第四章：期货.ppt

《第四章：期货.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章：期货.ppt（105页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第四章期货主要内容n股指期货n外汇期货n利率期货n期货的套期保值应用n久期股票指数n以某种数学方法求出的，用于反映任何时候股票市场相对水平的一种数字n简单平均：n加权平均：例：简单平均（股价加权平均）n某指数由A、B、C三个股票构成：n定义2000年1月1日为基准日，基准日指数定为100。当天股价分别为：nPA=10,PB=15,PC=25(元)n可得：divisor=0.5n到2001年1月1日的当天股价分别为：nPA=16,PB=20,PC=60(元)n到2001年1月1日的指数值为：nIndex=(16+20+60)/0.5=192n股价加权平均:n指数收益率=60%*0.2+33.3%

2、*0.3+140%*0.5=92%nIndex=100*(1+92%)=192例：加权平均（市值加权平均）n若上例中股票指数按加权平均法计算nA、B、C三个公司的股票数分别为：nNA=20.0，NB=2.5，NC=0.5n可得：divisor=2.5n则2001年1月1日的指数值为：nIndex=(16*20+20*2.5+60*0.5)/2.5=160n市值加权平均：指数收益n=60%*0.8+33.3%*0.125+140%*0.075=60%nIndex=100*(1+60%)=160简单平均和加权平均的比较n简单平均法的优点：简单n简单平均法的缺点n小公司股价变化对指数影响太大n高价股

3、股价变化对指数影响太大n采用简单平均法的著名指数nDow Jones 30种工业平均指数n日经225指数n采用加权平均法的著名指数nS&P500指数n伦敦金融时报100种股票指数（FTSE100）n沪深300指数是由上海和深圳证券市场中选取300只A股作为样本编制而成的成份股指数。n沪深300指数样本覆盖了沪深市场六成左右的市值，具有良好的市场代表性。沪深300指数是沪深证券交易所第一次联合发布的反映A股市场整体走势的指数。部分股票指数值股指期货及其交割n股指期货的标的商品n如何交割？n数字？n股票组合？n现金？n例：合约的规定nS&P500:250美元nFTSE100：25英镑nNikkei

4、225:1000日元股指期货的定价n无风险套利定价方法n前提：n完美市场n任何无风险套利机会因套利活动而消失n结论：n任何的无风险投资将获得，而且只能获得与无风险利率相同的收益率股指期货的定价n定价过程n策略n买入一个股票组合。该组合中成分股与构成指数的成分股的结构比例完全相等，股票组合的总市值等于按当时的实际股票指数计算的一份期货合约的面值n同时出售一份股指期货合约n持有上述期货合约头寸及股票组合，并将收到的任何股息进行无风险投资n在期货到期日进行结算，同时卖出股票组合股指期货的定价（cont.）n定价过程n策略的投入与产出：n投入（t时刻）：Sn产出（T时刻）：F+Der(T-t)n结果n

5、F=(S-D)er(T-t)例：股指期货的定价n假设n2008年6月20日S&P500指数为1318点n当时3个月期无风险利率为2%n估计S&P500指数组合在未来3个月内将要发放的红利的现值折算成指数点约为6点n则9月20日到期的S&P500指数期货的价格应为：股指期货的作用n股票投资中的系统风险n股指期货的套期保值作用n股指期货交易相比于股票现货交易的优势n无须直接购买股票即可获得股票市场的收益n以低成本获得相当于高度分散化的股票组合n提供投资杠杆n提供方便的做空机制汇率n以一个国家的货币表示的另一个国家的货币的价格n直接标价法和间接标价法n即期汇票和远期汇率n远期升水（forward p

6、remium）:远期汇率高于即期汇率n远期贴水（forward discount）:远期汇率低于即期汇率n决定汇率的因素n两国的物价水平n两国的预期通货膨胀（购买力平价，解释长期变化）n两国的利率（利率平价关系，解释短期变化）n政府对本国货币的控制程度部分货币汇率汇率的利率平价关系n考虑两种货币（如日元和美元），设：n即期汇率：n日元的一年期无风险利率：n美元的一年期无风险利率：n套利机会？n一年期远期汇率：n均衡（套利机会消失）平价关系：货币期货及其作用n也称外汇期货，其标的商品是某种外汇n最早的金融期货品种n主要作用n规避汇率变动引起的风险n在汇率变动投机n外汇期货与远期外汇例：利用货币期

