北京市海淀区2023年届高三下学期期中练习数学(文)试卷.docx

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1、海淀区高三年级2023-2023 学年度其次学期期中练习数学试卷文科 2023.4本试卷共4 页，150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题共8 小题，每题5 分，共40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1集合Ax z | -2 x 3，Bx | -2 x 1，则 A I B A-2, -1,0B-2, -1,0,1Cx | -2 x 1Dx | -2 x 0，则“a = p”是“函数 f (x) 是偶函数“的A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件8. 某生产基地有五台

2、机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示假设每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则以下表达正确的选项是A甲只能担当第四项工作B乙不能担当其次项工作C丙可以不担当第三项工作D获得的效益值总和为782x - 2二、填空题共6 小题，每题5 分，共30 分9. 函数 y =的定义域为10. 数列an的前n项和为 Sn，且 Sn= n2 - 4n ，则a2- a 1a211. l 为双曲线C： x2- y2= 1的一条渐近线，其倾斜角为p，且C 的右焦点为2,0，b24点C的右顶点为，则C 的方程为11212. 在 , 23.log32 这三个数中

3、，最小的数是p13. 函数 f (x) = sin(2 x +j ) ，假设 f (125p) - f (-) = 2 ，则函数 f (x) 的单调增区间为1214. 给定正整数k2，假设从正方体ABCDA B C D 的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M1 1 1 1X , X1, XP2k，均满足X , Xij M , $X , Xst M ，使得直线 X Xij X Xst，则k的所有可能取值是三、解答题共6 小题，共80 分解同意写出文字说明、演算步骤或证明过程15本小题总分值13 分3在ABC 中，C 2p ， a = 6 假设c14，求sinA的值；3假设ABC的面积为3，求c

4、的值16本小题总分值13 分数列a是等比数列，其前n项和为Snn，满足S+ a21= 0 ， a3= 12 。（I） 求数列a的通项公式；n（II） 是否存在正整数n，使得 S 2023？假设存在，求出符合条件的n的最小值；假设不存在，n说明理由。17本小题总分值14 分如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M ，N 分别为线段PB，PC 上的点，MNPB求证： 平面PBC平面PAB ；求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N 平面ABCD；当AB3，PA4时，求点A到直线MN距离的最小值。18本小题总分值13 分一所学校打算举办“国学”系列讲座。由于条件

5、限制，按男、女生比例实行分层抽样的方法， 从某班选出10人参与活动，在活动前，对所选的10名同学进展了国学素养测试，这10名同学 的性别和测试成绩百分制的茎叶图如下图。（I） 依据这10名同学的测试成绩，分别估量该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（II） 这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为s2 ，s2 ，试比较 s2 与s2 的大小只需直接写出结果；1212（III） 假设从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率。注：成绩大于等于75分为优良19本小题总分值14 分a2b2椭圆C： x2 + y2且AB2= 1(a b 0)

6、的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，32求椭圆C 的方程；设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x4分别交于M ， N 两点是否存在点P使得以MN 为直径的圆经过点2,0？假设存在，求出点P的横坐标；假设不存在，说明理由。20本小题总分值13 分1- xex函数f (x) 求曲线 y = f (x)在点0，f0处的切线方程；求函数f (x)的零点和极值；假设对任意 x , x a, +) ，都有 f (x ) - f (x) - 1 成立，求实数a 的最小值。e21212海淀区高三年级其次学期期中练习参考答案数学文科 2023.4阅卷须知:1. 评分参考中所注分数，表

7、示考生正确做到此步应得的累加分数。2. 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题本大题共 8 小题,每题 5 分,共 40 分题号12345678答案ACDCABAB二、填空题本大题共 6 小题,每题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，其次空 2 分， 共 30 分91,+)10 211.(2,0), x2 - y2 = 122121213- 5 + k, + k,k Z121214 5，6，7，8说明：1.第 9 题,学生写成 x 1的不扣分12122. 第 13 题写成开区间 (- 5 + k, + k),k Z 的不扣分,没有写k Z 的,扣 1 分3. 第 14 题

8、有错写的，则不给分只要写出 7 或 8 中之一的就给 1 分，两个都写出，没有其它错误的状况之下给1 分写出 5，6 中之一的给 2 分，两个都写出，且没有错误的状况之下给4 分三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解：() 方法一：在DABC 中，由于acsin Asin C=，2 分即6sin A3= 14233分 所以sin A =14.3.5 分14623 C方法二：过点 B 作线段 AC 延长线的垂线，垂足为DA3因为BCA = 2，所以3BCD = .1 分B在BD =3BC = 32RtDBDC中，D3.3 分AB33在 Rt DABD 中， sin A = BD

