【课件】基本不等式课件-+2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

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1、基本不等式基本不等式主要内容基本不等式的应用基本不等式的推导及其证明基本不等式的推导及其证明第1课时 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 设直角三角形的两条直角边长为a、b,那么正方形的边长为 .将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH

2、缩为一个点，这时有结论1：证明：作差比较 a2+b2-2ab=(a-b)2 当ab时，(a-b)20 得 a2+b22ab 当a=b时，(a-b)2=0 得 a2+b2=2ab 特别地，如果a0,b0,我们用 、分别代替上面结论中的a、b，可得证明同前面结论1结论2基本不等式的几何意义 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证tADtDB，那么 D2AB即D.由于CD不大于圆的半径 所以 其中当且仅当点C 与圆心重合，即ab时，等号成立.的几何意义是“半径不小于半弦”因此，基本

3、不等式 如果把 看作是正数a、b的等差中项，把 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.基本不等式 代数意义 为a、b的算术平均数，为几何平均数，那么两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式的推广：基本不等式的推广：若若 则则 叫做叫做n个正数的算术平均数，个正数的算术平均数，叫做叫做n个正数的个正数的几何平均数几何平均数.n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.例1.求证证明：当且仅当a=即a=1时，等号成立.当且仅当 =即a=b时，等号成立.证明：由于x、y都是正数，根据基本不等式得例2.已知x、y 都是正数，求证：（xy

4、）（x2y2）（x3y3）x3y3.（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.三式相乘得当且仅当x=y时等号成立.例3.若x0，y0，且x+y=2，求x2+y2的最小值解：x2+y22xy，2(x2+y2)(x+y)2x+y=2，x2+y22即x2+y2的最小值为2,当且仅当x=y=1时取得最小值.2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若ab，则两车到达B地的情况是()(A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地 (C)同时到达 (D)不能判定 1.“a0且b0”是“”成立的()(A)充分而非必

5、要条件(B)必要而非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 AA练习3.已知a、b、c都是正数，求证（ab）（bc）（ca）abc证明：由于a、b、c都是正数，根据基本不等式得（ab）（bc）（ca）abc三式相乘得当且仅当a=b=c时等号成立.证明：由a0,b0,-b0 当且仅当-a=-b即a=b时等号成立.小结1.基本不等式的推导及其意义2.利用基本不等式证明简单不等式作业P100 练习1P100 习题3.4 A组1,2补充作业基本不等式的应用第2课时复习：基本不等式对于结论2，应把握三点：“一正、二定、三相等”例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的

6、长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.由可得 分析：对于(1)矩形菜园的面积是确定的,长和宽没有确定.篱笆最短即矩形的周长最短.当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.解：（2）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则 2（x+y）=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xy m2.由可得 分析：对于(2)矩形菜园的周

7、长是确定的,长和宽没有确定.菜园的面积最大即矩形的面积最大.当且仅当x=y时，等号成立，此时x=y=9.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.1.已知两个正数x，y，求x+y与xy的最值.(1)xy为定值p，那么当xy时，x+y有最小值 ；(2)x+y为定值s，那么当xy时，积xy有最大值 .利用基本不等式 求最值的要点2.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问

8、怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了基本不等式定理.解：设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为z元，根据题意，得当 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.例3.已知x1，求x 的最小值以及取得最小值时x的值.解：因为 x1 所以 x10 当且仅当x1 （x1)即x=2时，取“”号.答：最小值是3，取得最小值时x的值为2.例4 已知 a、b为正常数，且 求x+y的最小值.例5.求函数 的最小值.利用函数利用函数 (t0)(t0)的单调性的

9、单调性.单调递减，单调递增分析：分析：解解:4522+=xxy1下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为4的是的是()(A)(B)(C)(D)C 练习 2.某某公公司司租租地地建建仓仓库库，每每月月土土地地占占用用费费y1与与仓仓库库到到车车站站的的距距离离成成反反比比，而而每每月月库库存存货货物物的的运运费费y2与与到到车车站站的的距距离离成成正正比比，如如果果在在距距离离车车站站10公公里里处处建建仓仓库库，这这两两项项费费用用y1和和y2分分别别为为2万万元元和和8万万元元，那那么么要要使使这这两两项费用之和最小，仓库应建在离车站项费用之和最小，仓库应建在离车站()(A)5公里公里 (B

10、)4公里公里 (C)3公里公里 (D)2公里公里 A 4.若正数若正数x、y满足满足x+2y1.求求 的最小值的最小值.3.已知已知lgx+lgy1，的最小值是的最小值是_.5.已知正数已知正数a、b满足满足a+b1.(1)求求ab的取值范围；的取值范围；(2)求求 的最小值的最小值.当且仅当 时取“=”号即当 时,函数的最小值为解解:6.求函数 的最小值.)1(113)(2-+-=xxxxxf 7.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).ABab小结 1.已知两个正数x，y，求x+y与xy的最值.(1)xy为定值p，那么当xy时，x+y有最小值 ；(2)x+y为定值s，那么当xy时，积xy有最大值 .2.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”一正,二定,三相等必须有自变量值能使函数取到等号.各项必须为正;含变数的各项和或积必须为定值;3.利用基本不等式求函数最值的步骤:作业习题P100-101组，2,3,4组1,2