7、货套期保值n背景n美国出口商收到英国来的一张订单，订购价值100万英镑的商品n出口商测算，这批商品在美国组织货源并运送到英国总共的成本花费约为150万美元n150万美元要立即支付n销售收入100万英镑要半年后才能收到n现在的即期汇率为1.8（美元/英镑）n美元利率为10%（借贷均为无风险利率）例：利用货币期货套期保值（cont.）n出口商测算：n现在借150万美元做成这笔交易，半年后应偿还：150*（1+0.5*10%）=157.5万美元n如果半年后汇率保持为1.8，收到100英镑可兑换为180万美元，可获净利：180-157.5=22.5万美元n问题：汇率会保持不变吗？例：利用货币期货套期保

8、值（cont.）n套期保值方法n出售100万英镑期货n设半年后到期的期货的协议汇率为1.75n情况1：半年后英镑汇率降为1.5n收到的100万英镑仅能兑换150万美元n期货市场上的操作获得25万美元的收益n总共收入175万美元例：利用货币期货套期保值（cont.）n情况2：半年后英镑的汇率升到2.0n收到的100万英镑将能兑换200万美元n期货市场上的操作中亏损25万美元n总收入仍为175万美元n结果n确保收入175万美元n偿还157.5万美元的贷款本利和n确保可获得17.5美元的净利例：在汇率变动上投机n预测:n英镑汇率将从1.8上升到2.0n当前期货价格为1.75n投资n购买英镑，半年后出

9、售n投机：n购买英镑期货，半年后平仓n 差异：n头寸的数量货币期货的定价n也就是指协议汇率，即远期汇率的确定。n设：（美元为本币，用直接标价法）nS：以美元表示的一单位外汇的即期价格（即期汇率）nF：以美元表示的一单位外汇的远期价格（远期汇率）nr：为美元的无风险利率nrf：为外汇的无风险利率货币期货的定价(cont.)n考虑以下两种组合：nA.一个期货多头加上Fe-r(T-t)单位的美元nB.e-r(T-t)单位的外汇货币期货的定价(cont.)n结果n在到期时刻T，两个组合的价值都等于1单位的外汇n因此它们在t时刻的价值也应该相等：nFe-r(T-t)=Se-rf(T-t)n外汇期货的定价

10、公式（用连续复利的形式表示的利率平价关系）：nF=Se（r-rf）(T-t)即期利率和远期利率n即期利率n现在起开始计算的利率n远期利率n从将来某一时刻开始计算的利率n例：n1年期的即期利率为10%n2年期的即期利率为10%n1年后的1年期远期利率为10%n1年后的2年期远期利率为10%远期利率的计算n根据不同期限的即期利率n无套利原则n例：n已知1年期的即期利率为10%n已知2年期的即期利率为10.5%n求1年后的1年期远期无风险利率。n（均为按连续复利计算的无风险利率）利率期限结构n不同期限的利率n市场利率的来源n附息票债券和零息票债券n零息票收益率曲线n描述即期利率（即零息票债券利率）与

11、期限之间关系的曲线中长期国债期货nCBOT的美国国债期货合约n标的资产n最低有效期限15年的国债券n合约规模n面值10万美元的长期国债美国国债现货的交易n报价习惯n美元和1/32美元n例如：95-16n现金价格n现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息n累计利息n累计利息=每次利息数额*上一个付息日以来的天数/两次付息之间的天数期货的报价n同现货报价方法n报价最小变动单位n1/32美元n合约最小变动价值n31.25美元转换因子n为什么允许交割不同的债券？n交割不同的债券有什么问题？n交割：n空头方收到的现金=期货报价*交割债券的转换因子+交割债券的累计利息转换因子(cont.)n转换因子的计

12、算n将用于交割的债券的所有现金流按年利率为6%（半年复利一次）折现到交割月份的第一天的价值，除以其面值n为了便于计算，债券的有效期限和距付息的时间取整数到最近的3个月。例：转换因子的计算n某债券息票率为8%，交割月距债券到期日还有20年零2个月n为了计算转换因子，设该债券距到期日还有整20年，n按6%的贴现率计算，面值为100的该债券的现值为n除以面值，得转换因子为1.2311交割债券期货的成本n转换因子与息票率n息票率6%，转换因子1n息票率6%，转换因子1n空头方收到的现金n期货报价*转换因子+累计利息n购买债券的成本n债券报价+累计利息n交割成本n债券报价-期货报价*转换因子交割债券的选