9、 =14方法一： 因.5 分为SDABC= 1 a b sCi .n 7 分223所以33 = 1 6 b2，解得b = 29 分又c2 =a2 +b2 2-因12a cbo.sC为.11 分所以c2= 4 + 36 - 2 2 6 (-) ,5213所以c = 213分方法二：过点 A 作线段 BC 延长线的垂线，垂足为D33A32由于ACB = 2, 所以ACD = .又因为21SDABC= BC AD ,7分3即3=1 6 AD ,2B631D C所以AD=3=C,.D1 .9分在Rt DABD中，A B2 =B D2+A .2D.11 分52所以 AB =16.解：() 设数列a= 2

10、.13.13 分的公比为q ，n由于 S + a21= 0 ，所以2a + a q = 01 分11由于a1 0, 所以q = -2,2 分又由于a = a q2 = 12 ，3 分31所以a = 3 ,41分所以an分= 3 (-2)n-1或写成an= - 32 (-2)n .7说明：这里的 公式都单独有分，即假设结果是错的，但是通项公式或者下面的前n 项和公式正确写出的，都给 2 分()由于3 1- (-2)n 1- (-2)S= 1- (-2)n1n0 分令 S 2023 , 即1- (-2)nn 2023 ，整理得(-2)n 2023 ，解得n 11，所以满足 S 2023 的正整数n

11、 的最小值为n11.13 分17 解：证明：在正方形 ABCD 中， AB BC 1分由于 PA 平面 ABCD ，BC 平面 ABCD ，所以 PA BC2分又 ABPA = A ， AB, PA 平面 PAB ，3分所以 BC 平面PAB4 分由于 BC 平面 PBC , 所以平面 PBC 平面PAB5 分证明：由知, BC 平面 PAB ，PB 平面 PAB ，所以 BC PB6分在DPBC 中，BC PB ，MN PB ， 所以 MN / / BC ，7分又 BC 平面 ABCD ，MN 平面 ABCD ，9分所以 MN /平面ABCD10 分解：由于 MN / / BC , 所以 M

12、N 平面 PAB ，11分而 AM 平面 PAB ，所以 MN AM ，12分所以 AM 的长就是点 A 到 MN 的距离，13分而点 M 在线段 PB 上5所以 A 到直线 MN 距离的最小值就是 A 到线段 PB 的距离， 在 RtDPAB 中， AB = 3, PA = 4, 所以 A 到直线 MN 的最小值为1214 分18. 解:x设这 10 名同学中男女生的平均成绩分别为x ,.1264 + 76 + 77 + 78 = 73.754x= 56 + 79 + 76 + 70 + +88 + 87则x=2 分1= 76.264 分女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差7

13、 分设“两名同学的成绩均为优良”为大事 A ，8分男生按成绩由低到高依次编号为a , a, a , a ，1234女生按成绩由低到高依次编号为b , b, b , b, b , b ，123456则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有24 种取法10分(a ,b )， (a , b) ， (a , b ) ， (a , b) ， (a , b )， (a , b ) ，111213141516(a , b ) ， (a ,b ) ， (a , b )， (a ,b ) ， (a ,b ) ， (a ,b ) ，212223242526(a , b ) ， (a , b )， (a ,

14、 b ) ， (a , b )， (a , b ) ， (a , b )，313233343536(a , b ) ， (a ,b ) ， (a , b )， (a ,b ) ， (a ,b ) ， (a ,b ) ，414243444546其中两名同学均为优良的取法有 12 种取法12分(a , b23)， (a ,b24) ， (a ,b25) ， (a ,b ) ，26(a , b33) ， (a , b34)， (a , b35) ， (a , b36)， (a ,b42) ， (a4, b )， (a ,b344) ， (a ,b45) ， (a ,b )462421所以 P( A)

15、 = 12 =，即两名同学成绩均为优良的概率为12.13 分19. 解：由 AB = 2 ，得知2b = 2 ，b = 1,1分3又由于离心率为2，所以a3c=2 分2由于a2 = b2 + c2 ，所以a = 2, ,4 分所以椭圆C 的标准方程为42x+ y2 = 15 分解法一：假设存在.设 P(x , y00)M (4, m)N (4, n)由可得 A(0,1)B(0, -1)，所以AP的直线方程为y = y-1 x +1，6 分00xBP 的直线方程为 y = y0x+1 x -1，令 x = 4 ，分别可得m =04( y-1)0x4( y+1)0x+1 ，n =-1，800分8所

