数学建模教学与竞赛.ppt

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1、数学建模的实践与应用数学建模的实践与应用 及竞赛经验交流及竞赛经验交流 （一）（一）浙江大学开展数学建模教浙江大学开展数学建模教学和组织参加各种竞赛的情况简学和组织参加各种竞赛的情况简介介n1982-1995 课程开设，数学系限定性选修课课程开设，数学系限定性选修课 教材建设，教材建设，1990年出版年出版“数学模型数学模型”n1995-1999 扩大受教育面，开设各种必修课、选修课：扩大受教育面，开设各种必修课、选修课：（1）竺可桢学院混合班必修课）竺可桢学院混合班必修课（2）竺可桢学院工程高级）竺可桢学院工程高级班班 （3）理科基地班必修课修课）理科基地班必修课修课 （4）全校性选修课）全

2、校性选修课 （5）数学系必修课（）数学系必修课（6）研究生学位课（）研究生学位课（7）荣誉课程）荣誉课程n 1999-2004 创建名牌课程与数学建模实践基地创建名牌课程与数学建模实践基地 国家理科基地创建精品课程项目（国家理科基地创建精品课程项目（1999年）年）国家理科基地创建优秀课程项目（国家理科基地创建优秀课程项目（2001年）年）获浙江省教学成果一等奖（获浙江省教学成果一等奖（2000年）年）获国家级教学成果二等奖（获国家级教学成果二等奖（2001年）年）被浙江省教育厅授予首批省级精品课程（被浙江省教育厅授予首批省级精品课程（2003年）年）被教育部授予首批国家级精品课程（被教育部授

3、予首批国家级精品课程（2004年）年）数学建模方法与实践被立项为国家级教学团队数学建模方法与实践被立项为国家级教学团队（2008）我们的教学方法我们的教学方法n普及教育：为新生举办讲座，激发学生的兴趣普及教育：为新生举办讲座，激发学生的兴趣n课堂教学：为二三年级学生开课（周学时课堂教学：为二三年级学生开课（周学时4-5不等）不等）n课堂教学与学生建模实践活动相结合（课堂教学与学生建模实践活动相结合（SRTP项目，课项目，课外课题研究）外课题研究）n数学建模教育与培训组织学生参加国内外大学生数学数学建模教育与培训组织学生参加国内外大学生数学建竞赛相结合（校内竞赛，全国竞赛、国际竞赛等）建竞赛相结

4、合（校内竞赛，全国竞赛、国际竞赛等）n教学内容改革与教材建设（包括教材建设、学生建模教学内容改革与教材建设（包括教材建设、学生建模基地与建模网站建设、教改项目的执行等）基地与建模网站建设、教改项目的执行等）n兼顾创新性人才的培养与应用型人才的培养（竺可桢兼顾创新性人才的培养与应用型人才的培养（竺可桢学院学院-尖子学生的培养、全校选修尖子学生的培养、全校选修-普及、独立二级学普及、独立二级学院院-应用型人才培养、研究生研讨班）应用型人才培养、研究生研讨班）n开设研究生学位课、实践课，开展较高层次的课题研开设研究生学位课、实践课，开展较高层次的课题研究究教学效果与教改收获教学效果与教改收获n学生综

5、合素质与科研能力得到了有效提高（每学生综合素质与科研能力得到了有效提高（每年有上千名学生听课、每年提交科研论文或研年有上千名学生听课、每年提交科研论文或研究报告近百篇，究报告近百篇，300多个队参加学校数学建模多个队参加学校数学建模竞赛，大约竞赛，大约25-30个队参加全国竞赛、个队参加全国竞赛、10个队个队参加美国竞赛，学生参与的积极性十分高涨，参加美国竞赛，学生参与的积极性十分高涨，这些学生的素质与能力在科研实践中迅速提高）这些学生的素质与能力在科研实践中迅速提高）n增强了学生学习数学知识和专业知识的兴趣增强了学生学习数学知识和专业知识的兴趣（培养兴趣、提高能力、增长知识是大学教育（培养兴