13、择n用不同的债券交割有没有区别？n最廉交割债券（cheapest-to-deliver bond）n使交割成本最低的债券例：最廉交割债券n已知在交割时，期货报价为93-08，即93.25，可供交割的债券及转换因子如下：例：最廉交割债券（cont.）n每种债券的交割成本分别为n债券1:99.5-93.25*1.0382=2.69n债券2:143.5-93.25*1.5188=1.87n债券3:119.75-93.25*1.2615=2.12n可见债券2是最廉交割债券。交割时机的选择n空头方可在交割月中任一交易日的下午8点以前可以下达交割通知n国债期货合约于下午2点停止交易n国债现货到下午4点才停

14、止交易n交割应付价格（期货价格）以当天下午2点以前的结算价格计算。交割时机的选择(cont.)n选择权n如果2点以后债券现货价格下降，空头方就可以购买交割最便宜的债券，并发出交个通知n如果债券价格没有下降，则可以保持头寸n选择权代价n期货价格略低于没有选择权的相应合约长期国债期货的定价n不易精确定价n原因：空方交割时机和交割债券的选择权n近似：n假定已知交割日期和交割最便宜债券n类似股票期货：F=(S-I)er(T-t)n不能确定交割最便宜债券或交割日期n因空方有选择权，所以可确定期货价格的上限n因交割债券选择权和交割时机选择权的估价很困难，期货价格的下限很难估计n3、中长期国债期货的价格：n

15、长期国债期货合约是合约的标的资产可向其持有者提供已知的收益。n其中I是期货合约有效期内息票利息的现值，T是期货合约的到期时刻，t是现在的时刻，r是在t和T的期间内适用的无风险利率。nF是期货的现金价格(cash futures price)，S是债券的现金价格(cash bond price)。n4、期货报价的过程：n(1)根据报价计算交割最便宜的债券的现金价格。n(2)运用以上公式根据债券的现金价格计算期货的现金价格。n(3)根据期货的现金价格计算出期货报价n(4)考虑到交割最便宜的债券与标准的15年期8的债券之间的区别，将以上求出期货报价除以转换因子。n例：假定某一国债期货合约，已知交割最

16、便宜的债券的息票利率为12，转换因子为1.4000。假定270天后进行交割。债券息票每半年付息一次。如下图所示，上一次付息是在60天前，下一次付息在122天后，再下一次付息是在305天后。利率期限结构是平坦的，年利率为10(连续复利)。我们假定当时债券的报价为$120。求标准期货合约的报价。n解：n现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息 =120+12/2*60/(60+122)=121.978 n期货的现金价格 在122天后(=0.3342年)将会收到$6的利息。则利息的现值为：6e0.33420.1=5.803 期货合约还要持续270天(=0.7397年)。如果期货合约标的资产为12的

17、债券，则其期货现金价格为：F=(S-I)er(T-t)=(121.978-5.803)e0.7397=125.094n在交割时，有148天的累计利息。如果合约标的资产为12的债券，则其期货的报价为：125.0946148/(148+35)=120.242n事实上，期货合约是基于8的标准债券的，而每一个12的债券等同于1.4000个8的标准债券。因此标准期货合约的报价应为：-120.242/1.4000=85.887短期国债期货n标的资产：n90天期的美国短期国债n合约规模：n面值1百万美元短期国库券期货n 短期国债现货的报价n短期国债的报价是指面值为$100的短期国债的标价。n短期国债是贴现发

18、行的债券。其现货是以贴现率报价。假定Y是面值为$100、距到期日还有n天时间的短期国债的现金价格。其报价为：（100-Y）360/n.n当期限为90天时，公式简化为：4（100Y）n现货报价实际上是面值为100国债的年贴现额n美国短期国债是按：实际天数/360 的惯例来计息的。n例：对于一个90天的短期国债，如果现货价格Y为98，则报价为8.00。n、短期国债期货的报价n在期货市场上，国库券期货的价格是以“指数”(index)方式报出的。n所谓“指数”，是指100减去国库券的年贴现率。n例如，当国库券的年贴现率为5时，期货市场即以95报出国库券期货价格；而当国库券的贴现率为6时，则期货市场就以

19、94报出其期货价格。n短期国债期货报价=100-相应现货的报价n当为90天的短期国债时：n短期国债期货的报价：Z=100-4(100-Y)n即：Y=100-0.25(100-Z)n例：短期国债期货收盘报价为94.44,则对应每张面值为$100的90天的短期国债现价格为：100-0.25(100-94.44)=$98.61短期国债现货的报价n报价不同于现金价格n360/n*(100-Y)n贴现率与实际收益率n短期国债期货的报价n=100-相应的短期国债的报价n=100-4*（100-Y）n2、最小变动价位：1个基点n所谓“一个基本点”是利率的报价单位，1个基点=0.01个指数点，即贴现率变动0.