16、以 MN = m - n = 2 -x0分线段，.9MN的中点0x( 4,4 y)，10 分0假设以 MN 为直径的圆经过点(2,0) ，则0x(4 - 2)2 + ( 4 y4x- 0)2 = (1-)2 ,11 分0040由于点 P 在椭圆上，所以 x 2分+ y 2 = 1 ，代入化简得1 -08 = 0 ， .13x0所以 x0= 8 ， 而 x0-2，2，冲突，所 以 这 样 的 点 P不存在14 分解法二：假设存在，记D(2，0) .设 P(x , y00)M (4, m)N (4, n)由可得 A(0,1)B(0, -1)，所以 AP 的直线方程为 y = y-1 x +1，.6

17、0x分BP 的直线方程为 y = y00x+1 x -1，令 x = 4 ，分别可得m =04( y-1)0x4( y+1)0x+1 ，n =-1，8分所以 M (4,4( y00- 1)4( y+ 1)0x+ 1), N (4， 0- 1)x0因为MN0为直径，所以uuuur uuuur = 09 分DMDMuuuur uuur4( y- 1)4( y+ 1)0x0x所以 DM DN =(2,+ 1) (2,- 1) = 000所以= 4 +uuuur uuur16 yDMDN02 - (4 - x )20= 011 分x 20x 240由于点 P 在椭圆上，所以+ y02 = 1 ，.12

18、分代入得到uuuur uuur-4x2 + 8x - x28x - x2DM DN = 4 +000 =0x 2x 200=0 0 13 分所以x= 80，这与x - 2,2矛0盾14 分所以不存在法三 ：假设存在，记D(2，0), H (4，0)设 P(x , y00)M (4, m)N (4, n)由可得 A(0,1)B(0, -1)，所以 AP 的直线方程为 y = y-1 x +1，60x分BP 的直线方程为 y = y00x+1 x -1，令 x = 4 ，分别可得m =04( y-1)0x4( y+1)0x+1 ， n =-1，8分4( y- 1)04( y0+ 1)0x所以 M

19、(4,+ 1), N (4， 0x00- 1)由于 DH MN , 所以 DH 2 = HN HM分.9所以 4 = |所4( y- 1)0x0+ 1| |4( y+ 1)0x0- 1|以4=|16 y 2 - 16 + 8x00x 20- x 20|.11 分由于点 P 在椭圆上，所以+ y 2x 2040= 1 ，.12分代入得到4 =|8 - 5x0x| ,0解得x0= 8或9x= 80.13 分当 x= 8 时，这与 x00 - 2,2 冲突9当 x= 8 时，点 M , N 在 x 轴同侧，冲突0所以不存在14 分20.解：由于 f ”(x) =x - 2ex，.1分所以f ”(=

20、-0 .)2 分由于 f (0) = 1，所以曲线 f (x) 在(0, f (0)处的切线方程为2x + y -1 = 0 4分令 f (x) =1- xex= 0 ，解得 x = 1 ，所以f (x)的零点为x = 15 分x - 2ex由 f ”(x) = 0 解得 x = 2 ，则 f ”(x) 及 f (x) 的状况如下：x(-,2)2(2,+)f ”(x)-0+f (x)P微小值Pe2- 1 .7 分所以函数f (x)在x = 2时,取得极小值e2- 18 分法一：当 x 1 时， f (x) =1- xex 0 .当f (x )=1- xx 09 分假设 a 1 ，由可知 f (

21、x) 的最小值为 f (2) ， f (x) 的最大值为 f (a) ，10分所以“对任意 x , x a, +) ，有 f (x ) - f (x) - 1恒成立”等价于f (2) - f (a) - 1e21212即e2e2eae2- 1 - 1- a - 1，.11分解得a 112 分所以a的最小值为1.13 分法二：当 x 1 时， f (x) =1- x ex 0 .ex当 x 0 .9分e2且由可知，f (x) 的最小值为 f (2) = -分1 ，.10假设a 1，令 x1= 2, x2a,1) ，则 x , x12a, +)而 f (x ) - f (x ) f (x ) -

22、0 1 时， f (x) =1- xex 0 .当 x 0 .9ex分e2且由可知，f (x) 的最小值为 f (2) = -分假设2 a, +) ，即a 2 时，1 ，.10令 x = 2, 则任取 xe212a, +) ,有 f (x1) - f (x2) = f (2) - f (x2) = - 1- f (x ) - 1e22所以 f (x2) 0 对 x2a, +) 成立，所以必有 x2 1成立，所以a, +) 1,+ + ) ，即a 111分而当a = 1 时， x , x121,+) , f ( x1) 0, f ( x2) 0所以f ( x1) - f ( x2) f ( x1)- 0 f (2) = - 1e2，即a = 1满足要求，12 分而当a 2 时，求出的a 的值，明显大于 1，综上，a的最小值为1.13 分