6.5数列的综合应用.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.解答数列应用题的基本步骤解答数列应用题的基本步骤 (1)(1)审题审题仔细阅读材料，认真理解题意仔细阅读材料，认真理解题意.(2)(2)建建模模将将已已知知条条件件翻翻译译成成数数学学（数数列列）语语言言，将将实实际际问问题题转转化化成成数数学学问问题题，弄弄清清该该数数列列的的结结构构和特征和特征.(3)(3)求解求解求出该问题的数学解求出该问题的数学解.(4)(4)还原还原将所求结果还原到原实际问题中将所求结果还原到原实际问题中.6.5 6.5 数列的综合应用数列的综合应用基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.数列应用题常见模型数列应用题常见模型 (1)(1)等

2、等差差模模型型：如如果果增增加加（或或减减少少）的的量量是是一一个个固固定定量量时时，该该模模型型是是等等差差模模型型，增增加加（或或减减少少）的的量就是公差量就是公差.(2)(2)等等比比模模型型：如如果果后后一一个个量量与与前前一一个个量量的的比比是是一一个个固固定定的的数数时时，该该模模型型是是等等比比模模型型，这这个个固固定定的的数就是公比数就是公比.(3)(3)分分期期付付款款模模型型：设设贷贷款款总总额额为为a a，年年利利率率为为r r,等等额还款数为额还款数为b b,分分n n期还完，则期还完，则b b=基础自测基础自测1.1.数列数列 a an n 是公差不为是公差不为0 0

3、的等差数列且的等差数列且a a7 7、a a1010、a a1515是是 等比数列等比数列 b bn n 的连续三项，若等比数列的连续三项，若等比数列 b bn n 的首项的首项 b b1 1=3,=3,则则b b2 2等于等于（）A.B.5 C.2 D.A.B.5 C.2 D.解析解析 由条件知由条件知 =a a7 7a a1515,（a a7 7+3+3d d）2 2=a a7 7(a a7 7+8+8d d),),9 9d d=2=2a a7 7，q q=b b1 1=3=3，b b2 2=b b1 1q q=5.=5.B2.2.一一套套共共7 7册册的的书书计计划划每每两两年年出出一一

4、册册，若若出出完完全全部部各各册册书书，公公元元年年代代之之和和为为13 13 958958，则则出出齐齐这这套套书书的的年份是年份是（）A.1994A.1994B.1996 C.1998 D.2000B.1996 C.1998 D.2000 解析解析 设出齐这套书的年份是设出齐这套书的年份是x x，则（则（x x-12-12）+(+(x x-10)+(-10)+(x x-8)+-8)+x x=13 958,=13 958,7 7x x-=13 958,-=13 958,x x=2000.=2000.D3.3.（20092009四四川川文文，3 3）等等差差数数列列 a an n 的的公公差差

5、不不为为零零，首首项项a a1 1=1,=1,a a2 2是是a a1 1和和a a5 5的的等等比比中中项项，则则数数列列 a an n 的的前前1010项之和是项之和是（）A.90 B.100 C.145 D.190A.90 B.100 C.145 D.190 解析解析 由题意知，（由题意知，（a a1 1+d d）2 2=a a1 1(a a1 1+4+4d d),),即即 +2+2a a1 1d d+d d2 2=+4=+4a a1 1d d,d d=2=2a a1 1=2.=2.S S1010=10=10a a1 1+d d=10+90=100.=10+90=100.B4.4.有有一

6、一种种细细菌菌和和一一种种病病毒毒，每每个个细细菌菌在在每每秒秒钟钟末末能能在在杀杀死死一一个个病病毒毒的的同同时时将将自自身身分分裂裂为为2 2个个，现现在在有有一一个个这这样样的的细细菌菌和和100100个个这这样样的的病病毒毒，问问细细菌菌将将病病毒毒全部杀死至少需要全部杀死至少需要（）A.6A.6秒秒B.7B.7秒秒 C.8C.8秒秒D.9D.9秒秒 解析解析 依题意依题意1+21+21 1+2+22 2+2+2n n-1-1100,100,100,2 100,2n n101,101,n n7,7,即至少需要即至少需要7 7秒细菌将病毒全部杀死秒细菌将病毒全部杀死.B5.5.已已知知数

