信号与系统第五章1.ppt

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1、第五章第五章 CTS 的复频域分析的复频域分析 5.1 引言引言FT 分析法的不足之处：1.一般只能处理符合狄利希莱条件的信号。e t(t)(0）不存在有FT。2.反FT积分的求解困难。3.只能确定零状态响应。频域复频域共同点：线性系统具有迭加性与齐次性。主要区别：信号份解的基本单元不同，在中是虚指数信号e jt或cost;而在 L T 中是 e s t 或 e t cost。5.2 拉普拉斯变换（拉普拉斯变换（LT）5.2-LT 的定义收敛因子e-t。使得 t 时，f(t)e-t 0,t -时，f(t)e-t 0 f(t)e t 1e-t0te(-)t (t)e-t1f(t)e-t0t一种存

2、在有双边LT的函数例：乘以收敛因子后，有f(t)e-t=e-tt 0e(-)t t 0只要 0t 0(51a)(51b)(52)它是 +j 的函数，可写成F(+j)的付氏反变换令 s=+j,并称之为复频率,从而 ds=jd,当=时,s=j ,于是有f(t)e-t=-1 F(+j)=故和(54)(53)双边拉普拉斯变换式或广义付氏变换式；F(s)-拉普拉斯变换（象函数），f(t)-原函数Fd(s)=d f(t)f(t)=-1Fd(s)d若 t 0 时，该极限等于零，则f(t)e-t 在 0 的全部范围内是收敛的。即 0 0 为 收敛条件。（5-8）j 00S平面收敛轴收敛坐标收敛区举例：指数阶函

3、数1.单个脉冲信号推知：凡有始有终，能量有限的信号，其收敛坐标位于-，整个S 平面都属 于收敛区。既有界的非周期信号的LT一定存在。2.单位阶跃信号 0收敛区为 S 平面的右半平面。3.指数函数 a(a-)a 5.3-2 双边LT 的收敛区f(t)=f1(t)f2(t)t 0t 0时的函数f 1(t)，是收敛区的左边界，以+表示；另一个决定于t+，则上式中两个积分有公共收敛区，双边LT存在；如果-+，则无公共收敛区，双边LT不存在。例：设已知f(t)=f1(t)f2(t)t 0t 0=1=e t求f(t)的双边LT的收敛区。解：只求收敛域，故将S简写成 即可-1 0，即 +，故公共收敛区为 0

4、 a)（5-9）(a)单位阶跃函数 (t)令式（5-9）中a=0,则得 (t)=1s（5-10）(b)正弦函数 sin t sin t=（5-11）(d)衰减正弦函数e-a t sin t e-a t sin t=（5-12）(f)双曲线正弦函数 sh t sh t=(e t e-t)12 sh t=s2-2（5-13）2.t 的正幂函数 t n(n 为正整数)t n=对上式进行分部积分，令u=t n,d v=e s t dt则 t n=t n-1 ns依此类推，得 t n=t n-1 ns=nsn-1s t n-2 nsn-1s=n-2s2s1s1s=n!s n+1（5-14）（5-15）当

5、 n=1 时，有 t=1s23.函数 te a t一个函数 f(t)与指数函数 e a t 乘积的LT，等于函数 f(t)的LT 中以 s+a 代替s 所得的结果。证：f(t)e a t=由此及上例的结果，得 f(t)e a t=1/（s+a）24.冲激函数 A(t)由得 A(t)=若 A=1，即得 (t)=1f1(t)f2(t)f3(t)111000e a te a te a te a t(a)(b)(c)三个具有相同单边 LT 的函数F(s)=1s+a -1 1s+a=e a t(t 0)5.5 拉氏反变换拉氏反变换1.部分分式展开法设F(s)为有理函数，它可由两个s的多项式之比来表示。即

6、式中ak，bk为实数，m 及 n 为正整数。如 m n 时，在将上式分解为部分分式前，应先化为真分式，例如 F(s)=3s3-2s2-7s+1s2+s-1用长除法除s2+s-13s3-2s2-7s+13s3s3+3s2-3s-5s2-4s+1-5-5s2-5s+5s-4得F(s)=3 s 5+s-4s2+s-1-15=5(t),-13s=3(t)。（5-18）（1）m 0或ss2+2s+5=s(s2+2s+1)+4=s(s+1)2+22=(s+1)2+22(s+1)2+22s+1-1由表5-1的公式12及13，可得-1-1ss2+2s+5=(s+1)2+22(s+1)2+22s+1-1t 0(

