【课件】球的表面积和体积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、8.3.8.3.3 3 球表面积和体积球表面积和体积 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步引引 入入圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台lOO2rrh2rOSlrhOOr2rrl2rh引入引入割圆术割圆术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加他用加倍的方式不断增加圆内接正多边圆内接正多边形的边数形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓即所谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”.这样这样重复重复下去，就达到了下去，就达到了“割之又割，以至于不可

2、再割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣割，则与圆合体而无所失矣”.这是世界上这是世界上最早的最早的“极限极限”思想思想.探究新知探究新知1.球的表面积球的表面积设球的半径为设球的半径为R，它的表面积只与半径，它的表面积只与半径R有关，是以有关，是以R为自变量的为自变量的函数函数.事实上，如果球的半径为事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是，那么它的表面积是O 把一个半径为把一个半径为R的球的上半球横的球的上半球横向切成向切成n（无穷大）份，（无穷大）份，每份等高并每份等高并且把每份看成一个类似且把每份看成一个类似圆柱，圆柱，球的表球的表面面积为所有圆柱的侧面积之和积为所有圆柱的侧

3、面积之和.AOS球=4R24 4倍大圆面积倍大圆面积探究新知探究新知S球=4R2把一个半径为把一个半径为R的球的上半球横向切成的球的上半球横向切成n(无穷大无穷大)份份，每份等每份等高并且把每份看成一个类似高并且把每份看成一个类似圆柱，其中半径等于底面圆半径，则圆柱，其中半径等于底面圆半径，则从下到上第从下到上第k个圆柱的侧面积为个圆柱的侧面积为OOrkhkh例题讲解例题讲解例例1 如图如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是径是0.3m，圆柱高圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要

4、米需要0.5kg涂料，那么给涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？料？(取取3.14)解:一个浮标的表面积为 20.150.6+40.152=0.8478(m2),所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.84780.51000=423.9(kg).类比利用圆周长求圆面积方法类比利用圆周长求圆面积方法,我们我们可利用球的表面积求球的体可利用球的表面积求球的体积积.如图如图,把把球球O的表面分成的表面分成n个小网格个小网格,连接连接球心球心O和每个小网格的和每个小网格的顶点顶点,整个整个球体就被分割成球体就被分割成n个个“小锥体小锥体”.当当n越

5、大，每个小网格越小，每个越大，每个小网格越小，每个“小椎体小椎体”的底面越平，的底面越平，“小小椎体椎体”就越接近似于棱锥，其高越近似于球的半径就越接近似于棱锥，其高越近似于球的半径R.设设O-ABCD是其中一个是其中一个“小椎体小椎体”，那么它的体积就为，那么它的体积就为探究新知探究新知OABCD2.球的体积球的体积问题问题1 在小学在小学,我们学习了圆的面积公式我们学习了圆的面积公式,你还记你还记得是如何求得的吗得是如何求得的吗?类比这种方法，你能由球的类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗表面积公式推导出球的体积公式吗?rr探究新知探究新知OABCD由于球的体积就是这由于

6、球的体积就是这n个个“小椎体小椎体”的体积之的体积之和，而这和，而这n个个“小椎体小椎体”的底面积这个就是球的表的底面积这个就是球的表面积面积.因此，球的体积为因此，球的体积为2.球的体积球的体积探究新知探究新知公式归纳：公式归纳：圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台OR球球lOO2rrOOr2rrl2r2rOSlr例题讲解例题讲解 例例2 如图如图示示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比求球与圆柱的体积之比.解解：设球的半径为设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为，则圆柱的底面半径也为R，高，高为为2R.即即球球与圆柱的体积之与圆柱的体积之比比为为2:

7、3.问题问题2 球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？与圆柱的表面积呢？与圆柱的表面积呢？S球=4R2S圆柱 =2R2R=4R2球的体积是圆柱体积的球的体积是圆柱体积的 2/32/3 ，球的表面积也是圆柱全面积的球的表面积也是圆柱全面积的2/3 2/3.这是我生平最得意的 定理圆柱容球圆柱容球课堂练习课堂练习2.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？解：解：由由S球球=V球球，得，得当一个球的半径等于当一个球的半径等于3时，其体积和表面积的数值相等时，其体积和表面积的数值相等.解得解得R=3探究新

8、知探究新知3.球的截面及其性质球的截面及其性质问题问题3 一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？问题问题4 把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，截面会把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，截面会是什么形状是什么形状?提示：弦（线段）提示：弦（线段）.提示：提示：圆面圆面.1.大圆：大圆：球面被经球面被经过球心过球心的平面截得的圆叫的平面截得的圆叫做大圆做大圆.如如O(浅蓝色圆面）浅蓝色圆面）.2.小圆：小圆：球面被球面被不经过球心不经过球心的平面截得的圆的平面截得的圆叫做小圆叫做小圆.如如O(黄色圆面）黄色圆面）.O.OO1探究新