7、数列列 a an n 中中，a a1 1=2=2，点点（a an n-1-1,a an n）(n n1 1且且n nN N)满足满足y y=2=2x x-1-1，则，则a a1 1+a a2 2+a a1010=.解析解析 a an n=2=2a an n-1-1-1-1，a an n-1=2(-1=2(a an n-1-1-1),-1),a an n-1-1是等比数列，则是等比数列，则a an n=2=2n n-1-1+1.+1.a a1 1+a a2 2+a a1010 =10+(2 =10+(20 0+2+21 1+2+22 2+2+29 9)=10+=1 033.=10+=1 033.

8、1 0331 033题型一题型一 等差数列与等比数列的综合应用等差数列与等比数列的综合应用【例例1 1】数数列列 a an n 的的前前n n项项和和记记为为S Sn n，a a1 1=1,=1,a an n+1+1=2=2S Sn n+1+1(n n1).1).（1 1）求）求 a an n 的通项公式；的通项公式；（2 2）等等差差数数列列 b bn n 的的各各项项为为正正，其其前前n n项项和和为为T Tn n，且且T T3 3=15=15，又，又a a1 1+b b1 1,a a2 2+b b2 2,a a3 3+b b3 3成等比数列，求成等比数列，求T Tn n.S S1 1，n

9、 n=1=1，S Sn n-S Sn n-1-1，n n2.2.求求a an n.（2 2）注意等差数列与等比数列之间的相互关系）注意等差数列与等比数列之间的相互关系.思维启迪思维启迪（1 1）运用公式）运用公式a an n=题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 （1 1）由）由a an n+1+1=2=2S Sn n+1,+1,可得可得a an n=2=2S Sn n-1-1+1(+1(n n2),2),两式相减得两式相减得a an n+1+1-a an n=2=2a an n,则则a an n+1+1=3=3a an n(n n2).2).又又a a2 2=2=2S S1 1+1=3,+

10、1=3,a a2 2=3=3a a1 1.故故 a an n 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为3 3的等比数列，的等比数列，a an n=3=3n n-1-1.（2 2）设）设 b bn n 的公差为的公差为d d,由由T T3 3=15,=15,b b1 1+b b2 2+b b3 3=15,=15,可得可得b b2 2=5,=5,故可设故可设b b1 1=5-=5-d d,b b3 3=5+=5+d d,又又a a1 1=1,=1,a a2 2=3,=3,a a3 3=9,=9,由题意可得由题意可得(5-(5-d d+1)(5+1)(5+d d+9)=(5+3)+9)=(5+3)2

11、2，解得解得d d1 1=2,=2,d d2 2=-10.=-10.等差数列等差数列 b bn n 的各项为正，的各项为正，d d0,0,d d=2,=2,b b1 1=3,=3,T Tn n=3=3n n+2=2=n n2 2+2+2n n.探探究究提提高高 对对等等差差、等等比比数数列列的的综综合合问问题题的的分分析析，应应重重点点分分析析等等差差、等等比比数数列列的的通通项项及及前前n n项项和和；分分析析等等差差、等等比比数数列列项项之之间间的的关关系系.往往往往用用到到转转化化与与化化归归的思想方法的思想方法.知知能能迁迁移移1 1 （20092009全全国国文文，1717）设设等等

12、差差数数列列 a an n 的的前前n n项项和和为为S Sn n,公公比比是是正正数数的的等等比比数数列列 b bn n 的的前前n n项项和和 为为 T Tn n,已已 知知 a a1 1=1,=1,b b1 1=3,=3,a a3 3+b b3 3=17,=17,T T3 3-S S3 3=12,=12,求求 a an n,b bn n 的通项公式的通项公式.解解 设设 a an n 的公差为的公差为d d，b bn n 的公比为的公比为q q.由由a a3 3+b b3 3=17=17得得1+21+2d d+3+3q q2 2=17,=17,由由T T3 3-S S3 3=12=12得

