二次函数与线段和角的数量关系问题-2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（解析版）【江苏专用】.docx

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1、1/105学科网（北京）股份有限公司20222022 年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）专题专题 5 二次函数与线段和角的数量关系问题二次函数与线段和角的数量关系问题【真题再现】【真题再现】1（2021江苏常州中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数0ykx k和二次函数2134yxbx 的图像都经过点(4,3)A和点 B，过点 A 作OA的垂线交 x 轴于点CD 是线段AB上一点（点 D 与点 A、O、B 不重合），E 是射线AC上一点，且AEOD，连接DE，过点 D 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，以DE、DF

2、为邻边作DEGFY（1）填空：k _，b _；（2）设点 D 的横坐标是(0)t t，连接EF若FGEDFE，求 t 的值；（3）过点 F 作AB的垂线交线段DE于点 P若13DFPDEGFSS，求OD的长【答案】（1）34，1；（2）151772t；（3）11536【解析】【分析】（1）把(4,3)A分别代入一次函数解析式和二次函数解析式，即可求解；（2）先证明EF=ED，结合D(t，34t)，F(t，2134tt)，可得点E的纵坐标为：2173882tt，过点 A 作 AMEG，延长 GE 交 x 轴于点 N，由4coscos5EMAOCAEMAE，从而得217334882554ttt，进

3、而即可求解；（3）先推出23DPDC，由 FPAC，得23DQDPDADC，结合35DQDHDFOD，可得DA=32DQ=2331132544tt，结合 DA+OD=5，列出方程，即可求解2/105学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）把(4,3)A代入0ykx k得：34k，解得：34k，把(4,3)A代入2134yxbx 得：2134434b，解得：b=1，故答案是：34，1；（2）在DEGFY中，FGEFDE，FGEDFE，FDE=DFE，EF=ED，设点 D 的横坐标是(0)t t，则 D(t，34t)，F(t，2134tt)，点 E 的纵坐标为：（34t2134tt）2=217

4、3882tt，联立213434yxxyx，解得：43xy或394xy ，A(4，3)，过点 A 作 AMEG，延长 GE 交 x 轴于点 N，则AEM=NEC=AOC，4coscos5EMAOCAEMAE，又AEOD=223544ttt，217334882554ttt，解得：151772t（舍去）或151772t，151772t；3/105学科网（北京）股份有限公司（3）当13DFPDEGFSS时，则23DPDC，ABFP，ABAC，FPAC，23DQDPDADC，FDQ=ODH，334coscos554tDQDHFDQODHDFODt，又DF=2134tt-34t=211344tt，DQ=2

5、3113544tt，DA=32DQ=2331132544tt，DA+OD=5，2331132544tt+54t=5，解得：239t 或4t（舍去），OD=54t=115364/105学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，根据题意画出图形，添加合适的辅助线，熟练掌握锐角三角函数的定义，平行四边形的性质，是解题的关键2（2021江苏宿迁中考真题）如图，抛物线21y2xbxc 与x轴交于 A(-1，0)，B(4，0)，与y轴交于点 C连接 AC，BC，点 P 在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若点 P 在第四象限，点 Q 在 PA 的延长线上，当CA

6、Q=CBA45时，求点 P的坐标；(3)如图，若点 P 在第一象限，直线 AP 交 BC 于点 F，过点 P 作x轴的垂线交 BC 于点 H，当PFH 为等腰三角形时，求线段 PH 的长5/105学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）213222yxx；（2）（6，-7）；（3）PH=3 55或 1.5 或158【解析】【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点 C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断ACB=90，继而可得ACO=CBA，在 x 轴上取点 E（2，0），连接 CE，易得OCE 是等腰直角三角形，可得OCE=45，进一步可推出ACE=CAQ，可得 CEPQ，然后利用待定

7、系数法分别求出直线 CE 与 PQ 的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线 AP 交 y 轴于点 G，如图，由题意可得若PFH 为等腰三角形，则CFG 也为等腰三角形，设 G（0，m），求出直线 AF 和直线 BC 的解析式后，再解方程组求出点 F 的坐标，然后分三种情况求出 m 的值，再求出直线 AP 的解析式，进而可求出点 P 的坐标，于是问题可求解【详解】解：（1）把 A(-1，0)，B(4，0)代入21y2xbxc，得102840bcbc ，解得：322bc，抛物线的解析式是213222yxx；（2）令 x=0，则 y=2，即 C（0，2），222125AC，22