6、趣、提高能力、增长知识是大学教育的主要任务）的主要任务）n为更高层次的人才培养输送了大批尖子学生为更高层次的人才培养输送了大批尖子学生（为国内外著名高校和科研机构提供了优秀生（为国内外著名高校和科研机构提供了优秀生源，其中不少原先只是中等生）源，其中不少原先只是中等生）n培养了学生合作研究的习惯培养了学生合作研究的习惯n学生参赛获奖（学生参赛获奖（1999年以来）年以来）美国竞赛：特等奖美国竞赛：特等奖3项（项（99、03、10）其中）其中 INFORMS（美国运筹与管理学会）（美国运筹与管理学会）2项项，国际一等奖，国际一等奖 43 项项（2000、2001全部一等奖），二等奖全部一等奖），

7、二等奖 24 项项 全国竞赛：一等奖全国竞赛：一等奖 34项，二等奖项，二等奖 46 项项 n出版教材：出版教材：已编著出版六本，除外较早期的两本还有：已编著出版六本，除外较早期的两本还有：（1）数学建模，国家十五规划教材，）数学建模，国家十五规划教材，2006年年6月出版，浙月出版，浙江大学出版社江大学出版社 （2）数学建模竞赛）数学建模竞赛-浙江大学学生获奖论文点评，浙江大学学生获奖论文点评，2005年年7月出版，浙江大学出版社月出版，浙江大学出版社 （3）数学建模，教育科学十五规划研究成果，）数学建模，教育科学十五规划研究成果，2005年年5月月出版，高等教育出版社出版，高等教育出版社

8、（4）数学建模案例集，）数学建模案例集，2006年年7月出版，高等教育出版社月出版，高等教育出版社另有几本正在编写中另有几本正在编写中（二）教学中注意对学生能力的培养（二）教学中注意对学生能力的培养n在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验方法（数据处理）、量纲分析、比例经验方法（数据处理）、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等筹算率等n基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：从人口模型到多种群生态

9、系统模型从人口模型到多种群生态系统模型 从从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米n将课堂教学、课外实践、将课堂教学、课外实践、SRTP（毕业设（毕业设计）等项目指导、研讨班、竞赛培训及计）等项目指导、研讨班、竞赛培训及组织竞赛有机结合起来，形成系列化教组织竞赛有机结合起来，形成系列化教学体系。（春节后开课、学体系。（春节后开课、5月初校竞赛、月初校竞赛、暑假前举办暑假前举办2-3次研讨班、暑假自行准备次研讨班、暑假自行准备竞赛、竞赛、11月月-12月举办美国竞赛集训）月举办美国竞赛集训）n加强学生实践环节的指导（鼓励学生研加强学生实践环节的指导（鼓励学生研究自己感兴趣

10、的问题，如：蝉的共鸣、究自己感兴趣的问题，如：蝉的共鸣、紫金港校区路灯优化设计、杭州黄金周紫金港校区路灯优化设计、杭州黄金周旅游接待等）旅游接待等）n注意对学生综合素质的培养（冰注意对学生综合素质的培养（冰冻三尺，非一日之寒，功夫在平冻三尺，非一日之寒，功夫在平时）时）（观察与发现能力），如：（观察与发现能力），如：（例1）数字的黑洞现象任取一个能被3整除的数，如213按如下运算：（例2）循环图的连通性与gcd(a,n)=1之间的关系）。举例gcd(2,7)=1，gcd(2,6)=2希尔密码设计古典密码不能改变字母出现的频率利用矩阵与向量相乘运算困难：逆矩阵不能用于解密想办法克服困难。例例2

11、取取A=则则 (具体求法见具体求法见后后),用用A加密加密THANK YOU,再用再用 对密文解密对密文解密用矩阵用矩阵A左乘各向量加密（关左乘各向量加密（关 于于26取余）得取余）得 得到密文得到密文 JXCPI WEK 解解:(希尔密码加希尔密码加 密密)用相应数字代替字符，划分为两个元素一用相应数字代替字符，划分为两个元素一 组并表示为向量：组并表示为向量：（希尔密码解密希尔密码解密）用用A-1左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。(自行验证自行验证)希尔密码是以希尔密码是以矩阵矩阵 法法为基础的，明文与密文的对为基础的，明文与密文的对 应由应由n阶