13、得q q2 2+q q-d d=4.=4.由由、及及q q0 0解得解得q q=2,=2,d d=2.=2.故所求的通项公式为故所求的通项公式为a an n=2=2n n-1,-1,b bn n=3=32 2n n-1-1.题型二题型二 数列与函数的综合应用数列与函数的综合应用【例例2 2】（1212分）已知分）已知f f(x x)=)=logloga ax x(a a0 0且且a a1)1)，设，设 f f(a a1 1),),f f(a a2 2),),f f(a an n)()(n nN N*)是首项为是首项为4 4，公差为，公差为 2 2的等差数列的等差数列.（1 1）设）设a a为常

14、数，求证：为常数，求证：a an n 是等比数列；是等比数列；（2 2）若）若b bn n=a an nf f(a an n),),b bn n 的前的前n n项和是项和是S Sn n,当当a a=时时,求求S Sn n.利利用用函函数数的的有有关关知知识识得得出出a an n的的表表达达式式，再利用表达式解决其他问题再利用表达式解决其他问题.思维启迪思维启迪（1 1）证明证明 f f(a an n)=4+()=4+(n n-1)-1)2=22=2n n+2,+2,logloga aa an n=2=2n n+2,+2,2 2分分a an n=a a2 2n n+2+2.（n n22）为定值）

15、为定值.a an n 为等比数列为等比数列.5 5分分 (2)(2)解解 b bn n=a an nf f(a an n)=)=a a2 2n n+2+2logloga aa a2 2n n+2+2=(2=(2n n+2)+2)a a2 2n n+2+2.当当a a=时，时，b bn n=(2=(2n n+2)()+2)()2 2n n+2+2=(=(n n+1)2+1)2n n+2+2.7.7分分S Sn n=2=22 23 3+3+32 24 4+4+42 25 5+(+(n n+1)+1)2 2n n+2 +2 2 2S Sn n=2=22 24 4+3+32 25 5+4+42 26

16、6+n n2 2n n+2+2+(+(n n+1)+1)2 2n n+3+3-得得-S Sn n=2=22 23 3+2+24 4+2+25 5+2+2n n+2+2-(-(n n+1)+1)2 2n n+3+3 =16+-(=16+-(n n+1)+1)2 2n n+3+3 =16+2 =16+2n n+3+3-2-24 4-n n2 2n n+3+3-2-2n n+3+3=-=-n n2 2n n+3+3.S Sn n=n n2 2n n+3+3.1212分分 数数列列与与函函数数的的综综合合问问题题主主要要有有以以下下两两类类：（1 1）已已知知函函数数条条件件，解解决决数数列列问问题题

17、.此此类类问问题题一一般般利利用用函函数数的的性性质质、图图象象研研究究数数列列问问题题；（2 2）已已知知数数列列条条件件，解解决决函函数数问问题题.解解决决此此类类问问题题一一般般要要充充分分利利用用数数列列的的范范围围、公公式式、求求和和方方法法对对式式子子化化简简变变形形.探究提高探究提高知能迁移知能迁移2 2 设等比数列设等比数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n，首项，首项a a1 1=1,=1,公比公比q q=f f (-1,0).(-1,0).（1 1）证明：）证明：S Sn n=（1+1+）-a an n；（2 2）若数列）若数列 b bn n 满足满足b b

18、1 1=,=,b bn n=f f(b bn n-1-1)()(n nN N*,n n2),2),求数列求数列 b bn n 的通项公式的通项公式;（3 3）若）若 =1,=1,记记c cn n=a an n ,数列数列 c cn n 的前的前n n项和为项和为 T Tn n,求证求证:当当n n22时时,2,2T Tn n4.4.(1)(1)证明证明 (2)(2)解解 是首项为是首项为 =2,=2,公差为公差为1 1的等差数列的等差数列.=2+(=2+(n n-1)=-1)=n n+1,+1,即即b bn n=(3)(3)证明证明 当当 =1=1时时,又又T Tn n+1+1-T Tn n0

