【课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时.pptx

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1、第六章第六章计数原理计数原理 汽车牌照的序号一般是从汽车牌照的序号一般是从26个英文字母、个英文字母、10个阿拉伯个阿拉伯数字中选出若干个，并按照适当顺序排列而成数字中选出若干个，并按照适当顺序排列而成.随着人们随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌子号生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌子号码需要扩容码需要扩容.那么，交通管理部门应该如何确定序号的组那么，交通管理部门应该如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要数出某种汽车成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要数出某种汽车号牌的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数号牌的组成方案下所有可能的序号数，这就

2、是计数.日常生活、生产中类似的问题大量存在日常生活、生产中类似的问题大量存在.例如，幼儿例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛需要知道共需要举行多少场比赛.在小学我们学了加法和乘法，这是将在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个若干个“小小”的的数数结合成结合成“较大较大”的数的数最基本的方法最基本的方法.这两种方法经过这两种方法经过推推广广就成了本章将要学习的就成了本章将要学习的分类加法计数原理分

3、类加法计数原理和和分步乘法计分步乘法计数原理数原理.这两个原理是解决计数问题的这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的最基本、最重要的方法方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式计数公式排列数公式和组合数公式排列数公式和组合数公式，应用公式就可以，应用公式就可以方便地解决一些计数问题方便地解决一些计数问题.用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号号如果问题中数量很少，一个一个地

4、数也不失为一种如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法计数的好方法.但但如果问题中数量很多如果问题中数量很多，我们还一个一个我们还一个一个地去数吗？地去数吗？6.1分类分类加法加法计数原理与分步计数原理计数原理与分步计数原理 作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的学习在数学上有广泛应用的二项式定理二项式定理.计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的

5、方法效率不高，能否设计巧妙的举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法数法”，以提高效，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法的计数方法.思考思考?用一个大写的英文字母用一个大写的英文字母或或一个阿拉伯数字给教一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？因为英文字母共有因为英文字母共有26个个,阿拉伯数字共有阿拉伯数字共有10个个,所以总所以总共可以编出共可以编出 26+10=36种不同的号码种不同的号码.探究探究!你能说说这个问题的特征吗你能说说这个问

6、题的特征吗?首先，这里要完成的事情是首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号给一个座位编号”；其；其次是次是“或或”字的出现字的出现:一个座位可以用一个英文字母或一一个座位可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示个阿拉伯数字表示.因为英文字母、阿拉伯数字互不相同，因为英文字母、阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也是互不相同的是互不相同的.这两类号码数相加就得到号码的总数这两类号码数相加就得到号码的总数.(1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；号码两类

7、；(2)分别计算各类号码的个数；分别计算各类号码的个数；(3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.你能举出一些生活中类似的例子吗？你能举出一些生活中类似的例子吗？上述计数过程的基本环节是：上述计数过程的基本环节是：一般地，有如下一般地，有如下分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有类方案中有m种不种不同的方法，在第同的方法，在第2类方案中有类方案中有n 种不同的方法，那么完成这种不同的方法，那么完成这件事共有件事共有 Nmn种不同的方法种不同的方法.例例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕

8、业生了解到在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：下：如果这名同学只能选一个专业，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？那么他共有多少种选择呢？解：解：这名同学可以选择这名同学可以选择A，B大学中的一所大学中的一所.A大学大学B大学大学生物学生物学数学数学化学化学会计学会计学医学医学信息技术学信息技术学物理学物理学法学法学工程学工程学 分析分析:要完成的事情是要完成的事情是“选一选一个专业个专业”.因为这名同学在因为这名同学在A,B两两所大学中只能选择一所，而且只能所大学中只

9、能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件类加法计数原理的条件.例例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：下：如果这名同学只能选一个专业，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？那么他共有多少种选择呢？解：解：这名同学可以选择这名同学可以选择A，B大大学中的一所学中的一所.在在A大学中有大学中有5种专业种专业选择选择