12、矩阶矩阵阵A确定。矩阵确定。矩阵A的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字母的字母数量相同，如果明文所含字数母的字母数量相同，如果明文所含字数 与与n不匹配，则最后不匹配，则最后几个分量可任意补足。几个分量可任意补足。A-1的求法的求法方法方法1 利用公式利用公式 ，例如，若取，例如，若取 ，则则 ,(mod26)，即，即 方法方法2 利用高斯消去法。将矩利用高斯消去法。将矩 阵阵(A,E)中的矩阵中的矩阵A消为消为E，则原先的则原先的E即被消成了即被消成了A-1，n逻辑推理与证明能力的提高逻辑推理与证明能力的提高（观察（观察猜测猜测证明，科学研究的重证明，

13、科学研究的重要途径之一）要途径之一）（例）设有一个半径为（例）设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为的圆形湖，圆心为 O。A、B 位于湖的两侧，位于湖的两侧，AB连线过连线过O，见图。，见图。现拟从现拟从A点步行到点步行到B点，在不得进入湖中的限点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。制下，问怎样的路径最近。ABOrEFEF猜测证明如下：猜测证明如下：（方法一）（方法一）显然，显然，由由AE、EF、FB及及AE，EF，FB围成围成的区域的区域 R是一凸集。利用是一凸集。利用分离定理分离定理易证最短径不可能经过易证最短径不可能经过R外的点，若不然，设外的点，若不然，设 为最短路径，为最短路

14、径，过过R外的一点外的一点M，则，则必存在直必存在直 线线l分离分离M与与R，由于路径，由于路径是连续曲线，由是连续曲线，由A沿沿到到M，必交，必交l于于M1，由，由M沿沿到到B又必交又必交l于于M2。这样，直线。这样，直线 段段M1M2的长度必小于路的长度必小于路 径径M1MM2的长度，与的长度，与是是A到到B的的最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。内。不妨设路径经湖的上方到达不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧点，则弧EF必在路径必在路径F上，又上，又直线段直线段AE是由是由A至至E的最短路径，直线的最短路径，直线FB是由是由F到

15、到B的最短的最短路径，猜测得证。路径，猜测得证。ABOrEFEFM1M2Ml例例1 在每一次人数不少于在每一次人数不少于6人的聚会中必可找出人的聚会中必可找出这样的这样的3人，他们或者彼此均认识或者彼此均不人，他们或者彼此均认识或者彼此均不认识认识。利用利用图的方法图的方法来描述该问题。将人看成顶来描述该问题。将人看成顶点，两人彼此都认识用实线连，否则虚线。点，两人彼此都认识用实线连，否则虚线。证明：证明：相识问题（拉姆齐问题）相识问题（拉姆齐问题）问题转化为在一个问题转化为在一个6 6阶图中必存在实线三角阶图中必存在实线三角形或虚线三角形。形或虚线三角形。请请大家一起画图证明大家一起画图证明

16、2134651234任取一顶点，不妨任取一顶点，不妨1 1 考察考察23、24和和3423、24和和34只能是虚线只能是虚线，否则得证否则得证但这样三角形但这样三角形234的三边均为虚线的三边均为虚线 不妨取不妨取1 2、1 3、1 4 实线实线与与1 1相连的边必然有：相连的边必然有：实线条数不小于实线条数不小于3 3或虚线条数不小于或虚线条数不小于3 3拉姆齐问题也可这样叙述：拉姆齐问题也可这样叙述：6阶阶2色完全图中必含有色完全图中必含有3阶单色阶单色完全图。完全图。其他类似可推出的结果其他类似可推出的结果：命题命题1 任一任一6阶阶2色完全图中至少含有两个色完全图中至少含有两个3阶单色