19、,0,T Tn n单调递增单调递增.T Tn nT T2 2=2.=2.故当故当n n22时时,2,2T Tn n4.4.两式相减得两式相减得题型三题型三 数列的实际应用数列的实际应用【例例3 3】假假设设某某市市20082008年年新新建建住住房房400400万万平平方方米米，其其中中有有250250万万平平方方米米是是中中低低价价房房，预预计计在在今今后后的的若若干干年年内内,该该市市每每年年新新建建住住房房面面积积平平均均比比上上一一年年增增长长8%.8%.另另外外，每每年年新新建建住住房房中中，中中低低价价房房的的面面积积均均比比上上一年增加一年增加5050万平方米万平方米.那么，到哪

20、一年底，那么，到哪一年底，（1 1）该该市市历历年年所所建建中中低低价价房房的的累累计计面面积积（以以20082008年年为累计的第一年）将首次不少于为累计的第一年）将首次不少于4 7504 750万平方米？万平方米？（2 2）当当年年建建造造的的中中低低价价房房的的面面积积占占该该年年建建造造住住房房面面积积 的的 比比 例例 首首 次次 大大 于于 85%85%？（参参 考考 数数 据据：1.081.084 41.36,1.081.36,1.085 51.47,1.081.47,1.086 61.59)1.59)（1 1）要求学生会把实际问题转化为数学）要求学生会把实际问题转化为数学问题问

21、题:S Sn n=250=250n n+50=2550=25n n2 2+225+225n n4 750.4 750.(2)(2)a an n0.850.85b bn n,b bn n=400=4001.081.08n n-1-1.解解 （1 1）设中低价房的面积形成的数列为）设中低价房的面积形成的数列为 a an n，由题意可知由题意可知 a an n 是等差数列，是等差数列，其中其中a a1 1=250,=250,d d=50,=50,则则a an n=250+(=250+(n n-1)-1)50=5050=50n n+200+200S Sn n=250=250n n+50=2550=25

22、n n2 2+225+225n n,令令2525n n2 2+225+225n n4 750,4 750,即即n n2 2+9+9n n-1900,-1900,而而n n是正整数，是正整数，n n10.10.因此到因此到20172017年底，该市历年所建中低价房的累计面年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于积将首次不少于4 7504 750万平方米万平方米.思维启迪思维启迪（2 2）设设新新建建住住房房面面积积形形成成数数列列 b bn n，由由题题意意可可知知 b bn n 是是 等等 比比 数数 列列，其其 中中 b b1 1=400,=400,q q=1.08,=1.08,则则

23、b bn n=400=400(1.08)(1.08)n n-1-1.由题意可知由题意可知a an n0.850.85b bn n,即即5050n n+200+200400400(1.08)(1.08)n n-1-10.85.0.85.当当n n=5=5时，时，a a5 50.850.85b b5 5,当当n n=6=6时，时，a a6 60.850.85b b6 6,因此满足上述不等式的最小正整数因此满足上述不等式的最小正整数n n为为6.6.因此到因此到20132013年底，当年建造的中低价房的面积占该年年底，当年建造的中低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于建造住房面积的比例首次大

24、于85%.85%.解解决决此此类类问问题题的的关关键键是是如如何何把把实实际际问问题题转转化化为为数数学学问问题题，通通过过反反复复读读题题，列列出出有有关关信信息息，转转化化为为数数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.探究提高探究提高 知能迁移知能迁移3 3 某市某市20082008年共有年共有1 1万辆燃油型公交车万辆燃油型公交车,有关部门计划于有关部门计划于20092009年投入年投入128128辆电力型公交车辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,50%,试问试问:(1)(1)

25、该市在该市在20152015年应该投入多少辆电力型公交车年应该投入多少辆电力型公交车?(2)(2)到到哪哪一一年年底底,电电力力型型公公交交车车的的数数量量开开始始超超过过该该市市公交车总量的公交车总量的?(?(lglg 657=2.82,lg 2=0.30,657=2.82,lg 2=0.30,lglg 3=0.48)3=0.48)解解 (1)(1)该该市市逐逐年年投投入入的的电电力力型型公公交交车车的的数数量量组组成成等等比比数数列列 a an n,其其中中a a1 1=128,=128,q q=1.5,=1.5,则则在在20152015年年应应该该投入的电力型公交车为投入的电力型公交车为