9、知探究新知 性质性质2:球心球心和和截面圆心截面圆心的连线的连线垂直于截面垂直于截面 性质性质1:用一个平面去截用一个平面去截球球，截面是，截面是圆面圆面；性质性质3:球心到截面的距离球心到截面的距离d与球的半径与球的半径R及截面的半径及截面的半径r有下面的关系有下面的关系:3.球的截面及其性质球的截面及其性质垂径定理的拓展垂径定理的拓展O1课堂练习课堂练习2.已知过球面上三点已知过球面上三点A，B，C的截面和球心的的截面和球心的距离为球半径的一半，且距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球，求球的表面积的表面积 1.用用与与球球心心距距离离为为1的的平平面面去去截截球球所所得得的的截

10、截面面面面积为积为，则球的表面积为，则球的表面积为()COOABC探究新知探究新知4.球的切线球的切线直线与球相切：直线与球相切：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点中它们的交点称为直线与球的切点.问题问题5 过球外一点过球外一点P，有无数条切线，那么所有切线长都相等吗？，有无数条切线，那么所有切线长都相等吗？所有切点组成什么图形？所有切点组成什么图形？提示：提示：如图如图 可知可知 ，AP为为定值，这说明，过球外一点的定值，这说明，过球外一点的所有切线长所有切线长都相等都相等，这些切点的集合是，这些切点的集合是一个

11、圆一个圆.切线长定理的拓展切线长定理的拓展探究新知探究新知5.球与多面体的内切、外接球与多面体的内切、外接类型：内切球、棱切球、外接球类型：内切球、棱切球、外接球内切球：内切球：若一个多面体的若一个多面体的各面各面都与一个球的都与一个球的球面相切球面相切，称，称这个这个球是这个多面体的球是这个多面体的内切球内切球，这个多面体是这个球的这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体.棱切球：棱切球：若一个多面体的若一个多面体的各棱各棱都与一个球的都与一个球的球面相切球面相切，称这个，称这个球是这个多面体的球是这个多面体的棱切球棱切球.外接球：外接球：一个多面体的一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的都在

12、一个球的球面上球面上，称这个球，称这个球是这个多面体的是这个多面体的外接球，外接球，这个多面体是这个球的这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体.多面体多面体在球体内在球体内多面体多面体在球体外在球体外探究新知探究新知（1）正方体）正方体切切点：各个面的中心点：各个面的中心.球心：正方体的中心球心：正方体的中心.直径：相对直径：相对两个面中心连线两个面中心连线.直径等于正方体的棱长直径等于正方体的棱长.内切球内切球OO棱切球棱切球OO切点：各棱的中点切点：各棱的中点.球心：正方体的中心球心：正方体的中心.直径：直径：“对棱对棱”中点连线中点连线直径等于正方体一个面的对角线长直径等于正方体一个面

13、的对角线长.外接球外接球OABCDOABCD直径等于正方体的体对角线直径等于正方体的体对角线长长.a是正方体棱长是正方体棱长球心：正方体的中心球心：正方体的中心.直径：直径：体对角线体对角线例题讲解例题讲解OOA解：解：作出截面图如图示作出截面图如图示.由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即2R=2，R=1.球的体积为球的体积为3.将一个棱长为将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的最大零件的体积作的最大零件的体积.2R=6，即，即R=3.教材教材119页页4.一个长、宽、高分别为一个长、宽、高分别

14、为80cm，60cm，55cm的水槽中装有的水槽中装有200000cm3的水，现放入一个直径为的水，现放入一个直径为50cm的木球的木球.如果木球的三分之二在如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.例题讲解例题讲解4.一个长、宽、高分别为一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有的水槽中装有200000cm3的水，现放入一个直径为的水，现放入一个直径为50cm的木球的木球.如果木球的三分之二在如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出

15、.解：解：由题意知由题意知水槽在水面以上的体积为水槽在水面以上的体积为又木球浸在水中的体积为又木球浸在水中的体积为水不会从水槽中溢出水不会从水槽中溢出.6.甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为外接于该正方体，则三球表面面积之比为()()A.1:2:3 B.C.D.A5.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为为24，则该球的体积为，则该球的体积为 .探究新知探究新知（2）长方体）长方体内切球内切球一个球在长方体

16、内部，最多可以和该长方体的一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切个面相切.如果一个长方体有内切球，那么它一定是如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体正方体例如，装乒乓球的盒子例如，装乒乓球的盒子问题问题6 一般的长方体有内切球吗？一般的长方体有内切球吗？没有没有.例题讲解例题讲解（2）长方体）长方体OABCDOABCD解：解：作出截面图如图示作出截面图如图示.由图可知，球的直径等于正方体由图可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即的体对角线长，即 球的表面积为球的表面积为14外接球外接球例题讲解例题讲解变变式式 长方体长方体的共顶点的三个侧面积分别为的共顶点的三个侧面积分别为

