x xn)，则则(l l1x x1,l l2x x2,l ln x xn)A(x x1,x x2,x xn)(Ax x1,Ax x2,Ax xn)AP (x x1,x x2,x xn)l l1 10 00l l2 2 000 l ln PL L.因为因为x x1,x x2,x xn线性无关线性无关,所以所以P可逆可逆.用用P-1左乘上式两端得左乘上式两端得 P-1APLL，即矩阵即矩阵A与对角矩阵与对角矩阵L L相似相似.下页注意：矩阵注意：矩阵P的构造！的构造！线性代数下页结束返回 例如，矩阵例如，矩阵A 有两个不同的特征值有两个不同的特征值l l1 4，l l2-2,5-1-1 3

8、1 其对应特征向量分别为其对应特征向量分别为x x1 ，x x2 .1 1-5 1 取取P(x x1,x x2)，则则 1-5-5 1 1所以所以A与与对角矩阵相似对角矩阵相似.P-1AP-1 1-5-116-5-1 3 1 1-5 1 1 0-2 4 0，问题问题：若取若取P(x x2,x x1)，问问LL？下页线性代数下页结束返回 推论推论 若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个相异的特征值个相异的特征值l l1，l l2，l ln，则则A与对角矩阵与对角矩阵 LLdiag(l l1 1,l l2 2,l ln)相似相似.注意：注意：A有有n个相异特征值只是个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件

9、可化为对角矩阵的充分条件,而不是必要条件而不是必要条件.且有且有Ax x1-2x x1，Ax x2 x x2，Ax x3 x x3，向量组是向量组是A的线性无关的的线性无关的特征向量特征向量.所以当所以当P(x x1,x x2,x x3)时，有时，有 例如例如，A ，x x1 ，x x2 ，x x3 ，4-3-3 6-6-5 0 1 0-1 1 1-2 0 1 0 1 0 P-1AP diag(-2-2,1,1).下页线性代数下页结束返回A 1 6 3 -3 -6 -5 3 4 3(1)解解：(1)矩阵矩阵A的特征方程为的特征方程为l l-1-6-3 3 6l l+5+5 -3l l-4-3|

10、l lE-A|矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 l l2-2,l l3 4，对于特征值对于特征值l l3 4，解线性解线性方程组方程组(4 4E-A)X o，得其基础解系得其基础解系x x3=.112 对于特征值对于特征值l l1 l l2-2,解线解线性方程组性方程组(-2E-A)X o，1 110-101得其基础解系得其基础解系x x1=,x x2=.(l l+2+2)2(l l-4)-4)0，(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0下页 例例3.3.判断下列矩阵是否相判断下列矩阵是否相似于对角阵似于对角阵,若相似若相似,求可逆矩求可逆矩阵阵P，使使P-1 A P L L.线性

11、代数下页结束返回 由于由于A有有3个线性无关的特个线性无关的特征向量征向量x x1，x x2，x x3，所以所以A相似相似于对角阵于对角阵L L.所求的相似变换矩阵为所求的相似变换矩阵为 P=(x x1，x x2，x x3),1 0 1 -1-1 1 1 0 0 1 2 1对角阵为对角阵为L L ,-2 0 0 0 0 0 0 -2 0 4 0满足满足 P-1 A P L L.下页A 1 6 3 -3 -6 -5 3 4 3(1)(2)-1 1-4B 1 0 3 0 2 0 例例3.3.判断下列矩阵是否相判断下列矩阵是否相似于对角阵似于对角阵,若相似若相似,求可逆矩求可逆矩阵阵P，使使P-1

12、A P L L.线性代数下页结束返回l l+1-1 4 4-1 0l l-3-3 0 0l l-2 0 0|l lE-B|(l l-2)(l l-1)2 0，矩阵矩阵B的特征值为的特征值为 l l1 l l211,l l3 2.对于特征值对于特征值l l1 l l211,解线性解线性方程组方程组(E-B)X o，得其基础解系得其基础解系x x1=，12-1 对于特征值对于特征值l l3 2，解线性方解线性方程组程组(2 2E-B)X o，得其基础解系得其基础解系x x2=.001显然显然,B不能相似于对角阵不能相似于对角阵.下页A 1 6 3 -3 -6 -5 3 4 3(1)(2)-1 1-