7、2)m 0-1例题 5-4 求的原函数。解：D(s)=0有四个根,一个二重根 s1=0,一对共轭根 s2=+j2,s3=-j2。将F(s)展开 令 s2=w，得则于是由表 5-1 中公式 3 及 8，可得f(t)=-1F(s)=-1t02.围线积分法（留数法-利用留数定理求反变换）（5-32）当 F(s)为有理函数时，其留数计算如下：（1）若 sk 为 F(s)e s t 的一阶极点，则（5-33a）（2）若 sk 为 F(s)e s t 的 p 阶极点，则（5-33b）例题 5-5 用留数法求的原函数。解：令 D(s)=0,求 s1=0,s2=-3 及 s3=-1。f(t)=-13.f(t)

8、与 F(s)的对应关系（自学P278 281）5.6 LT 的基本性质的基本性质1.线性设 f 1(t)=F1(s),f 2(t)=F2(s)则 a1f 1(t)+a2 f 2(t)=a1F1(s)+a2F2(s)式中 a1 和 a2 为任意常数。例：求 f(t)=sin t 的LT。解：已知 f(t)=sin t=（e jt-e-jt)12j e jt=e-jt=1s+j1s-j，（5-34）由线性可知 sin t=同理 cos t=2.尺度变换设 f(t)=F(s)则当 a 0 时 f(t)=（5-35）3.时间平移设 f(t)=F(s)则 f(t-t0)=F(s)（5-36a）或 f(t

9、-t0)(t-t0)=F(s)（5-36b）例题 5-6 求图 5-8 所示的锯齿波的LT。f(t)fa(t)fb(t)fc(t)0000ETTTTtttt解：图 5-8由表 5-1 及时移性可得 fa(t)=ETs2s fb(t)=-Ee-sTTs2 fc(t)=-Ee-sT f(t)=fa(t)+fb(t)+fc(t)若以T 为周期的有始周期信号 f(t)的第一周期，第二周期，-等的波形分别用 f1(t)、f2(t)等表示，则有若 f1(t)=F1(s)，则根据时移性可得 f(t)=F1(s)+F1(s)e sT+F1(s)e 2 sT+-=F1(s)(1+e sT+e 2 sT+-)（5

10、-38）F1(s)1-e sT=f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+-=f1(t)+f1(t-T)(t-T)+f1(t-2T)(t-2T)+-（5-37）等比级数结论：周期为 T 的有始函数 f(t)的LT等于第一周期单个函数的LT乘以因子 11-e sT。例题 5-7 P285 注意：P286 例 已知 f(t)=F(s)求 f(at-b)(at-b)=？(a0,b0)解：（1）先由时移性得 f(t-b)(t-b)=F(s)e-bs再由尺度变换得 f(at-b)(at-b)=（2）先由尺度变换得 f(at)(at)=再由时移性得 f(at-b)(at-b)=5.时域微分4.频率平移

11、设 f(t)=F(s)，则 f(t)e So=F(s s0)例如由 ，运用频移性立即可得 同理设 f(t)=F(s)则 式中 f(0-)及 f(k)(0-)分别为 t=0-时 f(t)及 的值。证：令 u=e st,dv=,v=f(t)则有df dt当 t ,f(t)e-st 0；而当 t=0-时，f(t)e-st=f(0-)。故同理可得 =-f(0-)+sF(s)=sF(s)-f(0-)df dt若函数为有始函数,即 t 0若 =，求上式的极限（分子分母对 求导），得 s 重根时的反变换式-1例：一 RL 电路如图所示，激励为单位阶跃电压 (t)，求 il(t)设 il(0-)=0。+-u(t)LRil(t)解：列方程两边取LT U(s)=LsIL(s)+RIL(s)=(Ls+R)IL(s)故由卷积定理得il(t)=-1IL(s)=-1