8、22420BC，AB2=25，222ACBCAB，ACB=90，ACO+CAO=CBA+CAO=90，ACO=CBA，6/105学科网（北京）股份有限公司在 x 轴上取点 E（2，0），连接 CE，如图，则 CE=OE=2，OCE=45，ACE=ACO+45=CBA+45=CAQ，CEPQ，C（0，2），E（2，0），直线 CE 的解析式为 y=-x+2，设直线 PQ 的解析式为 y=-x+n，把点 A（-1，0）代入，可得 n=-1，直线 PQ 的解析式为 y=-x-1，解方程组2132221yxxyx ，得10 xy 或67xy，点 P 的坐标是（6，-7）；（3）设直线 AP 交 y 轴

9、于点 G，如图，PHy 轴，PHC=OCB，FPH=CGF，若PFH 为等腰三角形，则CFG 也为等腰三角形，C（0，2），B（4，0），直线 BC 的解析式为122yx，设 G（0，m），A（-1，0），直线 AF 的解析式为 y=mx+m，解方程组122yxymxm，得4221521mxmmym，7/105学科网（北京）股份有限公司点 F 的坐标是425,21 21mmmm，222222224254252,2,21212121mmmmCGmCFFGmmmmm，当 CG=CF 时，222425222121mmmmm，解得：512m（舍去负值），此时直线 AF 的解析式为 y=512x+512

10、，解方程组213222515122yxxyx，得10 xy 或557 5112xy，点 P 的坐标是（55，7 5112），此时点 H 的坐标是（55，512），PH=7 511513 5522；当FG=FC时，2222425425221212121mmmmmmmmm，解得m=12或m=12（舍）或 m=2（舍），此时直线 AF 的解析式为 y=12x+12，解方程组2132221122yxxyx，得10 xy 或32xy，点 P 的坐标是（3，2），此时点 H 的坐标是（3，12），PH=2-12=1.5；当 GF=GC 时，22242522121mmmmmm，解得34m 或 m=2（舍去）

11、，此时直线 AF 的解析式为 y=34x+34，解方程组2132223344yxxyx，得10 xy 或52218xy，点 P 的坐标是（52，218），此时点 H 的坐标是（52，34），8/105学科网（北京）股份有限公司PH=21315848；综上，PH=3 55或 1.5 或158【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键3（2021江苏连云港中考真题）如图，抛物线223(69)ymxmxm与 x

12、轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，已知(3,0)B（1）求 m 的值和直线BC对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBCABCSS，请直接写出点 P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ，求点 Q 的坐标9/105学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）1m ，3yx；（2）2,1P，317717,22 P，317717,22 P；（3）75,24Q【解析】【分析】（1）求出 A，B 的坐标，用待定系数法计算即可；（2）做点 A 关于 BC 的平行线1AP，联立直线1AP与抛物线的表达式可求出1P的坐标，设出直线1AP与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为

13、GC的长度，可得到直线23P P，联立方程组即可求出 P；（3）取点Q，连接CQ，过点A作ADCQ于点D，过点D作DFx轴于点F，过点C作CEDF于点E，得直线CD对应的表达式为132yx，即可求出结果；【详解】（1）将3,0B代入22369ymxmxm，化简得20mm，则0m（舍）或1m ，1m ，得：243yxx，则0,3C设直线BC对应的函数表达式为ykxb，将3,0B、0,3C代入可得033kbb，解得1k，则直线BC对应的函数表达式为3yx（2）如图，过点 A 作1APBC，设直线1AP与 y 轴的交点为 G，将直线 BC 向下平移 GC个单位，得到直线23P P，10/105学科网

14、（北京）股份有限公司由（1）得直线 BC 的解析式为3yx，()1,0A，直线 AG 的表达式为1yx，联立2143yxyxx，解得：10 xy（舍），或21xy，12,1P，由直线 AG 的表达式可得1,0G，2GC，2CH，直线23P P的表达式为5yx，联立2543yxyxx，解得：113172717xy，223172717xy，3317717,22P，2317717,22P，2,1P，317717,22 P，317717,22 P11/105学科网（北京）股份有限公司（3）如图，取点Q，连接CQ，过点A作ADCQ于点D，过点D作DFx轴于点F，过点C作CEDF于点E，45ACQ，AD=