13、4B 1 0 3 0 2 0 解解：(2)矩阵矩阵B的特征方程为的特征方程为 例例3.3.判断下列矩阵是否相判断下列矩阵是否相似于对角阵似于对角阵,若相似若相似,求可逆矩求可逆矩阵阵P，使使P-1 A P L L.线性代数下页结束返回 解解：由由A和和B相似可知相似可知，它它们的迹、行列式都相等，即们的迹、行列式都相等，即 l l1 l l222,l l3 6.对于特征值对于特征值l l1 l l2 2,解线性解线性方程组方程组(2E-A)X o，-1-110101得其基础解系得其基础解系x x1=,x x2=.对于特征值对于特征值l l3 6，解线性方解线性方程组程组(6 6E-A)X o，

14、得其基础解系得其基础解系x x3=，1-23由于由于A和和B相似相似，且且B是一个是一个所以所以下页例例4.4.设矩阵设矩阵A,B相似，其中相似，其中求求x,y的值；的值；求可逆矩阵求可逆矩阵P，使，使P-1AP=B.解得解得对角阵，可得对角阵，可得A的特征值为的特征值为线性代数下页结束返回 解解：由所给条件知矩阵由所给条件知矩阵A的特征值为的特征值为l l1 1,l l2 0,l l3 -1,a a1,a a2,a a3是是A对应于上述特征值对应于上述特征值的特征向量的特征向量.易知易知a a1,a a2,a a3 是是3阶方阵阶方阵A的的3个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，所以所

15、以A相似于对角阵相似于对角阵 L Ldiag(1,0,-1).取取P(a a1,a a2,a a3)，则有则有P-1 A P L L，所以所以 A=P L L P-1 A A 5=PL L5P-1 =PL L P-1 =A.下页 例例5.5.设设3阶方阵阶方阵A满足满足Aa a1 1 a a1 1，Aa a2 2 o o，Aa a3 3-a a3 3，其中，其中a a1 1(1,2,2)T,a a2 2(0,-1,1)T,a a3 3(0,0,1)T,求求A和和A5.线性代数下页结束返回 作业：作业：P122页页 6下页线性代数下页结束返回推导推导l1000l2000ln(x x1,x x2,

16、x xn)=(l l1 1 x x1,l l2 2 x x2,l lnx xn)l1000l2000ln返回线性代数下页结束返回一、向量的正交（一、向量的正交（复习复习）二、二、向量组的正交化标准化向量组的正交化标准化下页第第3 3节节 正交矩阵正交矩阵 三、三、正交矩阵正交矩阵线性代数下页结束返回正交向量组正交向量组(复习复习)下页 定义定义 设向量设向量a a，b b都为都为n维为维为向量，若向量，若(a a,b b)0，则称向量，则称向量a a与与b b互相互相正交正交(垂直垂直).定义定义 如果如果 m 个非零向量组个非零向量组 a a1，a a2，a am 两两正交，两两正交，即即(

17、a ai,a aj)0(i j),则称该向量组为则称该向量组为正交向量组正交向量组.如果正交向量如果正交向量组组a a1，a a2，a am的每一个向量都是单位向量的每一个向量都是单位向量,则称该向量组则称该向量组为为标准正交向量组标准正交向量组.线性代数下页结束返回 证明证明:(反证反证)设设a a1，a a2，a am线性相关，则其中至少有一向量可由其余线性相关，则其中至少有一向量可由其余向量线性表示，不妨设向量线性表示，不妨设a a1可由可由a a2，a am线性表示，即有一组数线性表示，即有一组数k2，km，使，使 a a1k2a a2+kma am，于是，于是 (a a1,a a1)