26、a a7 7=a a1 1q q6 6=128=1281.51.56 6=1 458=1 458（辆）（辆）.（2 2）记）记S Sn n=a a1 1+a a2 2+a an n，依据题意，得依据题意，得 ，于是于是S Sn n=5 0005 000（辆），即（辆），即1.51.5n n两边取常用对数，则两边取常用对数，则n nlglg 1.5 1.5lglg即即n n 7.3,7.3,又又n nN N*，因此，因此n n8.8.所以到所以到20162016年底，电力型公交车的数量开始超过该年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的市公交车总量的 .方法与技巧方法与技巧1.1.深深刻刻

27、理理解解等等差差（比比）数数列列的的性性质质，熟熟悉悉它它们们的的推推导导过过程程是是解解题题的的关关键键.两两类类数数列列性性质质既既有有相相似似之之处处，又又有有区区别别，要要在在应应用用中中加加强强记记忆忆.同同时时，用用好好性性质质也会降低解题的运算量，从而减少差错也会降低解题的运算量，从而减少差错.2.2.在在等等差差数数列列与与等等比比数数列列中中，经经常常要要根根据据条条件件列列方方程程（组组）求求解解，在在解解方方程程组组时时，仔仔细细体体会会两两种种情情形形中解方程组的方法的不同之处中解方程组的方法的不同之处.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.数数列列的的渗渗透透力力

28、很很强强，它它和和函函数数、方方程程、三三角角形形、不不等等式式等等知知识识相相互互联联系系，优优化化组组合合，无无形形中中加加大大了了综综合合的的力力度度.解解决决此此类类题题目目，必必须须对对蕴蕴藏藏在在数数列列概概念念和和方方法法中中的的数数学学思思想想有有所所了了解解，深深刻刻领领悟悟它它在在解解题题中中的的重重大大作作用用，常常用用的的数数学学思思想想方方法法有有：“函函数数与与方方程程”、“数数形形结结合合”、“分分类类讨讨论论”、“等价转换等价转换”等等.4.4.在在现现实实生生活活中中，人人口口的的增增长长、产产量量的的增增加加、成成本本的的降降低低、存存贷贷款款利利息息的的计

29、计算算、分分期期付付款款问问题题等等，都都可可以以利利用用数数列列来来解解决决，因因此此要要会会在在实实际际问问题题中中抽抽象出数学模型，并用它解决实际问题象出数学模型，并用它解决实际问题.失误与防范失误与防范1.1.等等比比数数列列的的前前n n项项和和公公式式要要分分两两种种情情况况：公公比比等等于于1 1和和公公比比不不等等于于1.1.最最容容易易忽忽视视公公比比等等于于1 1的的情情况况，要要注意这方面的练习注意这方面的练习.2.2.数数列列的的应应用用还还包包括括实实际际问问题题，要要学学会会建建模模，对对应应哪哪一类数列，进而求解一类数列，进而求解.3.3.在有些情况下，证明数列的

30、不等式要用到放缩法在有些情况下，证明数列的不等式要用到放缩法.一、选择题一、选择题1.1.各项都是正数的等比数列各项都是正数的等比数列 a an n 中，中，a a2 2，a a3 3，a a1 1成等成等 差数列，则差数列，则 的值为的值为（）A.B.A.B.C.D.C.D.或或 解析解析 设设 a an n 的公比为的公比为q q(q q0)0)，由，由a a3 3=a a2 2+a a1 1,得得q q2 2-q q-1=0-1=0，解得，解得q q=.=.因此因此B定时检测定时检测2.2.数列数列 a an n 中中,a an n=3=3n n-7(-7(n nN N*),),数列数列

31、 b bn n 满足满足 b b1 1=,=,b bn n-1-1=27=27b bn n(n n22且且n nN N*),),若若a an n+log+logk kb bn n为为 常数常数,则满足条件的则满足条件的k k值值（）A.A.唯一存在唯一存在,且为且为 B.B.唯一存在唯一存在,且为且为3 3 C.C.存在且不唯一存在且不唯一 D.D.不一定存在不一定存在解析解析 依题意依题意,a an n+log+logk kb bn n=3=3n n-7+log-7+logk k()()3 3n n-2-2=3=3n n-7+(3-7+(3n n-2)log-2)logk k=(3+3log