17、完全图。阶单色完全图。证明证明：前面证明必存在：前面证明必存在3 3阶单色完全图，不妨设阶单色完全图，不妨设1 12 23 3 为红色完全图为红色完全图15、25、35中至少有两条黑色、故中至少有两条黑色、故15与与25中至少有一条是黑色中至少有一条是黑色若若456也是红色三角形，命题已得证也是红色三角形，命题已得证故至少一边与故至少一边与123的边异色，不妨设的边异色，不妨设45黑色黑色14、24、34至少应有两条黑色，不妨设至少应有两条黑色，不妨设14、24 黑色黑色所以存在第二个所以存在第二个3阶单色完全图。阶单色完全图。命题命题2 7阶双色完全图中至少含有阶双色完全图中至少含有4个个3

18、阶单色完全图阶单色完全图213465定义：用m种颜色对的边进行染色，如果要求必存在一种颜色k（k=1,m之一），在中总可以找出该种颜色的阶单色子图，具有这种性质的最小正整数n记为，这种数被称为拉姆塞数。根据前面的证明，我们已经知道了。（易见，由于数学符号的引入，我们的叙述大大地简化了）。n经过许多人的努力，现已发现：人们找到的拉姆塞数总共只有这10个。由于计算量太大的原因，要找到第十一个（例如寻找）已经是常人无法想象地困难。的发现非常困难，即使利用计算机来计算也要花上几年的时间，但却并不难证明，有兴趣的同学可以自己利用抽屉原理来完成证明。例例2 17位学者中每人都和其他人通信讨论位学者中每人都

19、和其他人通信讨论3个方向的课题。个方向的课题。任意两人间只讨论其中一个方向的课题，则其中必可找出任意两人间只讨论其中一个方向的课题，则其中必可找出3位学者，他们之间讨论的是同一方向的课题。即位学者，他们之间讨论的是同一方向的课题。即r(3,3,3)=17（例（例3）（交换座位）（交换座位奇偶数校验）奇偶数校验）n（问题的提出）一位老师正在上英语课，教室里共有九排座位，每排有7把椅子，座位上坐满了学生。为了增加口语练习机会，老师要求学生变换一下座位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在原先座位的前后左右4个座位之一上，问学生应当怎样交换座位？n（解答）这一问题是无解的，教室里共有63个座位，如

20、果你给座位编一下号（要连续编号），你会发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量不一样，所以无法交换。类似的方法可以巧妙地用于许多地方类似的方法可以巧妙地用于许多地方。例如：。例如：拟将一批尺寸为拟将一批尺寸为124的的商品装入尺寸为的的商品装入尺寸为666的正方体包装箱中，问是的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装入的该商品正好充满包装箱。否存在一种装法，使装入的该商品正好充满包装箱。解解 将正方体剖分成将正方体剖分成27个个222的小正方体，并的小正方体，并 按下图所示黑白相间地染色。按下图所示黑白

21、相间地染色。再将每一再将每一222的小正方体剖分成的小正方体剖分成111的小正的小正方体。方体。易见，易见，27个个222的正方体中，有的正方体中，有14个是黑的，个是黑的，13个是白的（或个是白的（或13黑黑14白），故经两次剖分，白），故经两次剖分，共计有共计有112个个111的黑色小正方体和的黑色小正方体和104个个111的白色小正方体。的白色小正方体。虽然包装箱的体积恰好是商品体积的虽然包装箱的体积恰好是商品体积的27倍，但倍，但容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占据据4个黑色和个黑色和4个白色的个白色的111小正方体的位置，小正方体的位置，

22、故商品不可能充满包装箱。故商品不可能充满包装箱。教学中尽量选用对学生有启发作用的的实例教学中尽量选用对学生有启发作用的的实例 （例）为什么要用三级火箭来发射人造卫星（例）为什么要用三级火箭来发射人造卫星1 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?（1 1）卫星能在轨道上运动的最低速度）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设：假设：（i i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星 在此轨道上作匀速圆周运动。在此轨道上作匀速圆周运动。（iiii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球

