【课件】球与多面体的内切、外接课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、球的内切、外接球的内切、外接问题问题 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步引引 入入公式归纳：公式归纳：圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台OR球球lOO2rrOOr2rrl2r2rOSlr探究新知探究新知5.球与多面体的内切、外接球与多面体的内切、外接类型：内切球、棱切球、外接球类型：内切球、棱切球、外接球内切球：内切球：若一个多面体的若一个多面体的各面各面都与一个球的都与一个球的球面相切球面相切，称，称这个这个球是这个多面体的球是这个多面体的内切球内切球，这个多面体是这个球的这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体.棱切球：棱切球：若一个多面体的若一个多面体的各棱各棱都与一个球的都与一个球的球面相切

2、球面相切，称这个，称这个球是这个多面体的球是这个多面体的棱切球棱切球.外接球：外接球：一个多面体的一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的都在一个球的球面上球面上，称这个球，称这个球是这个多面体的是这个多面体的外接球，外接球，这个多面体是这个球的这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体.多面体多面体在球体内在球体内多面体多面体在球体外在球体外探究新知探究新知（1）正方体）正方体切切点：各个面的中心点：各个面的中心.球心：正方体的中心球心：正方体的中心.直径：相对直径：相对两个面中心连线两个面中心连线.直径等于正方体的棱长直径等于正方体的棱长.内切球内切球OO棱切球棱切球OO切点：各棱的中点切点：各

3、棱的中点.球心：正方体的中心球心：正方体的中心.直径：直径：“对棱对棱”中点连线中点连线直径等于正方体一个面的对角线长直径等于正方体一个面的对角线长.外接球外接球OABCDOABCD直径等于正方体的体对角线直径等于正方体的体对角线长长.a是正方体棱长是正方体棱长球心：正方体的中心球心：正方体的中心.直径：直径：体对角线体对角线例题讲解例题讲解OOA解：解：作出截面图如图示作出截面图如图示.由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即2R=2，R=1.球的体积为球的体积为3.将一个棱长为将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制的正方体铁块磨制成一个

4、球零件，求可能制作的最大零件的体积作的最大零件的体积.2R=6，即，即R=3.教材教材119页页例题讲解例题讲解4.一个长、宽、高分别为一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有的水槽中装有200000cm3的水，现放入一个直径为的水，现放入一个直径为50cm的木球的木球.如果木球的三分之二在如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.解：解：由题意知由题意知水槽在水面以上的体积为水槽在水面以上的体积为又木球浸在水中的体积为又木球浸在水中的体积为水不会从水槽中溢出水不会从水槽中溢出.6.甲球内切于正方体的各

5、面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为外接于该正方体，则三球表面面积之比为()()A.1:2:3 B.C.D.A5.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为为24，则该球的体积为，则该球的体积为 .探究新知探究新知（2）长方体）长方体内切球内切球一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切个面相切.如果一个长方体有内切球，那么它一定是如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体正方体例如

6、，装乒乓球的盒子例如，装乒乓球的盒子问题问题6 一般的长方体有内切球吗？一般的长方体有内切球吗？没有没有.例题讲解例题讲解（2）长方体）长方体OABCDOABCD解：解：作出截面图如图示作出截面图如图示.由图可知，球的直径等于正方体由图可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即的体对角线长，即 球的表面积为球的表面积为14外接球外接球例题讲解例题讲解变变式式 长方体长方体的共顶点的三个侧面积分别为的共顶点的三个侧面积分别为 ，则，则它的外它的外接球的表面积为接球的表面积为_.解：解：设长方体共顶点的三条棱长分别为设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则，则Oabcab=bc=ac=a=b=1

7、c=4R2=a2+b2+c2=9S球=4R2=9探究新知探究新知内切球内切球（3）圆柱、直棱柱）圆柱、直棱柱若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面图，求出球的半径图，求出球的半径.若球与直三棱柱各个面相切，则球的直径为棱柱高若球与直三棱柱各个面相切，则球的直径为棱柱高.例题讲解例题讲解（3）圆柱、直棱柱）圆柱、直棱柱OO2CBAaO1BAO2=R2=AO2=AO22+OO22=OO2=S球球=4R2=外接球外接球探究新知探究新知直棱柱外接球半径求法直棱柱外接球半径求法3、1、球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点；球心是上、下底面外接圆圆