32、=(3+3logk k )n n-7-2log-7-2logk k ,a an n+log+logk kb bn n是常数，是常数，3+3log3+3logk k =0,=0,即即loglogk k3=1,3=1,k k=3.=3.答案答案 B B3.3.有有一一塔塔形形几几何何体体由由若若干干个个正正方方体体构构成成，构构成成方方式式如如图图所所示示，上上层层正正方方体体下下底底面面的的四四个个顶顶点点是是下下层层正正方方体体上上底底面面各各边边的的中中点点.已已知知最最底底层层正正方方体体的的棱棱长长为为2 2，且且该该塔塔形形的的表表面面积积（含含最最底底层层正正方方体体的的底底面面面面

33、积积）超超过过3939，则则该该塔塔形形中中正正方方体体的的个个数数至至少少是是（）A.4 B.5A.4 B.5 C.6 D.7 C.6 D.7解析解析 正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数列，其棱长分别为：列，其棱长分别为：2 2，1 1，n n层正方体的表面积为层正方体的表面积为由已知：由已知：40-3240-32（）n n3939，整理得整理得2 2n n32,32,n n5.5.答案答案 C C4.4.气气象象学学院院用用3.23.2万万元元买买了了一一台台天天文文观观测测仪仪，已已知知这这台台观观测测仪仪从从启启用用的的第第一一天天起起连连续续

34、使使用用，第第n n天天的的维维修修保保养养费费为为 元元(n nN N*),),使使用用它它直直至至报报废废最最合合算算（所所谓谓报报废废最最合合算算是是指指使使用用这这台台仪仪器器的的平平均均耗耗资资最最少）为止少）为止,一共使用了一共使用了 （）A.800A.800天天 B.600B.600天天 C.1 000C.1 000天天 D.1 200D.1 200天天解析解析 由第由第n n天的维修保养费为天的维修保养费为 元元(n nN N*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应而求得最小值成立时的相应n n的值的

35、值.设一共使用了设一共使用了n n天，则使用天，则使用n n天的平均耗资为天的平均耗资为当且仅当当且仅当 时取得最小值，此时时取得最小值，此时n n=800.=800.答案答案 A A5.20085.2008年年春春，我我国国南南方方部部分分地地区区遭遭受受了了罕罕见见的的特特大大冻冻灾灾.大大雪雪无无情情人人有有情情，柳柳州州某某中中学学组组织织学学生生在在学学校校开开展展募募捐捐活活动动，第第一一天天只只有有1010人人捐捐款款，人人均均捐捐款款1010元元，之之后后通通过过积积极极宣宣传传，从从第第二二天天起起，每每天天的的捐捐款款人人数数是是前前一一天天的的2 2倍倍，且且当当天天人人

36、均均捐捐款款数数比比前前一一天天多多5 5元元，则则截截止止到到第第5 5天天（包包括括第第5 5天天）捐捐款款总总数将达到数将达到（）A.4 800A.4 800元元B.8 000B.8 000元元 C.9 600C.9 600元元D.11 200D.11 200元元 解析解析 由题意知，由题意知，5 5天共捐款天共捐款 101010+10+（10102 2）（10+510+5）+（10102 22 2）（15+515+5）+（10102 23 3）（20+520+5）+（10102 24 4）（25+525+5）=8 000=8 000（元）（元）.B6.6.已已 知知 数数 列列 a a

37、n n,b bn n 满满 足足 a a1 1=1,=1,且且 a an n,a an n+1+1是是 函函 数数f f(x x)=)=x x2 2-b bn nx x+2+2n n的两个零点，则的两个零点，则b b1010等于等于（）A.24 B.32 C.48 D.64A.24 B.32 C.48 D.64 解析解析 依题意有依题意有a an na an n+1+1=2=2n n，所以，所以a an n+1+1a an n+2+2=2=2n n+1+1,两两式式相相除除得得 =2,=2,所所以以a a1 1,a a3 3,a a5 5,成成等等比比数数列列，a a2 2,a a4 4,a

