北京大学2023年数学分析考研试题解答.docx

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1、北京大学 2023 年数学分析考研试题1. 用有限掩盖定理证明聚点原理.62. 是否存在数列xn，其极限点构成的集合为M = 1 11,2 3 ，说明理由.3. 设 I 是无穷区间， f (x)为 I 上的非多项式连续函数，证明：不存在 I 上全都收敛的多项式序列Pn(x)，其极限函数为 f (x).1( )()( )2( )4. 设 fx 在 0,1上连续，在0,1内可导，且满足 f1 = 22 e1- x f0x dx ，求证存在x (0,1)，使得 f (x )= 2x f (x ).5. (1)设 f (x)C1 (R)， I 是有界闭区间， F(x)=+ 1 - f(x) ，证明函数

2、列Fnn(x)在 I 上全都收敛.nf xn2)假设 f (x) C1 (I )，假设 I 是有界开区间，问Fn(x)在 I 上是否全都收敛？说明理由.6. 构造 R 上的函数 f (x)，使其在Q 上连续，其他点连续. Q 表示有理数7. 广义积分+ xf (x)dx 与 + f (x)dx 均收敛，证明I (t )= + x fx dx 在 -1,1 上t( )()00x0有定义，并且有连续的导函数.8. 计算曲线积分 I = ydx + zdy + xdz ，其中G 为 x2 + y2 + z2 = 1与 x + y + z = 0 交线，G从 x 轴正向看是逆时针.9. 证 明 下 面

3、 的 方 程 在 点 (0,0,0 ) 附 近 唯 一 确 定 了 隐 函 数 z = f (x, y ) ，1x +y2 + 1 z + sin z = 0 ，并将 f (x, y)在点(0,0 )开放为带皮亚诺型余项的泰勒公22式，开放到二阶.10. 设 f (x) ， g (x) 是 0, +) 上的非负单调递减连续函数， 且 +0f (x )dx 和+ g (x )dx 均发散.设h (x)= minf (x), g (x)，试问+ h (x)dx 是否肯定发散？说00明理由.北京大学 2023 年数学分析考研试题解答1. 解答用“有限掩盖定理”证明“列紧性定理”。a 分析过程： 设n

4、是一个有界的数列，我们要证明从a n中必可选出一个收敛的子列。a 由于n是一个有界的数列，A a Bn = 1,2,可设n，；a A, B明显n中收敛的子列的极限必属于有限闭区间，也就是说要证明 A, B中的存在一点，必是某个子列的极限。x命 题 ：a 是nx的 某 个 子 列 的 极 限 等 价 于 在的 任 何 邻 域(x - e,x + e)(e 0)a 中必有数列n中的无限多项。x命题：a 不是n的任何子列的极限等价于e存在 0(x) 0，使得I= (x - ex0(x ),x + e0(x )a 中至多只含有数列n中的有限多项。 A, B证明：用反证法，假设结论不真。则中的任何一点x

5、 A, B都e不是某个子列的极限，于是存在 0(x) 0，I使得x= (x - e0(x), x + e0(x)中至多只含有数列a n中的有限多项；I: x A, B明显开区间族x A, B是的一个开掩盖；I依据“ 有限掩盖定理 ”， 从x: x A, B中必存在有限个开区间I, Ixx12,L, Ixm就能掩盖 A, B；即 A, B IU Ixx12ULU Ixm ，IU I1必有xx2ULU Ixm中只含有数列a n中的有限多项，而它又包含a a 数列n的全部项，这与数列n是无限多项冲突。所以，假定不成立。原命题得证。2. 解答 不存在，由于极限点的集合为闭集，而M 为非闭集，由于 1

6、M ，而n1 0 M .n3、设实系数多项式序列 fn(x) 在 R 上全都收敛于实值函数 f (x) ，证明： f (x) 也是多项式。证明 由于实系数多项式序列 fn(x) 在 R 上全都收敛于实值函数 f (x) ，所以对任意e 0 ，存在 N N *，使得当m, n N 时，有fn(x) - fm(x) N 时，f (x) = P(x) + b ，nn其中 P(x) 为某一固定的多项式，b为某一收敛数由于b - b= a为柯西列由于由条件全都收敛于 0,及lim bf (x) - fn= b ，nnm(x) = f (x) - P(x) - b ，nn,mn n所以有 f (x) =

7、P(x) + b ，即 f (x) 也是多项式，结论得证。4、证明 记 F (x)= e1- x2 f (x)，则由积分中值定理，存在h (0,)，使得2F (h )= 2 1 e1- x2 f (x)dx ，0由题设条件知， F (h )= f (1)= F (1),由 Lagrange 中值定理，推得， 存在x (h,1) (0,1)，使得0 = F(x )= e1-x2 (f (x )- 2x f (x )，即 f (x )= 2x f (x ).5、证明1 f C1 (R), I 是有界闭区间， 不妨设 I = a,b，取c a b 0 ，存在d 0 ，当 x , x c, d ， x