23、对卫 星的引力忽略不计。星的引力忽略不计。分析：分析：根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为:在地面有在地面有:得得:k=gR2 R R为地球半径，为地球半径，约为约为64006400公里公里 故引力故引力:假设(ii)dmm-dmvu-v假设(i)卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力故又有故又有:从而从而:设设g=9.81g=9.81米米/秒秒2 2，得，得:卫星离地面高度卫星离地面高度 (公里公里)卫星速度卫星速度 (公里公里/秒秒)1001002002004004006006008008001000

24、10007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86（2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 假设：假设：火箭重力及空气阻力均不计火箭重力及空气阻力均不计 分析：分析：记火箭在时刻记火箭在时刻t的质量和速度分别为的质量和速度分别为m(t)和和(t)有：有：记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），常数），由动量守恒定理：由动量守恒定理：0 0和和m m0 0一定的情况下，一定的情况下，火箭速度火箭速度(t)(t)由喷发由喷发速度速度u u及质量比决定。及质量比决定。故：故：由此解得：由此解

25、得：(3.11)（2 2）火箭推进力及速度的分析）火箭推进力及速度的分析 现将火箭现将火箭卫星系统的质量分成三部分：卫星系统的质量分成三部分：（i）mP（有效负载，如卫星）有效负载，如卫星）（ii）mF（燃料质量）燃料质量）（iii）mS（结构质量结构质量如外壳、燃料容器及推进器）。如外壳、燃料容器及推进器）。最终质量为最终质量为mP+mS，初始速度为初始速度为0，所以末速度：所以末速度：根据目前的技术条件和燃料性根据目前的技术条件和燃料性能，能，u只能达到只能达到3公里公里/秒，即使秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不发射空壳火箭，其末速度也不超过超过6.6公里公里/秒。秒。目前根本不目前根本

26、不可能用一级火箭发射人造卫星可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中量在燃料燃烧过程中不断减少，那不断减少，那么末速度能达到要求吗？么末速度能达到要求吗？2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假设：假设：记结构质量记结构质量mS在在mS+mF中占的比例为中占的比例为，假设火假设火箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以与与（1-）的比例同时减少。的比例同时减少。建模建模:由由 得到：得到：解得：解得：理想火箭与一级火箭最大的区

27、别在于，当火箭燃料理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，所以最终速度为：所以最终速度为：只要只要m0足够大，我们可以足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具使卫星达到我们希望它具有的任意速度。有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星计（按比例的粗略估计）发射卫星要使要使=10.5公里公里/秒才行，则可推秒才行，则可推算出算出m0/mp约为约为51,即发射一吨重的即发射一吨重的卫星大约需要卫星大约需要50吨重的理想火箭吨重的理想火箭 3 3

28、、理想过程的实际逼近、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统多级火箭卫星系统 记火箭级数为记火箭级数为n，当第当第i级火箭的燃料烧尽时，第级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用级火箭。用mi表示第表示第i级火箭的质量，级火箭的质量，mP表示有效负载。表示有效负载。先作如下假设：先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的设各级火箭具有相同的,即即i级火箭中级火箭中mi为结构为结构质量，（质量，（1-）mi为燃料质量。为燃料质量。（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比

29、值为并记比值为k k。考虑二级火箭：考虑二级火箭：由由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：该该假设有点强加假设有点强加的味道，先权作的味道，先权作讨论的方便吧讨论的方便吧又由假设（又由假设（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，仍设仍设u=3公里公里/秒，且为了计算方便，近似取秒，且为了计算方便，近似取=0.1，则可则可得：得：要使要使2=10.5公里公里/秒，则应使秒，则应使:即即k11.2，而而:类似地，可以推算出三级火箭：类似地，可以推算出三级火箭：

30、在同样假设下在同样假设下:要使要使3=10.5公里公里/秒，则秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而而（m1+m2+m3+mP）/mP77。三级火箭比二级火箭三级火箭比二级火箭几乎节省了一半几乎节省了一半 是否三级火箭就是最省呢是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。级、五级等火箭进行讨论。考虑考虑N N级火箭：级火箭：记记n级火箭的总质量（包含有效负载级火箭的总质量（包含有效负载mP）为）为m0，在在相同的假设下可以计算出相应的相同的假设下可以计算出相应的m0/mP的的值，见表值，见表3-2n（级数）级数）1 2 3 4