38、a6 6,成成 等等 比比 数数 列列，而而 a a1 1=1,=1,a a2 2=2,=2,所所 以以a a1010=2=22 24 4=32,=32,a a1111=1=12 25 5=32.=32.又因为又因为a an n+a an n+1+1=b bn n，所以，所以b b1010=a a1010+a a1111=64.=64.D二、填空题二、填空题7.7.已已知知数数列列 a an n 满满足足a a1 1=1,=1,a a2 2=-2,=-2,a an n+2+2=-=-,则则该该数数列列前前2626项的和为项的和为 .解析解析 由于由于a a1 1=1,=1,a a2 2=-2,

39、=-2,a an n+2+2=-=-，所以所以a a3 3=-1,=-1,a a4 4=,=,a a5 5=1,=1,a a6 6=-2,=-2,于是于是 a an n 是周期为是周期为4 4的数列，的数列，故故S S2626=6=6（1-2-1+1-2-1+）+1-2=-10.+1-2=-10.-10-101 12 32 34 5 64 5 67 8 9 107 8 9 108.8.（20082008江江苏苏，1010）将将全全体体正正整整数数排排成成一一个个三三角角形形数阵：数阵：按照以上排列的规律，第按照以上排列的规律，第n n行（行（n n33）从左向右的第）从左向右的第3 3个数为个

40、数为 .解析解析 前前n n-1-1行共有正整数行共有正整数1+2+1+2+(+(n n-1)-1)个个,即即个个,因此第因此第n n行第行第3 3个数是全体正整数中第个数是全体正整数中第 +3+3个个,即为即为 .9.9.（20092009福福建建理理，1515）五五位位同同学学围围成成一一圈圈依依序序循循环环报数，规定：报数，规定：第第一一位位同同学学首首次次报报出出的的数数为为1 1，第第二二位位同同学学首首次次报报出出的的数数也也为为1 1，之之后后每每位位同同学学所所报报出出的的数数都都是是前前两位同学所报出的数之和两位同学所报出的数之和;若若报报出出的的数数为为3 3的的倍倍数数，

41、则则报报该该数数的的同同学学需需拍拍手手一次一次.已已知知甲甲同同学学第第一一个个报报数数，当当五五位位同同学学依依序序循循环环报报到到第第100100个数时，甲同学拍手的总次数为个数时，甲同学拍手的总次数为.解析解析 设第设第n n个同学报出的数为个同学报出的数为a an n,则则a an n+a an n+1+1=a an n+2+2,a an n+2+2=a an n+a an n+1+1,a an n+3+3=a an n+1+1+a an n+2+2=a an n+2+2a an n+1+1,a an n+4+4=a an n+3+3+a an n+2+2=2=2a an n+3+3

42、a an n+1+1,a an n+4+4+a an n=3=3a an n+3+3a an n+1+1=3(=3(a an n+a an n+1+1).).又又a an n为大于为大于0 0的整数的整数,a an n被被3 3整除时，整除时，a an n+4+4也被也被3 3整除；整除；a an n不被不被3 3整除时，整除时，a an n+4+4也不被也不被3 3整除整除.又又a a1 1=1,=1,a a2 2=1,=1,a a3 3=2,=2,a a4 4=3,=3,a a5 5=5,=5,a an n 中被中被3 3整除的数为整除的数为a a4+44+4k k(k kN N),),又

43、甲报出的数为又甲报出的数为a a1+51+5m m(m mN N),),甲报出的数甲报出的数a a1+51+5m m被被3 3整除时，存在整除时，存在k kN N,使使1+51+5m m=4+4=4+4k k,k k=m m-3-3被被4 4整除，设整除，设m m-3=4-3=4p p(p pZ Z)，则，则m m=4=4p p+3.+3.11+511+5m m100,0100,0m m19.8,19.8,0404p p+319.8,-+319.8,-p p4.2,4.2,p p只能取只能取0 0，1 1，2 2，3 3，4 4共共5 5个整数，个整数，m m只能取只能取3 3，7 7，111