15、CD，又90ADC，90ADFCDE，90CDEDCE，DCEADF，又90EAFD，CDEDAF，则AFDE，CEDF设DEAFa，1OA，OFCE，1CEDFa由3OC，则3DFa，即13 aa，解之得，1a 所以2,2D，又0,3C，可得直线CD对应的表达式为132yx，设1,32Q mm，代入243yxx，得213432 mmm，2142 mmm，2702mm，又0m，则72m 所以75,24Q【点睛】12/105学科网（北京）股份有限公司本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键4（2020 年泰州第 26 题）如图，二次函数 y1a（xm）2+n，y26ax2+

16、n（a0，m0，n0）的图象分别为 C1、C2，C1交 y 轴于点 P，点 A 在 C1上，且位于 y 轴右侧，直线PA 与 C2在 y 轴左侧的交点为 B（1）若 P 点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求 a 的值；（2）设直线 PA 与 y 轴所夹的角为当45，且 A 为 C1的顶点时，求 am 的值；若90，试说明：当 a、m、n 各自取不同的值时，?3的值不变；（3）若 PA2PB，试判断点 A 是否为 C1的顶点？请说明理由【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可（2）如图 1 中，过点 A 作 ANx 轴于 N，过点 P 作 PMAN 于 M证明 AMPMm，根据

17、AM+MNAM+OPAN，构建关系式即可解决问题如图 2 中，由题意 ABy 轴，求出 PA，PB 的长即可解决问题（3）如图 3 中，过点 A 作 AHx 轴于 H，过点 P 作 PKAH 于 K，过点 B 作 BEKP交 KP 的延长线于 E设 B（b，6ab2+n），由 PA2PB，推出 A2b，a（2bm）2+n，由 BEAK，推出3?3?，推出 AK2BE，由此构建关系式，证明 m2b 即可解决问题【解析】（1）由题意 m2，n4，y1a（x2）2+4，把（0，2）代入得到 a?t?（2）如图 1 中，过点 A 作 ANx 轴于 N，过点 P 作 PMAN 于 M13/105学科网（

18、北京）股份有限公司y1a（xm）2+nax22amx+am2+n，P（0，am2+n），A（m，n），PMm，ANn，APM45，AMPMm，m+am2+nn，m0，am1如图 2 中，由题意 ABy 轴，P（0，am2+n），当 yam2+n 时，am2+n6ax2+n，解得 x?m，B（t?m，am2+n），PB?m，14/105学科网（北京）股份有限公司AP2m，?3?t?t?2?（3）如图 3 中，过点 A 作 AHx 轴于 H，过点 P 作 PKAH 于 K，过点 B 作 BEKP交 KP 的延长线于 E设 B（b，6ab2+n），PA2PB，点 A 的横坐标为2b，A2b，a（2b

19、m）2+n，BEAK，3?3?，AK2BE，a（2bm）2+nam2n2（am2+n6ab2n），整理得：m22bm8b20，（m4b）（m+2b）0，m4b0，m+2b0，m2b，A（m，n），点 A 是抛物线 C1的顶点5（2020 年淮安第 27 题）如图，二次函数 yx2+bx+4 的图象与直线 l 交于 A（1，2）、B（3，n）两点点 P 是 x 轴上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 M，交该二次函数的图象于点 N，设点 P 的横坐标为 m（1）b1，n2；15/105学科网（北京）股份有限公司（2）若点 N 在点 M 的上方，且 MN3，求 m 的值；（3）

20、将直线 AB 向上平移 4 个单位长度，分别与 x 轴、y 轴交于点 C、D（如图）记NBC 的面积为 S1，NAC 的面积为 S2，是否存在 m，使得点 N 在直线 AC 的上方，且满足 S1S26？若存在，求出 m 及相应的 S1，S2的值；若不存在，请说明理由当 m1 时，将线段 MA 绕点 M 顺时针旋转 90得到线段 MF，连接 FB、FC、OA 若FBA+AODBFC45，直接写出直线 OF 与该二次函数图象交点的横坐标【分析】（1）将点 A 坐标代入二次函数解析式中，求出 b，进而得出二次函数解析式，再将点 B 坐标代入二次函数中，即可求出 n 的值；（2）先表示出点 M，N 的