31、5 （理想）（理想）火箭质量（吨）火箭质量（吨）/149 77 65 60 50表3-2由于工艺的复杂性及每节火箭由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最算的，三级火箭提供了一个最好的方案。好的方案。当然若燃料的价钱很便宜当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。也可选择二级火箭。4 4、火箭结构的优化设计、火箭结构的优化设计 3 3中中已经能说过假设已经能说过假设(ii)(ii)有点强加的味道

32、；现去掉该有点强加的味道；现去掉该假设假设，在各级火箭具有相同在各级火箭具有相同的粗糙假设下，来讨论火箭的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。结构的最优设计。W1=m1+mn+mP W2=m2+mn+mPWn=mn+mPWn+1=mP记记应用（应用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度：记记则则又又问题化为，在问题化为，在n一定的条件下，求使一定的条件下，求使k1 k2kn最小最小解条件极值问题：解条件极值问题：或等价地求解无约束极值问题：或等价地求解无约束极值问题：可以解出最优结构设计应满足：可以解出最优结构设计应满足：火箭结构优化设计讨论中火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（

33、我们得到与假设（ii）相相符的结果，这说明前面的符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！讨论都是有效的！（三）竞赛准备（三）竞赛准备n组队应体现取长补短，准备应有分工组队应体现取长补短，准备应有分工（数学、算（数学、算法、编程、软件使用等）做题不在多而在精（我校一般要求法、编程、软件使用等）做题不在多而在精（我校一般要求每类至少各做每类至少各做2题）。题）。在做题过程中培养快速掌握未学过的知识的能力在做题过程中培养快速掌握未学过的知识的能力（MCM99C)n分析对比获奖论文的各种做法：分析对比获奖论文的各种做法：（1）找出每一篇的闪光点）找出每一篇的闪光点 （2）学习论文写作方法（各队可养成自己

34、的写作习惯）学习论文写作方法（各队可养成自己的写作习惯）n善于随时总结，找出出本队弱点，及时弥补盲点。善于随时总结，找出出本队弱点，及时弥补盲点。（四）指导竞赛的几点经验教训（四）指导竞赛的几点经验教训1.认真选题认真选题（例（例1）CMCM97(零件参数设计与截断切割）零件参数设计与截断切割）（例（例2）MCM2004（quick pass与校园网与校园网)（例（例3）MCM2010（A棒球杆、棒球杆、B系列犯罪预系列犯罪预测、测、C太平洋污染）太平洋污染）*题目本身有一定的局限性：登机问题，题目本身有一定的局限性：登机问题，SARS的预防等的预防等2.充分查阅资料充分查阅资料（例（例1）M

35、CM2000A题（自行车竞赛资料、题（自行车竞赛资料、自行车资料及赛场资料等）自行车资料及赛场资料等）（例（例2）MCM2004A题（指纹鉴定与题（指纹鉴定与DNA鉴定鉴定)指纹鉴定的原理、指纹的收集等指纹鉴定的原理、指纹的收集等（例（例3）小行星撞击地球）小行星撞击地球 陨石坑形状、南极的地貌与环境、地震与陨石坑形状、南极的地貌与环境、地震与海啸、南极附近海域的生态状况等，在此海啸、南极附近海域的生态状况等，在此基础上找出解决问题的主攻方向基础上找出解决问题的主攻方向3.解答要符合题意，要有清晰的思路，解答要符合题意，要有清晰的思路，要有总体安排要有总体安排 （例（例1）MCM2004B(q

36、uick pass)（例（例2）灾情巡视）灾情巡视 （例（例3）SARS预防预防 （例（例4）2004浙大竞赛浙大竞赛B题题 通讯卫星的开关设计通讯卫星的开关设计（部分同学查阅资料不够、部分同学对开关理解有（部分同学查阅资料不够、部分同学对开关理解有误）误）注：本题将在最后讲解注：本题将在最后讲解4.要找准突破口，使研究步步深入要找准突破口，使研究步步深入 例例1：MCM99C题题 （污染物传播方式（污染物传播方式地下水水平面方程地下水水平面方程数值解，关于打井方法的建议）数值解，关于打井方法的建议）例例2：蝉的共鸣（假设：每一只蝉的鸣叫都会：蝉的共鸣（假设：每一只蝉的鸣叫都会影响其它蝉的鸣叫