44、1，1515，1919共共5 5个整数，个整数，甲报出的数只有甲报出的数只有5 5次能被次能被3 3整除整除.甲拍了甲拍了5 5次手次手.答案答案 5 5三、解答题三、解答题10.10.为为保保护护我我国国的的稀稀土土资资源源，国国家家限限定定某某矿矿区区的的出出口口总总量量不不能能超超过过8080吨吨，该该矿矿区区计计划划从从20102010年年开开始始出出口口，当当年年出出口口a a吨吨，以以后后每每年年出出口口量量均均比比上上一一年年减减少少10%.10%.（1 1）以以20102010年年为为第第一一年年，设设第第n n年年出出口口量量为为a an n吨吨，试求试求a an n的表达式

45、；的表达式；（2 2）因因稀稀土土资资源源不不能能再再生生，国国家家计计划划1010年年后后终终止止该该矿矿区区的的出出口口，问问20102010年年最最多多出出口口多多少少吨吨？（保保留留一位小数）参考数据：一位小数）参考数据：0.90.910100.35.0.35.解解 （1 1）由题意知每年的出口量构成等比数列，且）由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项首项a a1 1=a a,公比公比q q=1-10%=0.9,=1-10%=0.9,a an n=a a0.90.9n n-1-1.（2 2）1010年出口总量年出口总量S S1010=10=10a a(1-0.9(1-0.91010)

46、.).S S10108080，1010a a（1-0.91-0.91010）8080，即即a a a a12.3.12.3.故故20102010年最多出口年最多出口12.312.3吨吨.11.11.设数列设数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且（，且（3-3-m m）S Sn n+2+2maman n=m m+3+3 （n nN N*）.其中其中m m为常数，为常数，m m-3,-3,且且m m0.0.（1 1）求证：）求证：a an n 是等比数列；是等比数列；（2 2）若数列）若数列 a an n 的公比满足的公比满足q q=f f(m m)且且b b1 1=a a

47、1 1,b bn n=f f(b bn n-1-1)()(n nN N*,n n2),2),求证：求证：为等差数列为等差数列,并求并求b bn n.证明证明 （1 1）由（）由（3-3-m m）S Sn n+2+2maman n=m m+3,+3,得得(3-(3-m m)S)Sn n+1+1+2+2maman n+1+1=m m+3,+3,两式相减，得两式相减，得(3+(3+m m)a an n+1+1=2=2maman n(m m-3),-3),m m是常数，且是常数，且m m-3-3，m m00，故故 是不为是不为0 0的常数，的常数，a an n 是等比数列是等比数列.（2 2）由）由b

48、 b1 1=a a1 1=1,=1,q q=f f(m m)=,)=,n nN N*且且n n2,2,b bn n=f f(b bn n-1-1)=)=得得b bn nb bn n-1-1+3+3b bn n=3=3b bn n-1-1，是以是以1 1为首项，为首项，为公差的等差数列，为公差的等差数列，12.12.一辆邮政车自一辆邮政车自A A城驶往城驶往B B城，沿途有城，沿途有n n个车站（包个车站（包括起点站括起点站A A和终点站和终点站B B），每停靠一站便要卸下前），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站

49、的邮袋各一个，设该车从各站出站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列 a ak k (k k=1,2,3,=1,2,3,n n).).试求：（试求：（1 1）a a1 1,a a2 2,a a3 3;（2 2）邮政车从第）邮政车从第k k站出发时，车内共有邮袋数多少站出发时，车内共有邮袋数多少个？个？（3 3）求数列）求数列 a ak k 的前的前k k项和项和S Sk k.解解 （1 1）由题意得）由题意得a a1 1=n n-1,-1,a a2 2=(=(n n-1)+(-1)+(n n-2)-1=2-2)-1=2n

50、 n-4,-4,a a3 3=(=(n n-1)+(-1)+(n n-2)+(-2)+(n n-3)-1-2=3-3)-1-2=3n n-9.-9.（2 2）在第）在第k k站出发时，放上的邮袋共：站出发时，放上的邮袋共：(n n-1)+(-1)+(n n-2)+-2)+(+(n n-k k)个，个，而从第二站起，每站放下的邮袋共：而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+1+2+3+(+(k k-1)-1)个，个，故故a ak k=(=(n n-1)+(-1)+(n n-2)+-2)+(+(n n-k k)-)-1+2+1+2+(+(k k-1)-1)=knkn-k k(k k+1)-+1