17、 ，则，则它的外它的外接球的表面积为接球的表面积为_.解：解：设长方体共顶点的三条棱长分别为设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则，则Oabc探究新知探究新知内切球内切球（3）圆柱、直棱柱）圆柱、直棱柱若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面图，求出球的半径图，求出球的半径.若球与直三棱柱各个面相切，则球的直径为棱柱高若球与直三棱柱各个面相切，则球的直径为棱柱高.例题讲解例题讲解（3）圆柱、直棱柱）圆柱、直棱柱OO2CBAaO1BAO2=R2=AO2=AO22+OO22=OO2=S球球=4R2=外接球外接球探究新知探究新知直棱柱外接球半

18、径求法直棱柱外接球半径求法3、1、球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点；球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点；2、球心到底面的距离是侧棱长的一半、球心到底面的距离是侧棱长的一半 ro1o o2R课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E例题讲解例题讲解（4）正棱锥）正棱锥、圆锥、圆锥内切球内切球例例6 正三棱锥的高为正三棱锥的高为1，底面边长为，底面边长为2，内有一个球与，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积ABCDPOE解1：如图，P-ABC为正三棱锥,以球心

19、O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥PE为斜高D,PD=2,易知 ，S球=4r2=V球=r3=利用等体积直接来求半径利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)等体积法等体积法例题讲解例题讲解（4）正棱锥、）正棱锥、圆锥圆锥内切球内切球例例6 正三棱锥的高为正三棱锥的高为1，底面边长为，底面边长为2，内有一个球与，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积ABCDPOE解2：如图，P-ABC为正三棱锥,设球的半径为r，底面中心为点D,内切球球O与底面ABC切于点D,

20、与侧面PBC切于点F,PE为斜高D,过PA,PD作轴截面，交BC边中点E,PD=2,易知 ，S球=4r2=V球=r3=rrOEPADF连接OE，OF由POFPEO，得 ，解得r=轴截面法轴截面法作轴截面，作轴截面，球心在棱锥的高所在的直线上球心在棱锥的高所在的直线上.例题讲解例题讲解例例7 轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为半径为2，求球的表面积，求球的表面积.ABCDO解：如图所示，作出轴截面，因为解：如图所示，作出轴截面，因为ABC为正三角形，为正三角形，CO1=AC=2,AC=4,AO1=2 ,12RtAOE RtA

21、CO1,所以E=OEAOCO1ACOE=R=32S=163ABCO1OEO2例题讲解例题讲解（4）正棱锥）正棱锥、圆锥、圆锥36外接球外接球OOAOPRROPO=4，OO=4R，AO=RAO2=OO 2 +AO 2，R=3例例8OOO课堂练习课堂练习（4）正棱锥）正棱锥、圆锥、圆锥外接球外接球探究新知探究新知（4）正棱锥）正棱锥、圆锥、圆锥正棱锥外接球半径求法正棱锥外接球半径求法轴截面法轴截面法1.球心在棱锥的高所在的直线上球心在棱锥的高所在的直线上2.球心到底面外接圆圆心的距离球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高等于锥体的高h 减去球半径减去球半径R的绝对值的绝对值 d=|h R|外接球

22、外接球3.OAOPRlRh|h-R|例题讲解例题讲解（4）正棱锥）正棱锥球球的内接正四面体的内接正四面体问题问题(正四面体的外接球正四面体的外接球)ODROPCBAa解解1：作出截面图如图示作出截面图如图示.由图可知，由图可知，ROADOPRaR例题讲解例题讲解解解2：补形法补形法.OPCBA（4）正棱锥）正棱锥球球的内接正四面体的内接正四面体问题问题(正四面体的外接球正四面体的外接球)探究新知探究新知同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱

23、锥都分别可构造长方体或正方体正方体PABC补形法：补形法：探究新知探究新知总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系ODROPCBAaROADOPRaR1.若正四面体棱长为若正四面体棱长为a，外接球半径为，外接球半径为R，内切球半径为，内切球半径为r，则，则r2.若正四面体的高为若正四面体的高为h，则，则h课堂小结课堂小结OR1.球的表面积、体积公式球的表面积、体积公式2.球与多面体的内切、外接球与多面体的内切、外接方法：方法：结论：结论：1.正方体的三个球正方体的三个球2.长方体的外接球长方体的外接球3.直棱柱直棱柱 圆圆 柱柱内切、外接球内切、外接球4.正棱锥正棱锥 圆圆 锥锥内切、外接球内切、外接球5.正正四面体四面体内切、外接球内切、外接球等体积法等体积法补形法补形法轴截面法轴截面法布置作业布置作业（1）教材（2）同步作业THANKS