【公开课】等比数列的前n项和公式（1）+课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、等比数列环节二 等比数列的前n项和公式（1）引入新课引入新课研究数列问题的思路研究数列问题的思路数列的概念数列的表示数列求和应用通项公式数列求和探究新知探究新知问题问题1 1等比数列的定义和通项公式是什么？答案：（1）等比数列的定义：（2）等比数列的通项公式：探究新知探究新知问题问题2 2国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然

2、同意了.追问追问1 1 国王一共应该给他多少颗麦粒？答案：.探究新知探究新知问题问题2 2国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.追问追问2 2 如何计算？首项：1公比：2共64项答案：问题问题2 2国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个

3、格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.追问追问3 3 如何求一个等比数列的前n项和？答案：类比等差数列求和，需要探究等比数列前n项和公式.探究新知探究新知问题问题2 2国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述

4、要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.追追问问4 4 等差数列有求和公式，那么你能否类比等差数列前n项和公式的求法，推导出等比数列的前n项和？探究新知探究新知公式回顾公式回顾回顾：等差数列的前n项和公式的推导过程.等差数列 的前n项和是得，所以根据等差数列的定义探究新知探究新知问题问题2 2国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高

5、，就欣然同意了.追问追问5 5 对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？探究新知探究新知公式探究公式探究因为在等比数列中所以反思：反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.探究新知探究新知公式探究公式探究追问追问6 6 求和的根本目的是什么？消除项与项之间的差异消除中间项答案：利用公差探究新知探究新知公式探究公式探究改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.追追问问7 7 观察 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？答案：探究新知探究新知公式探究公式探究消除中间项追问追问8 8 如何构造另一个式子，与原

6、式相减后可以消除中间项？答案：探究新知探究新知公式探究公式探究设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前 项和是根据等比数列的通项公式，得，即追问追问9 9 要求出 ，是否可以把上式两边同时除以？探究新知探究新知公式探究公式探究追问追问9 9 要求出 ，是否可以把上式两边同时除以？答案：当 时，即 时，当 时，即 时，探究新知探究新知结论结论（1）等比数列的前n项和（2）等比数列求和时，应考虑 与 两种情况.探究新知探究新知问题问题2 2的解决的解决国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3

7、个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.不能实现！不能实现！探究新知探究新知知识应用知识应用例例1 1已知 是等比数列.（1）若 求 ;（2）若 求 ;（3）若 求 .分析：（1）例例1 1已知 是等比数列.（1）若 求 ;（2）若 求 ;（3）若 求 .解：（1）因为所以知识应用知识应用知识应用知识应用例例1 1已知 是等比数列.（1）若 求 ;（2）若 求 ;（3）若 求 .分

8、析：（2）又由 ，所以 例例1 1已知 是等比数列.（1）若 求 ;（2）若 求 ;（3）若 求 .解：（2）所以由 ，得 所以 知识应用知识应用例例1 1已知 是等比数列.（1）若 求 ;（2）若 求 ;（3）若 求 .分析：（3）知识应用知识应用例例1 1已知 是等比数列.（1）若 求 ;（2）若 求 ;（3）若 求 .解：（3）把 代入 ，得整理，得解得知识应用知识应用问题问题3 3对于等比数列的相关量 已知几个量就可以确定其他量？答案：（1）若 求 ;（2）若 求 ;（3）若 求 .基本量法（转化与化归）（方程思想）知三求二知识应用知识应用等比数列环节三 等比数列的前n项和公式(2)引

9、入新课引入新课研究数列问题的思路研究数列问题的思路数列的概念数列的表示数列求和应用通项公式应用探究新知探究新知思考思考等比数列的前n项和公式是什么？答案：知识应用知识应用例例1 1如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些 正方形的面积之和将无限趋近于多少？例例1 1（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；追问追问1

10、 1 如何求每个正方形的面积？答案：需要知道每个正方形的边长.知识应用知识应用例例1 1（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；追问追问2 2 每个正方形的边长之间有什么关系？答案：第1个正方形边长 ；第2个正方形边长 ；第3个正方形边长 ；设第k个正方形边长为a，则第k+1个正方形边长为 得到结论知识应用知识应用例例1 1（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；第2个正方形面积 ；得到结论追问追问3 3 每个正方形的面积之间有什么关系？答案：第1个正方形面积 ；第3个正方形面积 ；设第k个正方形面积为 ，则第k+1个正方形,面积为 知识应用知识应用例例1

11、1（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；追问追问4 4 怎么求连续10个正方形的面积之和？答案：连续10个正方形面积和知识应用知识应用例例1 1（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；解：设正方形ABCD的面积为 ，后继各正方形的面积依次为 则 .由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以 设这10个正方形的面积构成数列 ,则数列 是以25为首项，为公比的等比数列.设 的前n项和为 ，则知识应用知识应用例例1 1追追问问1 1 当n无限增大时，所有这些正方形的面积之和如何表示？（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些 正方形的

12、面积之和将无限趋近于多少？知识应用知识应用例例1 1（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些 正方形的面积之和将无限趋近于多少？所以，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于50.极限思想极限思想在一定的变化过程中，总体逐渐稳定的一种变化趋势以及趋向的值.知识应用知识应用例例2 2去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.追问追问1 1 每年生活垃圾的总量

13、之间有什么关系？答案：第一年：万吨；第二年：万吨；第三年：万吨；得到结论1从今年起每年生活垃圾的总量构成以 为首项，为公比的等比数列.知识应用知识应用例例2 2去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.追问追问2 2 每年以环保方式处理的垃圾量有什么关系？答案：第一年：万吨；第二年：万吨；第三年：万吨；得到结论2从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成以 为首项，为

14、公差的等差数列.知识应用知识应用从今年起每年生活垃圾的总量构成以 为首项，为公比的等比数列.例例2 2结论2从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成以 为首项，为公差的等差数列.追问追问3 3 怎样表示每年通过填埋方式处理的垃圾总量？结论1答案：答案：知识应用知识应用例例2 2解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列 ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 ，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则当 时，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.知识应用知识应用例例2 2方法提炼方法提炼 实际问题 数学模型“每年生活垃圾的总量递增5%”“通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨”“通过填埋方式处理的垃圾总量”分组求和知识应用知识应用