21、坐标，进而用 MN3 建立方程求解，即可得出结论；（3）先求出点 C 坐标，进而求出直线 AC 的解析式，再求出直线 BC 的解析式，进而表示出 S1，S2，最后用 S1S26 建立方程求出 m 的值；先判断出 CFOA，进而求出直线 CF 的解析式，再判断出 AFx 轴，进而求出点 F的坐标，即可求出直线 OF 的解析式，最后联立二次函数解析式，解方程组即可得出结论【解析】（1）将点 A（1，2）代入二次函数 yx2+bx+4 中，得1b+42，b1，二次函数的解析式为 yx2+x+4，将点 B（3，n）代入二次函数 yx2+x+4 中，得 n9+3+42，故答案为：1，2；（2）设直线 A

22、B 的解析式为 ykx+a，由（1）知，点 B（3，2），A（1，2），t 解 析 式?解析 式?t?，解?t?式?，16/105学科网（北京）股份有限公司直线 AB 的解析式为 yx+1，由（1）知，二次函数的解析式为 yx2+x+4，点 P（m，0），M（m，m+1），N（m，m2+m+4），点 N 在点 M 的上方，且 MN3，m2+m+4（m+1）3，m0 或 m2；（3）如图 1，由（2）知，直线 AB 的解析式为 yx+1，直线 CD 的解析式为 yx+1+4x+5，令 y0，则x+50，x5，C（5，0），A（1，2），B（3，2），直线 AC 的解析式为 y?t?x析?，直线

23、BC 的解析式为 yx5，过点 N 作 y 轴的平行线交 AC 于 K，交 BC 于 H，点 P（m，0），N（m，m2+m+4），K（m，t?m析?），H（m，m5），NKm2+m+4析?mt?tm2析?m析?，NHm2+9，S2SNAC?NK（xCxA）?（m2析?m析?）63m2+4m+7，S1SNBC?NH（xCxB）m2+9，S1S26，m2+9（3m2+4m+7）6，m1析?（由于点 N 在直线 AC 上方，所以，舍去）或 m1t?；S23m2+4m+73（1t?）2+4（1t?）+72?t1，S1m2+9（1t?）2+92?析5；如图 2，记直线 AB 与 x 轴，y 轴的交点为

24、 I，L，由（2）知，直线 AB 的解析式为 yx+1，I（1，0），L（0，1），OLOI，ALDOLI45，17/105学科网（北京）股份有限公司AOD+OAB45，过点 B 作 BGOA，ABGOAB，AOD+ABG45，FBAABG+FBG，FBA+AODBFC45，ABG+FBG+AODBFC45，FBGBFC，BGCF，OACF，A（1，2），直线 OA 的解析式为 y2x，C（5，0），直线 CF 的解析式为 y2x+10，过点 A，F 分别作过点 M 平行于 x 轴的直线的垂线，交于点 Q，S，由旋转知，AMMF，AMF90，AMF 是等腰直角三角形，FAM45，AIO45，F

25、AMAIO，AFx 轴，点 F 的纵坐标为 2，F（4，2），直线 OF 的解析式为 y?x，二次函数的解析式为 yx2+x+4，联立解得，?析?析?或?t?t?，m1，直线 OF 与该二次函数图象交点的横坐标为?析?18/105学科网（北京）股份有限公司6（2020 年常州第 28 题）如图，二次函数 yx2+bx+3 的图象与 y 轴交于点 A，过点 A 作 x轴的平行线交抛物线于另一点 B，抛物线过点 C（1，0），且顶点为 D，连接 AC、BC、BD、CD（1）填空：b4；（2）点 P 是抛物线上一点，点 P 的横坐标大于 1，直线 PC 交直线 BD 于点 Q 若CQDACB，求点