10、 方法，在方法，在B大学中有大学中有4种专业选种专业选择方法，因为没有一个强项专业是择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的两所大学共有的.A大学大学B大学大学生物学生物学数学数学化学化学会计学会计学医学医学信息技术学信息技术学物理学物理学法学法学工程学工程学 所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为择种数为 N=5+4=9.探究！探究！如果完成一件事有三类不同方案如果完成一件事有三类不同方案,在第在第1类方案类方案中有中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方案中有类方案中有m2种不同的方法种不同的方法,在第在第3类方案

11、中有类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？多少种不同的方法？Nm1m2m3 如果完成一件事有如果完成一件事有n类不同方案类不同方案,在第在第1类方案中有类方案中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方案中有类方案中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n类方案中有类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为法总数为:Nm1m2mn 练习练习 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船还可以乘轮船.一天中一天中,火车有火车有4 班班,汽

12、车有汽车有2班，轮船有班，轮船有3班班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法种不同的走法?解解:从甲地到乙地有从甲地到乙地有3类方法类方法,第一类方法第一类方法,乘火车，有乘火车，有4种方法种方法;第二类方法第二类方法,乘汽车，有乘汽车，有2种方法种方法;第三类方法第三类方法,乘轮船乘轮船,有有3种方法种方法;所以从甲地到乙地共有所以从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种方法种方法.探究！探究！用用A,B,C,D,E,F这这6个大写英文字母个大写英文字母19九九个阿拉伯数字，以个阿拉伯数字，以A1，A2，B1，B2，的方式给教室

13、的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？这里要完成的事情仍然是这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号给一个座位编号”，但与，但与前一问题要求不同前一问题要求不同.在前一问题中，用在前一问题中，用26个英文字母中的个英文字母中的任意一个或任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个

14、英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤。一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤。A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99种种用下图所示的方法可以列出所有可能的号码用下图所示的方法可以列出所有可能的号码.B123456789B1B2B3B4B5B6B7B8B99种种个不同的号码个不同的号码.6 9=54 由于前由于前6个英文字母中的任意一个都能与个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有任何一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有探究！探究！你能说说这个问题的特征吗？你能说说这个问题的特征吗？上述问题要完成

15、的一件事情仍然是上述问题要完成的一件事情仍然是给一个座位编号给一个座位编号，其中最重要的特征是其中最重要的特征是“和和”字的出现：一个座位编号由一字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的同的.一般地，有如下一般地，有如下分步乘法计数原理：分步乘法计数原理：完成一件事需要分成两个步骤，做第完成一件事需要分成两

16、个步骤，做第1步有步有m种不同的种不同的方法，做第方法，做第2步有步有n种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法，则完成这件事共有 N=mn种不同的方法种不同的方法.例例2 某班有男生某班有男生30名，女生名，女生24名，从中任选男生和女名，从中任选男生和女生各生各1名代表班级参加比赛名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选派方法？共有多少种不同的选派方法？解析：解析：第一步第一步:先选男生先选男生,从从30名男生中选出名男生中选出1人，有人，有30种不同选法；种不同选法；根据分步乘法计数原理，共有不同的选法种数为根据分步乘法计数原理，共有不同的选法种数为 第二步：选女生有，从第二步：选女生有

17、，从24名女生中选出名女生中选出1人人,有有24种不种不同选择同选择.3024720.分析分析:要完成的一件事是要完成的一件事是“选男生和女生各选男生和女生各1名名”，可可分两步：分两步：第一步第一步,选男生；选男生；第二步第二步,选女生选女生.练习练习 如图如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条条,由由B村去村去C村的村的道路有道路有2条条.从从A村经村经B村去村去C村村,共有多少种不同的走法共有多少种不同的走法?A村村B村村C村村解解:从从A村经村经 B村去村去C村有村有2步步,第一步第一步,由由A村去村去B村有村有3种方法种方法,第二步第二步,由由B村去村去C村有村有2种方法种方