8、 - x d 时，有 f (x )- f (x ) 0 ，存在正整数 N ，当n N 时，对一切 x a,b， u 0, 1 ，有n u + x c, d ，且 u + x - x = u 1 d ，n从而 f (u + x)- f (x) e ，F (x)- f (x) e ，n即Fn(x)在 I = a, b上全都收敛于 f (x).2假设 f (x) C1(I )， I 是有界开区间，Fn(x)在 I 上不肯定全都收敛.事实上，我们有例子，例 1 设 f (x)= ln x ， x (0,1)，明显 f C1(0,1)， f (x)= 1 ， lim F(x)= f (x)， x (0,

9、1).xnn但不是全都收敛，这是由于b= sup Fnn0 x 0 ， lim bnn 0 .例 2 设 f (x)=1 ， x (0,1)，xf (x)= -1 ， lim F(x)= f (x)， x (0,1)x2nnb= sup F(x)- f (x) F 1 - f 1 =n2 , lim b 0。n0 x1nn n n 2nnF (x)在(0,1) 上不全都收敛.n6. 解 记Q = r ，构造 f (x)=n1 ，n2r x)rnQ则当 x = rn Q 时， fr+ )- f(nn(r-= 1 ，nn2f (x)在 x Qc 处连续，或承受 Riemann 函数来说明.7. 证

10、明 对每一t (-1,1)，I (t )= + xt f (x )dx0= 1 xt f (x )dx + + xt f (x )dx01= 1 xt +10f (x)xdx + + xt -1xf1(x )dx ，由 Dirichlet 判别法，知以上 I (t )在(-1,1)上有定义， 对任意-1 a b 1， t a, b，+ xt f (x )dx0= 1 xt f (x )dx + + xt f (x )dx01f (x)( )1+= xt +10dx + xt -1xfx1x dx ，当 x (0,1)时， 0 xt +1 xa +1 ， lim xt +1x0+= 0 ，关于t

11、 a, b全都；当 x (1, +)时， 0 0 ，z(0,0,0 ) 22()0,0,0及隐函数存在定理，知存在唯一 z = f (x, y)定义在(0,0 )四周，满足F (x, y, f (x, y)= 0 ，又 z (0,0 )= 0 .1+ 1 z + cos z z= 0由2xx，1 y +z + cos z z= 02yy得 z (0,0 )= - 2 ， zx3y(0,0 )= 0 ，在(0,0 )处1 z- sin z (z2xxx1)2 + cos z z= 0xx2zxy- sin z z zxy+ cos z zxy= 0，1+ 1 z- sin z (z )2 + c

12、os z z= 02yyy得 z(0,0 )= 0 ， zxxxyyy(0,0 )= 0 ， zyy(0,0 )= - 2 .3故 f (x, y)在(0,0 )的泰勒开放为f (x, y)= - 2 x - 133y2 + o x2 + y2.()10、解 未必发散.例 记 Sn= nk =0k !，考虑阶梯函数 f , g ，f (x)= n=0g (x)= 1c()2n + 3 !1c,SS2 n2 n+2(x)，(x)，n=0(2n + 4)!S2 n-1,S2 n+1 则+0f (x)dx = n=0 n=0(2n +1)!+ (2n + 2)!(2n + 3)!1= + ，2n +

13、 3+ g (x)dx = 0n=0 n=0(2n + 2)!+ (2n + 3)!(2n + 4)!1= + ，2n + 4但是h (x)= 1c(x)+1c(x)(2n + 3)!n=0S,S2 n2 n+2(2n + 4)!S2 n-1,S2 n+1 h (x)= n=01c()n + 3 !S ,Snn+1(x)，从而+ h (x)dx = (1 + ，0n=0n + 2)(n + 3)然后再把阶梯函数改造成连续函数，改造方法如下：在区间端点挖一小段，比方第一个连续点取 1 长的小段，其次个连续点取21 ,，第 n 个连续点取 1 ，在小段上用直线连接起来就可以.222n由于 f ， g 都是有界的，这样去掉的小段的总长也是有界的，那么阶梯函数和这样改造成的连续函数在这些小段上的积分也只相差一个有界的量，从而构造的连续函数的积分也是发散的.第十题这道题见于北大伍胜健教授编著的“数学分析“(其次册)(“北京大学数学教学系列丛书,2023 年2 月出版“)第八章习题第 7 题,原书有提示.89