2023年经济数学基础作业电大材料.doc

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1、经济数学基础作业3（线性代数部分第1章行列式第二章矩阵）知识要点：1行列式的概念和性质掌握二阶和三阶行列式的计算。了解行列式的性质：特别是性质1、性质3、性质5。2了解矩阵和几类特殊矩阵的概念3理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；4知道方阵的行列式性质：设是阶方阵，是数，则（1）；（2）；（3）；（4）若可逆，则5.了解矩阵秩的概念；6.理解矩阵初等行变换的概念：（1）将矩阵的某两行对换位置；（2）将某一行遍乘一个非零常数；（3）将矩阵的某一行遍乘一个非零常数加到另一行。7纯熟掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算。掌握这几种运算的有关性质，注意：（1）矩阵的乘法一般不满足互换律，即

2、=不一定成立；（2）在矩阵的乘法中存在有；（3）矩阵乘法的消去律不成立，即且，不能导出。8纯熟掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，纯熟掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。一）填空题1.设矩阵，则的元素.解：的元素表达矩阵中第2行与第3列交叉的元素，即=3。2.设均为3阶矩阵，且，则=. 解：由于 若是阶方阵，是数，则， ， 因此=3. 设均为阶矩阵，则等式成立的充足必要条件是 .解：由于 的充足必要条件是=4. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.解：由于： ，则，5. 设矩阵，则.求逆矩阵的初等行变化法：（二）单项选择题1. 以下结论或等式对的的是（ ） A若均为

3、零矩阵，则有B若，且，则 C对角矩阵是对称矩阵D若，则解：A不对的。零矩阵：所有的元素均为零的矩阵。例如：，B不对的。矩阵乘法的消去律不成立。例如：设， 有，但C对的. 对称矩阵：若矩阵，有，则称矩阵为对称矩阵。 设n阶对角矩阵，显然有，因此矩阵为对称矩阵。D不对的. 例如：设，,有 该题对的的选项为C.2. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵故意义，则为（ ）矩阵 A B C D解：矩阵乘法定义：,规定左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等，并且结果AB仍然是一个矩阵，其行数等于左边矩阵A的行数，其列数等于右边矩阵B的列数。 为,要故意义，则矩阵 的行数=矩阵A的列数4；为矩阵，则为矩阵，要故意义，则

4、矩阵 的列数=矩阵的行数2,故 是一个矩阵，是一个矩阵。该题对的的选项为A.3. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A， B C D解：A都是错误的。 例如：设，容易验证矩阵均可逆，但不可逆，显然是错误的。B是错误的。逆矩阵的性质：C是对的的。 =D是错误的。矩阵的乘法一般不满足互换律。该题对的的选项为C.4. 下列矩阵可逆的是（ ） A B C D 解：矩阵A可逆的方法：（1）； （2）矩阵A是满秩矩阵。A是对的的。由于矩阵是阶梯形矩阵且为满秩矩阵。或B是错误的。，矩阵的秩为2，不是满秩矩阵，故不可逆。C,D都是错误的。矩阵的秩都为1，不是满秩矩阵，故不可逆。该题对的的选项为A.5

5、. 矩阵的秩是（ ） A0 B1 C2 D3解：该题对的的选项为C.三、解答题1计算（1）解：原式=（2）解：原式=（3）解：原式=2计算解：原式= =3设矩阵，求。二阶行列式n阶行列式的计算方法：1 降阶法：2 化三角形矩阵解： 所以 =04设矩阵，拟定的值，使最小。求矩阵A的秩的方法：阶梯行矩阵，则=的非零行的行数。解：当时，=2为最小求矩阵A的秩的方法：阶梯行矩阵，则=的非零行的行数5求矩阵的秩。解：=26求下列矩阵的逆矩阵：（1）解：求矩阵的逆的方法：方法1：方法2： （2）A =求解：下面运用初等行变化法求的逆：=7设矩阵，求解矩阵方程1解矩阵方程：（1）若A可逆，则。（2）若A可逆，则。2运用随着矩阵法求二阶可逆矩阵的逆：，其中随着矩阵解：由于则， ，=四、证明题1试证：若都与可互换，则，也与可互换。若有，则称与可互换。证明：由于，则结合矩阵运算的分派律有：又运用矩阵运算的结合律有：因此，都与可互换。2试证：对于任意方阵，是对称矩阵。若，则称为对称矩阵。转置矩阵的运算性质：证明： 3设均为阶对称矩阵，则是对称矩阵的充足必要条件是：。证明：必要性：若A则B,则称 A是B的充足条件；B是A的必要条件。 由于，为对称矩阵，则。 充足性：由于，则，即是对称矩阵。 4设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。若为可逆矩阵，则证明：由于，为阶可逆矩阵，且，则 。