18、法,所以所以,从从A村经村经B村去村去C村共有村共有32=6 种不同的方法种不同的方法.探究！探究！如果完成一件事需要三个步骤如果完成一件事需要三个步骤,做第做第1步有步有m1种种不同的方法不同的方法,做第做第2步有步有m2种不同的方法种不同的方法,做第做第3步有步有m3种种不同的方法不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？那么完成这件事共有多少种不同的方法？N=m1m2m3 如果完成一件事需要如果完成一件事需要n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的种不同的方法，做第方法，做第2步有步有m2种不同的方法种不同的方法 ，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多

19、少种不同的方法？种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？N=m1m2 mn ABm1m2mnABm1m2mn乘法原理看成乘法原理看成“串联电路串联电路”加法原理看成加法原理看成“并联电路并联电路”;例例 3 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放有层放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书，本不同的体育书，(1)从书架上任取从书架上任取1本书，有多少不同的取法？本书，有多少不同的取法？(2)从书架的第从书架的第1,2,3层各取层各取1本书本书,有多少不同的取法有多少不同的取法?解：解：(1)从书架上任取从书架上任

20、取1本书，有三类方案：本书，有三类方案：第第1类方案类方案,从第从第1层中任取一本计算机书层中任取一本计算机书,有有4种方法种方法;第第2类方案类方案,从第从第2层中任取一本文艺书层中任取一本文艺书,有有3种方法种方法;第第3类方案：类方案：从第从第3层中任取一本体育书层中任取一本体育书,有有2种方法种方法.根据根据分类加法记数原理分类加法记数原理,不同取法种数是不同取法种数是 N=4+3+2=9 .分析分析:(1)要完成的一件事是要完成的一件事是“从书架上取从书架上取1本书本书”，可以可以分从第分从第1层、第层、第2层和第层和第3层中取三类方案；层中取三类方案；例例 3 书架的第书架的第1层

21、放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放有层放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书，本不同的体育书，(2)从书架的第从书架的第1,2,3层各取层各取1本书本书,有多少不同的取法有多少不同的取法?分析分析:(2)要完成的一件事是要完成的一件事是“从书架第从书架第1层、第层、第2层、第层、第3层中各取层中各取1本书本书”，可以分三个步骤完成，可以分三个步骤完成.解：解：(2)从书架的第从书架的第1,2,3层各取层各取1本书本书,可以分成三个可以分成三个步骤完成：步骤完成：第第1步步:从第从第1层中任取一本计算机书层中任取一本计算机书,有有4种方法

22、种方法;第第2步步:从第从第2层中任取一本文艺书层中任取一本文艺书,有有3种方法种方法;第第3步步:从第从第3层中任取一本体育书层中任取一本体育书,有有 2 种方法；种方法；根据根据分步乘法记数原理分步乘法记数原理,不同取法种数是不同取法种数是 N=432=24.解决计数问题的一般思维过程：解决计数问题的一般思维过程：要完成的一件事要完成的一件事如何完成这件事如何完成这件事方法的方法的“分类分类”过程的过程的“分步分步”利用分类加法利用分类加法计数原理计数计数原理计数利用分步乘法利用分步乘法计数原理计数计数原理计数 分类要做到分类要做到不重不不重不漏漏.分类后再分别对每一分类后再分别对每一类进行计数类进行计数,最后用分类最后用分类加法计数原理求和加法计数原理求和,得到得到总数总数.分步要做到分步要做到步骤完整步骤完整.即完成了所有步骤即完成了所有步骤,恰好恰好完成任务完成任务.分步后再计算分步后再计算每一步的方法数每一步的方法数,最后根最后根据分步乘法计数原理据分步乘法计数原理,把把完成每一步的方法数相乘，完成每一步的方法数相乘，得到总数得到总数.