20、01%。n国库券期货的最小变动价位即为其年贴现率变动0.01，用指数表示为变动0.01n一个基本点代表的价值变动为(1000000(0.01/100)31225美元)，因此，每一个最小价位刻度代表的合约价值为25美元。短期国债期货定价n无套利定价原则：n短期国债期货价格中隐含的远期利率应该等于短期国债本身所隐含的远期利率n远期利率nRF=R2*（n+90）-R1*n/90n即期利率和远期利率 nn年期即期利率是从今天开始计算并持续n年期限的投资的利率。并且，该投资中间不应有利息支付，因此也被称为n年期零息票收益率。n远期利率是由当前即期利率隐含的将来一定期限的利率。n结论：当这些利率是连续复利

21、，并且将相互衔接的各时间段的利率组合在一起时，整个期间的等价利率是这些利率的简单算术平均值。当这些利率不是连续复利时，这个结果近似成立。T*年期的即期利率r*0TT年期的即期利率rT*-T时段的远期利率rT*推导：n根据远期利率为短期国债期货估值n 1、定价：n假定现在是0时刻，标的短期国债面值为$100，其他假设如图。T*-T=90天n在时刻T*，标的资产的价值为$100，其在0时刻的现值为：r*0合约到期合约到期T rr标的资产到期标的资产到期T*n根据不支付收益证券期货的定价公式,得 n因此，在已知T*、T、r、r*的条件下，可以求出r，再求出F。例：短期国债期货定价n已知（以下均为连续

22、复利）n140天期的年利率为8%n230天期的年利率为8.25%n求140天后交割的短期国债期货的报价n远期利率nRF=（8.25%*230-8%*140）/90=8.64%n现金价格100*exp(-8.64%*90/365)=97.89n期货报价n100-4*(100-97.89)=91.56n套利n当通过较长期和较短期的即期利率（r、r*）计算出来的远期利率（r）与短期国债期货价格中隐含的远期利率（短期国债期货的贴现率）不相等时，就存在套利机会。n（1）第1类套利:当通过较长期和较短期的即期利率（r、r*）计算出来的远期利率（r）大于短期国债期货价格中隐含的远期利率。n说明期货价格被高估

23、，则卖出期货，同时借入较短期资金进行较长期投资，这称为第1类套利。n例：45天期短期国债的年利率为10，135天期短期国债的年利率为10.5，还有45天到期的短期国债期货价格对应的隐含远期利率为10.6(所有的利率均为连续复利率，计息基础为实际天数实际天数)。有否套利机会？如何套利？n解；根据公式(4.1)，在45天到135天中，短期国债本身隐含的远期利率为：n(13510.54510)90=10.75%n这就高于短期国债期货价格中隐含的10.6远期利率。有套利机会。n套利：套利者应在45天到135天的期限内以10.6的利率借入资金并按10.75的利率进行投资。n套利策略：n 卖空期货合约。n

24、 10的年利率借入45天的资金。n 将借入的资金按10.5的利率进行135天的投资。n该策略的第一个交易确保在45天后，能够卖出收益率为10.6的短期国债。n实际上，它将这一段时间内的借款利率锁定为10.6。n该策略的第二个和第三个交易确保了在这一段时间内，收益率为10.75。n即：投机者用10.6支付代替了10.75的支付。n（2）第2类套利:当通过较长期和较短期的即期利率（r、r*）计算出来的远期利率（r）小于短期国债期货价格中隐含的远期利率。n说明期货价格被低估，则买入期货，同时借入较长期资金进行较短期投资，这称为第2类套利。n例：45天期短期国债的年利率为10，135天期短期国债的年利