26、P 的坐标；（3）点 E 在直线 AC 上，点 E 关于直线 BD 对称的点为 F，点 F 关于直线 BC 对称的点为 G，连接 AG当点 F 在 x 轴上时，直接写出 AG 的长19/105学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）将点 C 坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点 Q 在点 D 上方时，过点 C 作 CEAB 于 E，设 BD 与 x 轴交于点 F，可得点 E（1，3），CEBE3，AE1，可得EBCECB45，tanACE?t?，BCF45，由勾股定理逆定理可得BCD90，可求ACEDBC，可得ACBCFD，可得点 F 与点 Q 重合，即可求点 P 坐标；当点 Q

27、在点 D 下方时，过点 C 作 CHDB 于 H，在线段 BH 的延长线上截取 HFQH，连接 CQ 交抛物线于点 P，先求直线 BD 解析式，点 F 坐标，由中点坐标公式可求点 Q坐标，求出 CQ 解析式，联立方程组，可求点 P 坐标；（3）设直线 AC 与 BD 的交点为 N，作 CHBD 于 H，过点 N 作 MNx 轴，过点 E 作EMMN，连接 CG，GF，先求出CNH45，由轴对称的性质可得 ENNF，ENBFNB45，由“AAS”可证EMNNKF，可得 EMNK?，MNKF，可求CF6，由轴对称的性质可得点 G 坐标，即可求解【解析】（1）抛物线 yx2+bx+3 的图象过点 C

28、（1，0），01+b+3，b4，故答案为：4；（2）b4，抛物线解析式为 yx24x+3抛物线 yx24x+3 的图象与 y 轴交于点 A，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点B，点 A（0，3），3x24x+3，x10（舍去），x24，点 B（4，3），yx24x+3（x2）21，顶点 D 坐标（2，1），如图 1，当点 Q 在点 D 上方时，过点 C 作 CEAB 于 E，设 BD 与 x 轴交于点 F，20/105学科网（北京）股份有限公司点 A（0，3），点 B（4，3），点 C（1，0），CEAB，点 E（1，3），CEBE3，AE1，EBCECB45，tanACE?t?，B

29、CF45，点 B（4，3），点 C（1，0），点 D（2，1），BC?析?3?，CD?析?，BD?t?a?析?析?a?2?，BC2+CD220BD2，BCD90，tanDBC?t?3t?tanACE，ACEDBC，ACE+ECBDBC+BCF，ACBCFD，又CQDACB，点 F 与点 Q 重合，点 P 是直线 CF 与抛物线的交点，0 x24x+3，x11，x23，点 P（3，0）；当点 Q 在点 D 下方上，过点 C 作 CHDB 于 H，在线段 BH 的延长线上截取 HFQH，连接 CQ 交抛物线于点 P，21/105学科网（北京）股份有限公司CHDB，HFQH，CFCQ，CFDCQD，

30、CQDACB，CHBD，点 B（4，3），点 D（2，1），直线 BD 解析式为：y2x5，点 F（?，0），直线 CH 解析式为：y?t?x析?，?t?析?t?，解得?t?，点 H 坐标为（?，t?），FHQH，点 Q（?t，t?），直线 CQ 解析式为：y?t?x析?，联立方程组?t?析?t?析?，解得：?t或?t?，点 P（?，t?）；22/105学科网（北京）股份有限公司综上所述：点 P 的坐标为（3，0）或（?，t?）；（3）如图，设直线 AC 与 BD 的交点为 N，作 CHBD 于 H，过点 N 作 MNx 轴，过点 E 作 EMMN，连接 CG，GF，点 A（0，3），点 C（

31、1，0），直线 AC 解析式为：y3x+3，?t?析?t?，?t?，点 N 坐标为（?，t?），点 H 坐标为（?，t?），CH2（?t1）2+（?）2?，HN2（?t?）2+（t?析?）2?，CHHN，CNH45，点 E 关于直线 BD 对称的点为 F，ENNF，ENBFNB45，ENF90，ENM+FNM90，又ENM+MEN90，MENFNM，EMNNKF（AAS）EMNK?，MNKF，点 E 的横坐标为t?，23/105学科网（北京）股份有限公司点 E（t?，?），MN?KF，CF?析?t16，点 F 关于直线 BC 对称的点为 G，FCCG6，BCFGCB45，GCF90，点 G（1