37、影响其它蝉的鸣叫产生共鸣）产生共鸣）课堂教学中要求学生抓住主线、步步深入课堂教学中要求学生抓住主线、步步深入（例）（例）崖高的估算崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。方法一方法一假定

38、空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，来计算。例如，设设t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，则可求得，则可求得h78.5米。米。我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属属空气阻力空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系速度，阻力系 数数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：为常数，因而，由牛顿第二定律可得：令令k=K/m，解得解

39、得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 再积分一次，得：再积分一次，得：若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒，则可求秒，则可求 得得h73.6米。米。听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间 为为0.1秒秒，假如仍，假如仍 设设t=4秒，扣除反秒，扣除反应时间后应应时间后应 为为3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。多测几次，取平均值多测几次，取平均值再一步深入考虑再一步深入考虑再一步

40、深入考虑再一步深入考虑代入初始条代入初始条 件件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：，得到计算山崖高度的公式：将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+，即可，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间的真正时间 为为t1，声音传回来的时间记，声音传回来的时间记 为为t2，还得解一个，还得解一个方程组：方程组：这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不太容易，解不太容易，为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线

41、性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340，校正，校正t，求石，求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例如，若若h=69.9米，则米，则 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。例例4 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为我方巡逻艇，并迅速

42、下潜逃逸。设两艇间距离为6060哩，潜水艇最哩，潜水艇最大航速为大航速为3030节而巡逻艇最大航速为节而巡逻艇最大航速为6060节，问巡逻艇应如何追赶潜节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。水艇。显然，这是一个对策问题，较为复杂。仅讨论以下简单情形：显然，这是一个对策问题，较为复杂。仅讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追赶方案的设计）（追赶方案的设计）设巡逻艇在设巡逻艇在A处发现位于处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以处的潜水艇，取极坐标，以B为极为极点，

43、点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r()，见图见图3-2。BAA1drdsd图3-2由题意，由题意，故，故ds=2dr图图3-2可看出，可看出，故有故有:即即:（3.3）解为：解为：（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然然后按后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。对数螺线航行，即可追上潜艇。追赶方法如下：追赶方法如下：5.要区分问题与实例要区分问题与实例 （例）灾情巡视（例）灾情巡视（Multi-TSP近似算近似算法？）法？）算法算法1 步步1 求最小生成树求最小生成树

44、T，（注：求最小，（注：求最小生成树有不少生成树有不少O(n2)算法）。算法）。步步2 doubling 步步3 shortcut A(I)2OPT(I)算法算法2步步1 求最小生成树求最小生成树步步2 求奇顶点间的一个最小权匹配求奇顶点间的一个最小权匹配（化为欧拉圈）（化为欧拉圈）步步3 Shortcut B(I)1.5OPT(I)但利用上述两算法求解均不能得但利用上述两算法求解均不能得奖，因因为要解的只是要解的只是TSP的一个的一个实例例6.算法要好算法要好例例（整理问题）给定（整理问题）给定n个实数个实数a1,a2,an，要求，要求将它整理成由小到大排列（或由大到小排列）的将它整理成由小

45、到大排列（或由大到小排列）的顺序：顺序：b1,b2,bn，b1 b2 bn。（算法（算法1与算法与算法2的比较）的比较）多项式算法与指数算法，多项式算法与指数算法，P问题与问题与NP难题难题（1）P问题：问题：计算量要少（完成后应进一步考虑能否再节省计计算量要少（完成后应进一步考虑能否再节省计算量）算量）一般应有计算量分析等一般应有计算量分析等（2）NP难问题：求解实例的精确算法与近似算法难问题：求解实例的精确算法与近似算法7.算法思想的叙述应注意简单清晰算法思想的叙述应注意简单清晰 （例）（例）CMCM99A（自动化机床管理）（自动化机床管理）8.论文是研究成果，要反复修改论文是研究成果，要

