【课件】余弦定理与正弦定理第1课时 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、余弦定理与正弦定理余弦定理与正弦定理第第1课时课时导入新课导入新课情境中的问题可以转化为：已知b，c和角A，如何求a问题1隧道工程的设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，那么如何求出山脚的长度BC呢（如图）？已知AB，AC，角A（两条边，一个夹角）ABC山新知探究新知探究问题2在ABC中，当C90时，有c2a2b2，若a，b边的大小不变，变换角C的大小时，c2与a2b2有什么大小关系呢？当90C180时，1cosC0，此时c2a2b2；据此看出，当C90时，c2a2b2当0C90时，0co

2、sC1，此时c2a2b2新知探究新知探究问题3在问题2中，我们已经知道，当c90时，c2a2b2，那么c2与a2b2到底有什么大小关系呢？如何探究？其它边也有类似的关系吗？abcABCa2b22abcosC，所以c2a2b22abcosC同理可证：a2b2c22bccosA，b2c2a22accosB所以其它边也有类似关系新知探究新知探究问题3在问题2中，我们已经知道，当c90时，c2a2b2，那么c2与a2b2到底有什么大小关系呢？如何探究？其它边也有类似的关系吗？方法2：（坐标法）证明：如图以 为原点，为 轴建立平面直角坐标系，则（0，0），（cos，sin），（，0）所以a2（ccosA

3、b）2（csinA）2c2cos2Ac2sin2A2bccosAb2b2c22bccosA，同理可证b2c2a22accosB，c2a2b22abcosCabcABCyx新知探究新知探究问题3在问题2中，我们已经知道，当c90时，c2a2b2，那么c2与a2b2到底有什么大小关系呢？如何探究？其它边也有类似的关系吗？方法3：（几何法）证明：当 为锐角时，在三角形中，已知，和，作，a2CD2BD2（bsinA）2（cbcosA）2b2sin2Ac2b2cos2A2bccosA当A为直角时：由勾股定理a2b2c2，又cosA0，a2b2c22bccosA成立，b2c22bccosA当A为钝角同理可

4、证bcABCaD新知探究新知探究问题4余弦定理和勾股定理有什么关系？余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例新知探究新知探究问题5余弦定理及其变式有哪些？追问：追问：使用余弦定理可以解决哪些解三角形问题？已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；已知三边，求三个角新知探究新知探究问题6三角形的面积公式是什么？能用角表示吗？如何表示？能，如图，因为hbsinAasinb，12同理得ACBhbca初步应用初步应用例1如图，有两条直线AB和CD相交成80角，交点为O甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别为4km/h，4.5km/h3h后两人相距多远？（精确

5、到0.1km）3h后两人相距16.4km（详解参考教材P109例1的解析）BOPADQC80初步应用初步应用DCBA111（详解参考教材P109例2的解析）cosBAD0.1691，即BAD80初步应用初步应用（1）m1；（2）ABC面积的最大值为（详解参考教材P110例3的解析）12（1）若mbcb2c2a2，求实数m的值；课堂练习课堂练习练习：练习：教科书第110页练习1，2，3归纳小结归纳小结（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？（2）余弦定理的变式有哪些？三角形的面积公式是什么？问题3本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）我们发现了余弦定理，三角形面积公式的

6、另一种表达形式；（2）变式：归纳小结归纳小结（3）余弦定理的应用有哪些？（4）你有什么困惑吗？问题3本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（3）余弦定理的应用：已知三边，求三个角；（4）困惑是：已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角作业布置作业布置作业：作业：教科书第123页，A组3，4，5，61目标检测目标检测A在ABC中，BC1，AC5，则AB（）解析：解析：，得AB2AC2BC22ACBCcosC521225132，2目标检测目标检测C3在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，若c2（ab）24，C，则ABC的面积是（）AB332又由余弦定理可得：c2a2b2ab，解得：ab4，解析：解析：c2（ab）24a2b22ab4，C，342abab，3目标检测目标检测D在ABC中，abc357，则ABC的最大角是（）A30C90D120B60解析：解析：由abc357，知最大边为c，最大角为C，设a3k，b5k，c7k（k0），则又0C180，C1204目标检测目标检测ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a7，c5，A60（1）求cosC；（2）求ABC的面积解答：解答：（1）由余弦定理a2b2c22bccosA得b2255b49，解得b3（舍）或b8（2）由（1）得：