32、，6），AG?析?t?a?t7（2020 年镇江第 28 题）如图，直线 l 经过点（4，0）且平行于 y 轴，二次函数 yax22ax+c（a、c 是常数，a0）的图象经过点 M（1，1），交直线 l 于点 N，图象的顶点为 D，它的对称轴与 x 轴交于点 C，直线 DM、DN 分别与 x 轴相交于 A、B 两点（1）当 a1 时，求点 N 的坐标及t3t的值；（2）随着 a 的变化，t3t的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图，E 是 x 轴上位于点 B 右侧的点，BC2BE，DE 交抛物线于点 F若 FBFE，求此时的二次函数表达式【分析】（1）证明DMGDAC，DCBDTN，求出 A

33、C?，BC?，即可求解；（2）点 D（1，14a），N（4，1+5a），则 ME2，DE4a，由（1）的结论得：AC?t?式t?式，BC?t?式t?式，即可求解；（3）利用FHEDCE，求出 F（?t?式，?t?a），即可求解【解析】（1）分别过点 M、N 作 MGCD 于点 E，NTDC 于点 T，MGTNx 轴，24/105学科网（北京）股份有限公司DMGDAC，DCBDTN，?沠t?沠?t，3t?t?，a1，则 yx2+2x+c，将 M（1，1）代入上式并解得：c4，抛物线的表达式为：yx2+2x+4，则点 D（1，5），N（4，4），则 MG2，DG4，DC5，TN3，DT9，?t?，

34、3t?，解得：AC?，BC?，t3t?；（2）不变，理由：yax22ax+c 过点 M（1，1），则 a+2a+c1，解得：c13a，yax22ax+（13a），点 D（1，14a），N（4，1+5a），MG2，DG4a，DC14a，FN3，DF9a，由（1）的结论得：AC?t?式t?式，BC?t?式t?式，t3t?；（3）过点 F 作 FHx 轴于点 H，则 FHl，则FHEDCE，25/105学科网（北京）股份有限公司FBFE，FHBE，BHHE，BC2BE，则 CE6HE，CD14a，FH?t?式?，BC?式t?式，CH?式t?式?t式t?式，F（?t?式析1，?t?a），将点 F 的坐

35、标代入 yax22ax+（13a）a（x+1）（x3）+1 得：?t?aa（?t?式析1+1）（?t?式析13）+1，解得：a?t?或?（舍弃），经检验 a?t?，故 y?t?x2析?x析?解法二：AC：BC3：2，BC2BE，ACCE，AD 与 DE 关于直线 CD 对称，AD，DE 交抛物线于 M，F，M，F 关于直线 CD 对称，F（3，1），?t?a1，a?t?故 y?t?x2析?x析?26/105学科网（北京）股份有限公司8（2019 年宿迁 28 题）如图，抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，其中点 A 坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C（0，3）（1）求抛物

36、线的函数表达式；（2）如图，连接 AC，点 P 在抛物线上，且满足PAB2ACO求点 P 的坐标；（3）如图，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线 AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M、N请问 DM+DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【分析】（1）把点 A、C 坐标代入抛物线解析式即求得 b、c 的值（2）点 P 可以在 x 轴上方或下方，需分类讨论若点 P 在 x 轴下方，延长 AP 到 H，使 AHAB 构造等腰ABH，作 BH 中点 G，即有PAB2BAG2ACO，利用ACO的三角函数值，求 BG、BH 的长

37、，进而求得 H 的坐标，求得直线 AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点 P 坐标若点 P 在 x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点 H关于 x 轴的对称点 H，求得直线 AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点 P 坐标（3）设点 Q 横坐标为 t，用 t 表示直线 AQ、BN 的解析式，把 x1 分别代入即求得点M、N 的纵坐标，再求 DM、DN 的长，即得到 DM+DN 为定值【解析】（1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0），C（0，3）?析 析?tt 析 t 析?t?解得：?t?抛物线的函数表达式为 yx2+2x3（2）若点 P 在 x 轴下方，如图 1，延长

