平面向量的运算教材分析讲义-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册.docx
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1、6.2平面向量的运算一、本节知识结构框图向量的加、减运算向量的数乘运算向量的线性运算向量的运算向量的数量积二、重点、难点重点:向量加、减运算的运算法则及其几何意义,向量数乘运算的定义及其几何意义,向量数量积的概念与运算律.难点:对向量加法运算法则与向量减法定义的理解,对向量数量积的概念及运算律的理解,向量数量积的应用.三、教科书编写意图及教学建议对于“运算”学生并不陌生,他们已经学习了数的运算、代数式的运算、集合的运算等,针对每一种代数运算无外乎要研究运算的背景、意义、法则、性质、应用等,从而建立相应的运算体系.平面向量运算内容的编写关注了以下两个方面:一是引导学生从物理、几何、代数三个角度理
2、解向量运算;二是引导学生类比数的运算研究向量的运算.向量运算的学习过程是培养学生逻辑推理、数学运算和直观想象素养的重要载体,中学数学中的平面向量运算主要包括向量的线性运算和向量的数量积.向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法、向量的数乘运算.在向量的加、减运算中,加法运算是基本运算,减法运算是向量加法运算的逆运算,它们有各自的几何意义,并且可以互相统一;向量的数乘运算反映了一类向量共线向量间的关系.向量的概念源自物理学,所以向量运算也有相应的物理背景.本节引言首先从学生最为熟悉的数及其运算谈起,数有了运算才威力无穷.类似地,引入向量后也要研究其运算.对于向量的加法运算,教科书通过类比数的加法
3、,以位移的合成为背景引入向量加法的三角形法则,以力的合成为背景引入向量加法的平行四边形法则.这样做的主要目的是使加法运算的学习建立在物理背景之上,并关注学生对向量的和要从大小、方向两个方面来规定的理解,体会向量运算与数的运算的区别与联系,以帮助学生理解向量加法的本质.对于向量的减法,类比数的减法,减去一个数等于加上这个数的相反数,教科书先引入了相反向量的概念,然后引入向量的减法:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.对于向量的数乘,通过类比数的乘法,教科书从相同向量的连加入手引入了向量数乘运算.向量数乘运算的几何意义明显,通过这一几何意义讨论向量共线的条件,为后继学习平面向量基本定理奠定基础
4、.以物理中力所做的功为背景,教科书引入了向量的数量积.向量的数量积运算结果是实数,它不仅满足交换律,而且对加法满足分配律.向量数量积可以刻画两个向量的夹角和向量的长度(可以看成两点间的距离),而距离和角又是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量,因此,向量数量积在解决平面几何问题中发挥着独到的作用.综上可知,与数的运算类比,借助物理背景引入向量的相关运算是学习向量运算的重要方法.教学中,要引导学生类比数的运算,借助物理背景,给学生发现和提出向量运算的机会,有意识地培养学生的创新能力.6.2.1向量的加法运算1.向量加法的定义教科书从位移的合成与力的合成出发,引导学生考虑能否受它们的启发
5、引进向量的加法.具体地,教科书以学生熟悉的位移的合成为背景,设置了思考栏目.首先让学生回忆并感知物理中位移的合成,它可以看作是向量加法的物理模型;进而类比数的加法,给出向量加法的三角形法则.在此基础上,教科书给出向量加法的定义.教科书进一步挖掘学生的已有认知,以力的合成为背景,设置了思考栏目.教学中,教师要让学生回忆相关的物理知识,想到力的合成的平行四边形法则,画出力与的合力(图6-3),进而诱发学生从向量的角度看力的合成,引出向量加法的平行四边形法则.既然向量加法有两个法则,讨论两者是否一致顺理成章.如图6-4,由向量加法的三角形法则,.过点A作BC的平行线,过点C作AB的平行线,所作的两条
6、直线相交于点D,四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质得AD=BC,所以.由向量加法的平行四边形法则也可得出,所以向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的.与数零的加法运算的规定类似,对任意向量与零向量相加,教科书中给出了相应的规定:.2.例1的教学例1是通过具体的例子帮助学生理解向量加法的概念,规范作两个向量的和的方法.本例分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和.在向量加法的作图中,要让学生体会作法中任取一点O的依据我们研究的向量是自由向量.教学中,教师还要引导学生体会对于向量的有关作图,常常需要平移向量.运用向量加法的三角形法则作图时,要“首尾相接,再首尾连”
7、;运用向量加法的平行四边形法则作图时,则要强调两个向量的起点相同.3.共线向量的加法共线向量的加法与实数的加法非常类似,教科书安排学生探究共线向量的加法符合学生的认知基础,既让学生体会向量的加法与数的加法的联系与区别,也加强了学生对共线向量加法的理解.当两个向量共线时,(1)如果其中有一个向量为零向量,不妨设a=,则,这与实数的加法类似;(2)如果两个向量均不为零,则它们可以看作在数轴上的两个向量相加,其结果是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段,而两个数相加,其结果是一个数,对应于数轴上唯一的一个点.容易看出,当向量共线时,以的终点作为的起点作出,就是连接的起点与的终点的向量(即首尾相接,再
8、首尾相连),此时也符合向量加法的三角形法则.教科书安排第9页“探究”(2)的目的是帮助学生认识向量的三角不等式.在数的加法中,有,且当且仅当时等号成立.对于向量的加法来说,探讨不等式是否还成立是十分必要的,这个三角不等式是欧氏空间中距离的一个重要性质.学生借助例1及第9页“探究”(1)的图形直观,不难得到下列结论.当不共线时,根据三角形两边的和大于第三边,.如图6-5,当方向相同时,.如图6-6,当方向相反时,-(或),其中当向量的长度大于向量的长度时,=-,当向量的长度大于向量的长度时,=-,因而当共线时,.由得,对于向量,.教学中,可以借助信息技术来探究不等式,通过改变,的位置(共线、不共
9、线和大小不同动态演示与的关系,从直观上加强对两个向量和的长度,与这两个向量各自长度的和的关系的理解.在第9页“探究”(2)中,学生还可能发现一些类似的关系式.例如,当向量,不共线时,不等式-0时,的方向与的方向相同;当0且1时,如图6-11,在平面内任取一点,作.则,.由作法知,有,所以,因此AOB. 所以,因此在同一条直线上,与的方向也相同. 所以,所以.当时,由图6-12可类似证明. 所以式也成立.3.向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.有了向量的线性运算,平面上的点(相对于一个定点)、线段(直线)就可以用向量表示,这就为向量法解决几何问题奠定了基础.线性运算的运算律包含了向量
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