25、率为10.5，还有45天到期的短期国债期货价格对应的隐含远期利率为10.80。有否套利机会？如何套利？n解；根据公式(4.1)，在45天到135天中，短期国债本身隐含的远期利率为：n(13510.54510)90=10.75%n这就低于短期国债期货价格中隐含的10.80远期利率。有套利机会。n套利：套利者应在45天到135天的期限内以10.75的利率借入资金并按10.80的利率进行投资。n套利策略：n买入期货合约。n以10.5的年利率借入期限为135天的资金。n将借入的资金以10.0的利率进行为期45天的投资。欧洲美元n欧洲美元n存放在美国银行的海外分行或外国银行的美元n本质上是存款，而不是外

26、汇n欧洲美元的报价实际利率nLIBORn略高于相应期限的短期国债利率欧洲美元期货n标的n欧洲美元nCME交易的3个月期欧洲美元期货是最活跃的短期利率期货合约之一，合约的规模为面值1百万美元。n欧洲美元期货的报价nZ=100-R欧洲美元期货（cont.）n现金结算n结算价格：10000*（100-0.25R）n其中R=100-Z，为当前期货价格中反映的远期利率n定价n按远期利率例：欧洲美元期货n考虑3月15日到期的3个月期欧洲美元期货。n投资者在2月1日购买一份期货n购买时的期货价为94n2月2日收盘时期货的报价为95n则2月2日该投资者的保证金账户余额将增加10000*100-(100-95)

27、/4-100-(100-94)/4=2500(美元)例：欧洲美元期货（cont.）n最终到期时n欧洲美元利率的报价为8，则相应的期货报价为92n该投资者的累计盈亏（不考虑时间价值）为10000*100-(100-92)/4-100-(100-94)/4=5000(美元)套期保值n为什么可以用期货套期保值？n空头套期保值（short hedge）n要在将来某时刻出售某一资产，则通过持有期货合约的空头头寸来对冲风险n多头套期保值（long hedge）n要在将来某时刻购买某一资产，则通过持有期货合约的多头头寸来对冲风险套期保值的理想境界n结果完全确定n达不到完全理想状态的原因：基差风险（basis

28、 risk）n基差（basis）=现货价格-期货价格n设：nS1，S2分别为t1和t2时刻的现货价格nF1，F2分别为t1和t2时刻的期货价格nb1，b2分别为t1和t2时刻的基差n则b1=S1-F1,b2=S2-F2,基差风险（basis risk）（cont.）n考虑一空头套期保值者：n计划在t2时刻出售现货资产n从t1时刻起持有期货的空头，出售期货时的价格是F1n到t2时刻平仓，平仓时的期货价格是F2基差风险（basis risk）（cont.）n结果n在期货头寸上的盈亏为F1-F2n在t2时刻出售现货资产得到S2n经套期保值后，其资产出售获得的有效价格为：S2+F1-F2=F1+b2n

29、不确定性的来源nb2n基差风险由于未来的基差未知所带来的不确定性基差风险（例）期货合约的选择n选择期货合约的标的资产n期货价格应当与被保值资产的价格有最好的相关性n选择交割月份n太远：基差大n套期保值到期日之后最接近的交割月的合约最佳套期比率n考虑一持有一个现货资产头寸的套期保值者，用h个期货头寸进行套期保值n记号：nS：套期保值期限内现货价格的变化nF：套期保值期限内期货价格的变化nS：S的标准差nF：F的标准差n：S和F的相关系数nh：套期比率最佳套期比率（cont.）n套期保值期间头寸价值的变化nS-h Fn其方差为：nVar=S 2+h 2F 2-2S h F n套期保值的目的：nVa

30、r尽可能小n使Var最小的h：（最佳套期比率）nh=S/F n理想套期保值的条件：=+（-）1最佳套期比率久期（Duration）n债券的到期日和投资的实际期限n不同息票债券的差异n久期的定义久期的意义n久期反映了利率的变化引起的债券价格的百分比变化n久期衡量的是债券价格对市场利率变动的敏感性。久久期衡量的是债券价格对市场利率变动的敏感性。久期的直观意义是表示持有者收到现金流的平均时间。期的直观意义是表示持有者收到现金流的平均时间。债券组合的久期n设：组合P=X+Yn组合的久期n构成组合的债券的久期的加权平均基于久期的保值策略n原则构造久期为零的组合n利用利率期货n设nF为某种利率期货合约的价