46、反复修改 写论文要早开始写论文要早开始 论文要写得像论文论文要写得像论文 论文的各部分都要注意到论文的各部分都要注意到9.赛后要反思，认真总结本队参赛的经验教训。赛后要反思，认真总结本队参赛的经验教训。（阅卷中常见的一些问题）（阅卷中常见的一些问题）（1）假设提得不好（）假设提得不好（CMCM96B洗衣机节水洗衣机节水的阅卷，餐馆洗碗）的阅卷，餐馆洗碗）（2）论文摘要未包含主要研究结果；）论文摘要未包含主要研究结果；有头无尾有头无尾 （3）问题重述变成重抄题目）问题重述变成重抄题目 （4）建模部分变成模型罗列（）建模部分变成模型罗列（Malthus等模等模型各有各的用处）型各有各的用处）（5）

47、算法叙述混乱、不精炼（对比）算法叙述混乱、不精炼（对比TSP）（6）文章杂乱无章、错字连篇，一看就知道）文章杂乱无章、错字连篇，一看就知道未好好组织，未留有充分时间仔细修改未好好组织，未留有充分时间仔细修改（一个建模实例）（信息的度量及应用）（一个建模实例）（信息的度量及应用）n现代社会离不开信息，一条消息究竟包含了多少信现代社会离不开信息，一条消息究竟包含了多少信息，怎样计算信息量的大小呢？就像不解决温度的息，怎样计算信息量的大小呢？就像不解决温度的度量就不可能建立起热力学一样，不解决信息量的度量就不可能建立起热力学一样，不解决信息量的度量问题就不可能建立起信息论科学。获取有用的度量问题就不

48、可能建立起信息论科学。获取有用的信息应当有助于我们对某一问题的了解，这就是说，信息应当有助于我们对某一问题的了解，这就是说，获取信息是为了消除不确定性，对于我们已经了解获取信息是为了消除不确定性，对于我们已经了解的事情，没有必要再去获取什么信息。基于这一想的事情，没有必要再去获取什么信息。基于这一想法，美国贝尔实验室的香农采用了多少有点像欧几法，美国贝尔实验室的香农采用了多少有点像欧几里得创建平面几何那样的方法，利用逻辑推理方法里得创建平面几何那样的方法，利用逻辑推理方法解决了信息的度量问题。首先，他在严密分析的基解决了信息的度量问题。首先，他在严密分析的基础上提出了几条不加证明而采用的公理，

49、进而，他础上提出了几条不加证明而采用的公理，进而，他在这些公理的基础上运用数学知识推导出了计算信在这些公理的基础上运用数学知识推导出了计算信息量大小的公式。他的具体做法如下：息量大小的公式。他的具体做法如下：n（几条公理）（几条公理）（1）信息量是该事件发生概率的连续函数）信息量是该事件发生概率的连续函数（2）如果事件）如果事件A发生必有事件发生必有事件B发生，则得知发生，则得知事件事件A发生的信息量大于或等于得知事件发生的信息量大于或等于得知事件B发发生的信息量。生的信息量。（3）如果事件）如果事件A和事件和事件B的发生是相互独立的，的发生是相互独立的，则获知则获知A、B事件将同时发生的信息

50、量应为单事件将同时发生的信息量应为单独获知两事件发生的信息量之和。独获知两事件发生的信息量之和。（4）任何信息的信息量均是有限的）任何信息的信息量均是有限的定理定理 满足公理满足公理1公理公理4的信息量计算公式为的信息量计算公式为I(M)=Clogap，其中其中C是任意正常数，对数之底是任意正常数，对数之底a可取任意为不为可取任意为不为1的正实的正实数。数。证明证明:由由公理公理1 I(M)=f(p)，函数函数f连续连续。由由公理公理2 若若A发生必有发生必有B发生，则发生，则pApB，有有f(pA)f(PB)，故函数故函数f是单调不增的是单调不增的。由公理由公理3 若若A、B是两个独立事件，