38、AP 到 H，使 AHAB，过点 B 作 BIx 轴，连接 BH，作 BH 中点 G，连接并延长AG 交 BI 于点 F，过点 H 作 HIBI 于点 I当 x2+2x30，解得：x13，x21B（3，0）A（1，0），C（0，3）OA1，OC3，AC?析?t，AB427/105学科网（北京）股份有限公司RtAOC 中，sinACO?t?t?t，cosACO?tt?t?tABAH，G 为 BH 中点AGBH，BGGHBAGHAG，即PAB2BAGPAB2ACOBAGACORtABG 中，AGB90，sinBAG?3沠3?t?tBG?t?tAB?t?BH2BG?t?HBI+ABGABG+BAG9

39、0HBIBAGACORtBHI 中，BIH90，sinHBI?t3?t?t，cosHBI?3t3?t?tHI?t?tBH?，BI?t?tBH?xH3析?t?，yH?t?，即 H（t?，t?）设直线 AH 解析式为 ykx+a解 析 式?tt?解 析 式?t?解得：解?式?t?直线 AH：y?xt?t?析?t?解得：?t（即点 A），?t?t?P（t?，t?）若点 P 在 x 轴上方，如图 2，在 AP 上截取 AHAH，则 H与 H 关于 x 轴对称H（t?，?）设直线 AH解析式为 ykx+a解 析 式?tt?解析 式?解得：解?t?式?直线 AH：y?t?x析?28/105学科网（北京）股

40、份有限公司?t?析?析?t?解得：?t（即点 A），?t?P（t?，?）综上所述，点 P 的坐标为（t?，t?）或（t?，?）（3）DM+DN 为定值抛物线 yx2+2x3 的对称轴为：直线 x1D（1，0），xMxN1设 Q（t，t2+2t3）（3t1）设直线 AQ 解析式为 ydx+e?析?t?析?析?t?解得：?析?t?t?直线 AQ：y（t+3）xt3当 x1 时，yMt3t32t6DM0（2t6）2t+6设直线 BQ 解析式为 ymx+nt?t析?tt?析?析?t?解得：t?t?t?直线 BQ：y（t1）x+3t3当 x1 时，yNt+1+3t32t2DN0（2t2）2t+2DM+D

41、N2t+6+（2t+2）8，为定值29/105学科网（北京）股份有限公司点睛：本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用第（2）题由于不确定点 P 位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算9（2019 年盐城 27 题）如图所示，二次函数 yk（x1）2+2 的图象与一次函数 ykxk+2的图象交于 A、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x、y 轴交于 C、D 两点，其中 k0（1）求 A、B 两点的横坐标；（2）若OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值；（3

42、）二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 E，是否存在实数 k，使得ODC2BEC，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，即可求解；（2）分 OAAB、OAOB 两种情况，求解即可；（3）求出 mk2k 解?析?，在AHM 中，tan?tt解?k析解?析?tanBEC?3?k+2，即可求解【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，解得：x1 和 2，故点 A、B 的坐标横坐标分别为 1 和 2；（2）OA?析?，当 OAAB 时，即：1+k25，解得：k2（舍去 2）；30/105学科网（北京）

43、股份有限公司当 OAOB 时，4+（k+2）25，解得：k1 或3；故 k 的值为：1 或2 或3；（3）存在，理由：当点 B 在 x 轴上方时，过点 B 作 BHAE 于点 H，将AHB 的图形放大见右侧图形，过点 A 作HAB 的角平分线交 BH 于点 M，过点 M 作 MNAB 于点 N，过点 B 作 BKx 轴于点 K，图中：点 A（1，2）、点 B（2，k+2），则 AHk，HB1，设：HMmMN，则 BM1m，则 ANAHk，AB?解?析?，NBABAN，由勾股定理得：MB2NB2+MN2，即：（1m）2m2+（解?析?析k）2，解得：mk2k 解?析?，在AHM 中，tan?tt

44、解?k析解?析?tanBEC?3?k+2，解得：k?，此时 k+20，则2k0，故：舍去正值，故 k?t?；当点 B 在 x 轴下方时，同理可得：tan?tt解?k析解?析?tanBEC?3?t（k+2），解得：k?t?t?或t?析?，此时 k+20，k2，故舍去t?析?，故 k 的值为：t?或t?t?点睛：本题为二次函数综合应用题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，其中（3），31/105学科网（北京）股份有限公司通过 tan2求出 tan，是此类题目求解的一般方法【专项突破】【专项突破】一、解答题一、解答题1（2021江苏沭阳县怀文中学模拟预测）如图，抛物线 yax22ax3a（a0）与