31、格，即期价格nDF为期货合约标的资产的久期nS为需要套期保值的资产的价格，其价格与利率有关nDS为需要套期保值的资产的久期基于久期的保值策略n构建一个组合：P=S nFn则：n选择 可得n即：该组合的价值不受利率变化的影响。这就是基于久期的对冲比率。有时我们也将它称这就是基于久期的对冲比率。有时我们也将它称为价格敏感的对冲比。按照这种方法对冲债券价格为价格敏感的对冲比。按照这种方法对冲债券价格风险，它可使整个头寸的久期为零。当用于对冲的风险，它可使整个头寸的久期为零。当用于对冲的工具是工具是 长期国债期货合约时，对冲者必须以长期国债期货合约时，对冲者必须以 ，为基础假设交割某个特殊的债券。这意

32、味着在实施为基础假设交割某个特殊的债券。这意味着在实施对冲的时刻，对冲者必须估计哪一种合适的债券可对冲的时刻，对冲者必须估计哪一种合适的债券可能是最便宜交割的债券。以后，如果利率环境发生能是最便宜交割的债券。以后，如果利率环境发生变化以至于另外一个不同的债券看起来是变化以至于另外一个不同的债券看起来是最最便宜便宜 交交割债券的话，对冲的效果也许比预期的要差。割债券的话，对冲的效果也许比预期的要差。例：基于久期的保值n背景：n某公司计划3个月后发行面值1000万的5年期债券，息票率为7%，当前市场利率6%n担心市场利率上升，拟出售3个月期的长期国债期货n设：国债期货标的为面值10万，息票率6%的

33、15年期国债n设：企业债和国债均为每半年付息1次n设：市场利率期限结构平坦，以连续复利形式表示例：基于久期的保值（cont.）n预计结果n企业债价格：S=103.868 （按现行市场利率6%计算）n可筹资额：1038.68万n保值策略n国债期货价格：F=99.114（按现行市场利率6%计算）n企业债久期：DS=4.32年n国债久期：DF=10.07年n保值比率：n=SDS/FDF=(103.868*4.32)/(99.114*10.07)=0.45n出售0.45*1000/10=45份国债期货例：基于久期的保值（cont.）n结果1n3个月后市场利率上升到6.5%n企业债价格：S=101.65

34、1（按现行市场利率6.5%计算）n发债筹资额：1016.51万n国债期货价格：F=94.28（按现行市场利率6.5%计算）n期货赢利：45*1000*（99.114-94.28）=217530元n有效筹资额：1016.51+21.75=1038.26万n与预计结果的偏差：（1038.26-1038.68）/1038.68=-0.04%例：基于久期的保值（cont.）n结果2n3个月后市场利率上升到7.5%n企业债价格：S=97.371（按现行市场利率7.5%计算）n发债筹资额：973.71万n国债期货价格：F=85.486（按现行市场利率7.5%计算）n期货赢利：45*1000*（99.114

35、-85.486）=613260元n有效筹资额：973.71+61.33=1035.04万n与预计结果的偏差：（1035.04-1038.68）/1038.68=-0.35%久期的局限性1凸度n债券价格与利率的关系n凸度的定义n久期与凸度同时匹配n久期的概念为利率风险管理提供了一个可行的方久期的概念为利率风险管理提供了一个可行的方法。然而，它所提供的套期保值并不完美。这主法。然而，它所提供的套期保值并不完美。这主要有两方面的原因。首先涉及凸性的概念。其次，要有两方面的原因。首先涉及凸性的概念。其次，涉及收益曲线平移的基本假定。涉及收益曲线平移的基本假定。n对于收益率曲线的一个很小的平移，组合价值

36、的对于收益率曲线的一个很小的平移，组合价值的变动只取决于它的久期变动只取决于它的久期。当考虑到利率发生中等当考虑到利率发生中等或重大变化时，此时所谓的凸性因素就变得重要或重大变化时，此时所谓的凸性因素就变得重要了。通过研究具有相同久期的两个证券组合其价了。通过研究具有相同久期的两个证券组合其价值百分比和收益率变化之间的关系，我们发现，值百分比和收益率变化之间的关系，我们发现，当收益率发生很小变化时，两个组合价值变化的当收益率发生很小变化时，两个组合价值变化的百分比相同，这就与公式百分比相同，这就与公式久期的局限性1凸度久期的局限性2非平行移动n平坦的利率期限结构n长期利率与短期利率的变化n划分区间对冲