8、心所连线段的中点；2、球心到底面的距离是侧棱长的一半、球心到底面的距离是侧棱长的一半 ro1o o2R课堂练习课堂练习 ro1o o2R5a2课堂练习课堂练习设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E例题讲解例题讲解（4）正棱锥）正棱锥、圆锥、圆锥内切球内切球例例6 正三棱锥的高为正三棱锥的高为1，底面边长为，底面边长为2，内有一个球与，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积ABCDPOE解1：如图，P-ABC为正三棱锥,以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥PE为斜高,PD=2,

9、易知 ，S球=4r2=V球=r3=利用等体积直接来求半径利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)等体积法等体积法例题讲解例题讲解（4）正棱锥、）正棱锥、圆锥圆锥内切球内切球例例6 正三棱锥的高为正三棱锥的高为1，底面边长为，底面边长为2，内有一个球与，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积ABCDPOE解2：如图，P-ABC为正三棱锥,设球的半径为r，底面中心为点D,内切球球O与底面ABC切于点D,与侧面PBC切于点F,PE为斜高D,过PA,PD作轴截面，交BC边中点E,PD

10、=1,易知 ，S球=4r2=V球=r3=rrOEPADF连接OE，OF由POFPEO，得 ，解得r=轴截面法轴截面法作轴截面，作轴截面，球心在棱锥的高所在的直线上球心在棱锥的高所在的直线上.例题讲解例题讲解例例7 轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为半径为2，求球的表面积，求球的表面积.ABCDO解：如图所示，作出轴截面，因为解：如图所示，作出轴截面，因为ABC为正三角形，为正三角形，CO1=AC=2,AC=4,AO1=2 ,12RtAOE RtACO1,所以E=OEAOCO1ACOE=R=32S=163ABCO1OEO2例

11、题讲解例题讲解（4）正棱锥）正棱锥、圆锥、圆锥36外接球外接球OOAOPRROPO=4，OO=4R，AO=RAO2=OO 2 +AO 2，R=3例例8OOO课堂练习课堂练习（4）正棱锥）正棱锥、圆锥、圆锥外接球外接球探究新知探究新知（4）正棱锥）正棱锥、圆锥、圆锥正棱锥外接球半径求法正棱锥外接球半径求法轴截面法轴截面法1.球心在棱锥的高所在的直线上球心在棱锥的高所在的直线上2.球心到底面外接圆圆心的距离球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高等于锥体的高h 减去球半径减去球半径R的绝对值的绝对值 d=|h R|外接球外接球3.OAOPRlRh|h-R|例题讲解例题讲解（4）正棱锥）正棱锥球球的

12、内接正四面体的内接正四面体问题问题(正四面体的外接球正四面体的外接球)ODROPCBAa解解1：作出截面图如图示作出截面图如图示.由图可知，由图可知，ROADOPRaR例题讲解例题讲解解解2：补形法补形法.OPCBA（4）正棱锥）正棱锥球球的内接正四面体的内接正四面体问题问题(正四面体的外接球正四面体的外接球)探究新知探究新知同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或正方体正方体PABC补形法：补形法：（4）正棱锥）正棱锥

13、球球的内接正四面体的内接正四面体问题问题(正四面体的外接球正四面体的外接球)探究新知探究新知总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系ODROPCBAaROADOPRaR1.若正四面体棱长为若正四面体棱长为a，外接球半径为，外接球半径为R，内切球半径为，内切球半径为r，则，则r2.若正四面体的高为若正四面体的高为h，则，则h课堂小结课堂小结OR1.球的表面积、体积公式球的表面积、体积公式2.球与多面体的内切、外接球与多面体的内切、外接方法：方法：结论：结论：1.正方体的三个球正方体的三个球2.长方体的外接球长方体的外接球3.直棱柱直棱柱 圆圆 柱柱内切、外接球内切、外接球4.正棱锥正棱锥 圆圆 锥锥内切、外接球内切、外接球5.正正四面体四面体内切、外接球内切、外接球等体积法等体积法补形法补形法轴截面法轴截面法布置作业布置作业（1）教材（2）同步作业THANKS