45、 x 轴交于点 A，B与 y 轴交于点 C连接 AC，BC已知ABC 的面积为 2(1)求抛物线的解析式；(2)平行于 x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 P，Q 两点过 P，Q 向 x 轴作垂线，垂足分别为 G，H若四边形 PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点 N，使得BCNCABCBA，若存在，请求出满足条件 N 点的横坐标，若不存在请说明理由【答案】(1)y13x2+23x+1(2)6+213或6213(3)存在，5 或117【解析】【分析】（1）先将抛物线解析式变形，可得 A 和 B 的坐标，从而得 AB1+34，根据三角形 ABC的面积为 2 可得 OC

46、的长，确定点 C 的坐标，根据点 C 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）分两种情况：PQ 在 x 轴的上方和下方，设点 P 的纵坐标为 m，当 ym 时，13x2+23x+1m，解方程可得 P 和 Q 两点的坐标，从而得 G 和 H 的坐标，再利用正方形的性质可得出关于 m 的方程，解之即可得出结论；（3）过 C 作 CDAC 交 x 轴于 D，交抛物线线于 N，作 D 关于 BC 的对称点 G，作直线CG 交抛物线于 N，过 E 作 EFx 轴于 F，由 y13x2+23x+1 可得AOC 是等腰直角三角形，从而CABODC45，有CABCBAODCCBABCD，即直线

47、CD与抛物线交点 N 是满足条件的点，由 C（0，1）、D（1，0）可得直线 CD 为 yx+1，32/105学科网（北京）股份有限公司解2112133yxyxx 即得 N（5，4）；由 D、G 关于 BC 对称，知BCDBCG，即直线 CG 与抛物线交点 N满足条件，由COBDEB，可求得 BE610，由BEFBCO，即得 E（65，35），根据 E 为 DG 中点得 G（75，65），由 G（75，65），C（0，1）可得直线 CG 为 y17x+1，解211712133yxyxx,即得 N（117，6049）(1)解：如图 1，yax22ax3aa（x22x3）a（x3）（x+1），A（

48、1，0），B（3，0），AB4，ABC 的面积为 2，即12ABOC2，124OC2，OC1，C（0，1），将 C（0，1）代入 yax22ax3a，得：3a1，a13，该二次函数的解析式为 y13x2+23x+1；(2)分两种情况：当 PQ 在 x 轴的上方时，如图 2，设点 P 的纵坐标为 m，当 ym 时，13x2+23x+1m，33/105学科网（北京）股份有限公司解得：x11+43m，x2143m，点 P 的坐标为（143m，m），点 Q 的坐标为（1+43m，m），点 G 的坐标为（143m，0），点 H 的坐标为（1+43m，0），矩形 PGHQ 为正方形，1+43m（143m）

49、m，解得：m16213（舍），m26+213；当 PQ 在 x 轴的下方时，m0，同理可得 m6213；当四边形 PGHQ 为正方形时，边长为6+213或6213；(3)存在，理由如下：过 C 作 CDAC 交 x 轴于 D，交抛物线线于 N，作 D 关于 BC 的对称点 G，作直线 CG 交抛物线于 N，过 E 作 EFx 轴于 F，如图：由 y13x2+23x+1 可得 A（1，0），B（3，0），C（0，1），34/105学科网（北京）股份有限公司AOC 是等腰直角三角形，CABACO45，CDAC，OCD45，ODC45，CABODC45，CABCBAODCCBABCD，即直线CD与抛

50、物线交点N是满足条件的点，ODOCOA，D（1，0），由 C（0，1）、D（1，0）可得直线 CD 为 yx+1，解2112133yxyxx 得01xy或54xy，N（5，4）；D、G 关于 BC 对称，BCDBCG，即直线 CG 与抛物线交点 N满足条件，DEBCOB90，CBODBE，COBDEB，OBCBBEBD，即3102BE，BE610，EFx 轴于 F，BEFBCO，BEBCBFBOEFCO，即610103BF1EF，解得 EF35，BF95，E（65，35），E 为 DG 中点，G（75，65），由 G（75，65），C（0，1）可得直线 CG 为 y17x+1，35/105学科