鸡兔同笼原理.docx

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1、鸡兔同笼原理基本问题：“鸡兔同笼原理”是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经中。许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-“假设法”来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。例题1：有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？方法一：解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是2442=122（只）。在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34。有34只兔子。当然鸡就有54只。答：

2、有兔子34只，鸡54只。上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数2-总头数=兔子数。上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍。可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法。方法二：还说例题1。如果设想88只都是兔子，那么就有488只脚，比244只脚多了884-244=108（只）。每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（884-244）（4-2）=54（只）。说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子。而是鸡。当然

3、，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚288=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）。每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚。682=34（只）。说明设想中的“鸡”，有34只是兔子。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，称为“假设法”方法三：根据假设法还可以推到出直接求解的公式：鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）兔数=（总脚数-鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。方法四：之以后学了方程解应用题，我们还可以列方程进行求解。以上是鸡兔同笼原理的基本问题，还有一些变形问题：例1：有一辆

4、货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元。结果得到运费379。6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解:如果没有破损,运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）。因此破损只数是（400-379.6）（1+0.2）=17（只）。答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶。请你想一想,这是“鸡兔同笼原理”同一类型的问题吗？例2：蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成“8条腿”

5、与“6条腿”两种。利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=（118-618）（8-6）=5（只）。因此就知道6条腿的小虫共18-5=13（只）。也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀。再利用一次公式蝉数=（132-20）（2-1）=6（只）。因此蜻蜓数是13-6=7（只）。答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉。例3：某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人解:对2道,3道,4道题的人共有52-7-6=39（人）。他们共做对181-17-56=144（道）。由于对2道和3

6、道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2。5道题的人（2+3）2=2。5）。这样兔脚数=4,鸡脚数=2.5,总脚数=144,总头数=39。对4道题的有（144-2.539）（4-2.5）=31（人）答:做对4道题的有31人。游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元。其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0。60元,圆珠笔每支2。7元,钢笔每支6。3元。问三种笔各有多少支解:从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”,这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作（0.604+2.7）5=1.02（元）。现在转化成价格为1.02和6.3两种笔。用“

7、鸡兔同笼原理”公式可算出,钢笔支数是（300-1.02232）（6.3-1.02）=12（支）。铅笔和圆珠笔共232-12=220（支）。其中圆珠笔220（4+1）=44（支）。铅笔220-44=176（支）。答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支。例5：商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1。5元,小球每个1元。张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多。问每种球各买几个解:因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍。我们设想买中球,小球钱中各出3元。就可买2个中球,3个小球。因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是（1.52+13）（2+3）=1.2（元）。从公式可算出,大球个数是（120-1.255）（3-1.2）=30（个）买中,小球钱数各是（120-303）2=15（元）。可买10个中球,15个小球。