【课件】余弦定理与正弦定理第3课时+课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、余弦定理与正弦定理余弦定理与正弦定理第第3课时课时新知探究新知探究问题1正弦定理如何描述？文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号语言：在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则新知探究新知探究问题2想一想正弦定理的常见变形有哪些？（1）sin Asin Bsin Cabc；（2）新知探究新知探究问题3我们知道每个三角形都有外接圆，请问外接圆的直径与正弦定理之间有关系吗？有什么关系呢？有，（是外接圆的半径）新知探究新知探究问题4在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c对任意三角形都成立吗？当C为锐角或钝角时，如图所以ABc2R，所以 ，由正弦定理得在RtABC中

2、，AABBCCBB新知探究新知探究问题4在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c对任意三角形都成立吗？根据同弧的圆周角相等得BB，所以上式对任意三角形都成立所以 ，在ABC中，由正弦定理得所以AABBCCBB新知探究新知探究问题5根据 ，你能推出正弦定理的哪些变形？若R为ABC外接圆的半径，则（1）a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；（2）sin A ，sin B ，sin C ；（3）新知探究新知探究追问：追问：在ABC中，A ，BC4，则ABC外接圆的面积为_4解析：解析：设ABC外接圆的半径为R，故ABC外接圆的面积为R28则8新知探究新知探究问题6已知两条边的边长

3、和其中一边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？已知两角一边，有解时，只有一解；已知两边及其一边的对角，有解的情况可分别为几种情况A为锐角时，若ab sin A，无解；A为钝角或直角时，若ab，ab，均无解；ab sin A或ab，一解；b sin Aab，两解；ab，一解新知探究新知探究追问：追问：已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A60，c6，a6，则此三角形有几解？由等边对等角可得CA60，由三角形的内角和可得B60，所以此三角形为正三角形，有唯一解新知探究新知探究问题7判断三角形形状时，围绕三角形的边角关系，如何利用正弦定理进行边角互化？利用正弦定理判断三角形

4、的形状的两条途径：（1）化角为边将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如ab，a2b2c2，或余弦定理，进而确定三角形的形状利用的公式为sin A ，sin B ，sin C 新知探究新知探究问题7判断三角形形状时，围绕三角形的边角关系，如何利用正弦定理进行边角互化？利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径：（2）化边为角将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状利用的公式为：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C例1已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为

5、a，b，c，且a sin b sin A，b3初步应用初步应用2（1）求ABC外接圆的面积；解答：解答：（1）由正弦定理，sin A sin sin Bsin A，2故因为sin 0，2所以cos0，2=12故 60，则B120，2故R ，则ABC外接圆的面积为3例1已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin b sin A，b3又ba，所以A30初步应用初步应用2（1）求ABC外接圆的面积；由正弦定理得：所以sin A例2在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，试判断ABC的形状 初步应用初步应用解答：解答：法一（化角为边）将已知等式变形

6、为b2（1cos2C）c2（1cos2B）2bccos Bcos C 由余弦定理并整理，得A90 b2c2ABC是直角三角形例2在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，试判断ABC的形状 初步应用初步应用法二（化边为角）由正弦定理，已知条件可化为sin2Csin2Bsin2Csin2B2sin Bsin Ccos Bcos C又sin Bsin C0，又0BC180，ABC是直角三角形sin Bsin Ccos Bcos C，即cos（BC）0BC90，A90初步应用初步应用例3台风中心位于某市正东方向300 km处，正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台

7、风中心250 km范围内将会受其影响如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间？（精确到0.1 h）如何解决这个问题？先画出简图，将已知标在图上，合理选用正弦定理求解，注意三角形解的讨论（详解参考教材P113例6的解析）课堂练习课堂练习练习：练习：教科书第114页练习1，2归纳小结归纳小结（1）正弦定理的应用有哪些？（2）正弦定理如何实现三角形中边角关系的相互转化？问题8本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）正弦定理的应用：已知两角和任一边，求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角（2）利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方

8、面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决作业布置作业布置作业：作业：教科书第114页，练习3，4P124A组第1题 1目标检测目标检测CACDB36因为0A，0B，所以sin A0，sin B ，所以B 2目标检测目标检测B在ABC中，AB2，AC3，B60，则cos C（）ACDB解得sin C 所以cos C 解析：解析：由正弦定理，得 ，即 ，因为ABAC，所以CB，3目标检测目标检测3在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，cos A ，则ABC的外接圆的面积为_12设外接圆的半径为R，解析：解析：在ABC中，cos A ，

9、12sin A则由正弦定理可得4目标检测目标检测在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状解：方法一：sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，2sin Bcos C2sin Bcos（90B）2sin2Bsin A1，0B90，B45，C45，根据正弦定理A是直角，BC90，sin B ABC是等腰直角三角形4目标检测目标检测在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状方法二：sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A180（BC），sin A2sin Bcos C，根据正弦定理A是直角sin（BC）0又90BC90，BC0，BC，ABC是等腰直角三角形sin（BC）sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，