18、=(a a1,k2a a2+kma am)=(a a1,k2a a2)+(a a1,kma am)=k2(a a1,a a2)+km (a a1,a am)=0,这与这与(a a1,a a1)0矛盾，所以矛盾，所以a a1，a a2，a am线性无关线性无关.定理定理1 正交向量组是线性无关的向量组正交向量组是线性无关的向量组.下页3.1 3.1 向量组的正交化标准化向量组的正交化标准化线性代数下页结束返回 定理定理2 对于线性无关的向量组对于线性无关的向量组a a1,a a2,a am，令，令则向量组则向量组b b1,b b2,b bm是是正交向量组正交向量组.下页施密特正交化方法施密特正交

19、化方法线性代数下页结束返回 例例3已已知知向向量量组组a a1(1,1,1,1)T,a a2(3,3,-1,-1)T,a a3(-2,0,6,8)T,线性无关，试将它们正交化、标准化线性无关，试将它们正交化、标准化.解解:(1)(1)先先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令b1=a1=(1,1,1,1)T=(3,3,-1,-1)T=(2,2,-2,-2)T=(-1,1,-1,1)T(1,1,1,1)T此时此时 b b1,b b2,b b3 为正交组为正交组.下页线性代数下页结束返回(2)(2)再将再将正交化后的向量组标准化，即令正交化后的向量组标准化

20、，即令此时此时 1,2,3 即为所求标准正交组即为所求标准正交组.说明：说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.下页线性代数下页结束返回例如，单位矩阵例如，单位矩阵E为正交矩阵为正交矩阵.定义定义6 如果如果n阶实矩阵阶实矩阵A满足满足 ATA E 或或 AATE，则称则称A为为正交矩阵正交矩阵.下页3.2 3.2 正交矩阵正交矩阵再如，矩阵再如，矩阵也为正交矩阵也为正交矩阵.正交矩阵的概念正交矩阵的概念线性代数下页结束返回 1A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A-1 A AT；2.正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；正交矩阵的逆矩阵是正交矩

21、阵；3.两个正交矩阵的乘积是正交矩阵；两个正交矩阵的乘积是正交矩阵；4.正交矩阵是满秩的且正交矩阵是满秩的且|A|=1或或-1；5.A为正交矩阵的充分必要条件是其列为正交矩阵的充分必要条件是其列(行行)向量组向量组是标准正交向量组是标准正交向量组.下页正交矩阵的性质正交矩阵的性质线性代数下页结束返回矩阵的对角化矩阵的对角化矩阵矩阵A相似于对角阵相似于对角阵存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得P-1AP=存在存在n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量1，2，n=diag(1,2,，n)P=(1，2，n）进一步地进一步地对于某些矩阵对于某些矩阵A，存在，存在正交矩阵正交矩阵P使得使得P-1AP=

22、存在存在n个标准正交的特征向量个标准正交的特征向量1，2，n=diag(1,2,，n)将将1，2，n标准正交化为标准正交化为1，2，nP=（1，2，n）注意：由于正交矩阵的特性，亦即注意：由于正交矩阵的特性，亦即是对于对于某些矩阵是对于对于某些矩阵A，存在，存在正交矩阵正交矩阵P 使得使得 PTAP=!下页线性代数下页结束返回 性质性质5 设设A为为n阶实矩阵，则阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是其列其列(行行)向量组是标准正交向量组向量组是标准正交向量组.其中其中a a1,a a2,a an为为A的列向量组，于是的列向量组，于是 ATA=证明：证明：下页线性代数下页结束返回若若a a1,a a2,a an为标准正交向量组，则为标准正交向量组，则从而得从而得ATA=E，即，即A为正交矩阵为正交矩阵.下页线性代数下页结束返回若若A A为正交矩阵，则为正交矩阵，则 ATA=E，即，即比较可得，比较可得，(a ai,a ai)=1,i=1,2,.,n;(a ai,a aj)=0,ij=1,2,.,n,即即a a1,a a2,a an为标准正交向量组为标准正交向量组.A的行向量组的证明类似，略的行向量组的证明类似，略.结束线性代数下页结束返回返回