2023年离散数学形成性考核作业三.doc

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1、离散数学集合论部分综合练习辅导本次活动是本学期的第一次活动（2023.10.14），重要是针对集合论单元的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解一些典型的综合练习题目，帮助大家进一步理解和掌握集合论的基本概念和方法，也使大家尽早地了解本课程期末考试的题型。离散数学是电大计算机科学与技术专业（本科）教学计划改革调整后设立的一门统设必修学位课程本课程4学分，课内72学时，开设一学期本课程的学习目的：通过本课程的学习，使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握解决离散结构所必须的描述工具和方法同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问

2、题的能力，为学生以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础本课程的重要内容涉及：集合论、图论、数理逻辑三个单元集合论单元重要介绍朴素集合论的相关内容，重要在合适定义的论述域中讨论集合的概念、关系及其性质，以及函数概念等一、单项选择题1若集合A2，a， a ，4，则下列表述对的的是( )Aa， a A B a A C2A DA对的答案：B2若集合A=a，b， 1，2 ，B= 1，2，则（ ） AB A，且BA BB A，但BA CB A，但BA DB A，且BA对的答案：B 3设集合A = 1, a ，则P(A) = ( ) A1, a B,1, a C,1, a, 1, a D1, a,

3、1, a 对的答案：C注意：若A是n元集，则幂集P(A )有2 n个元素 4设集合A = 1，2，3，4，5，6 上的二元关系R =a , ba , bA , 且a +b = 8，则R具有的性质为（ ）A自反的 B对称的C对称和传递的 D反自反和传递的对的答案：B由于写出二元关系R的集合表达式为R = 2 , 6，6 , 2，3 , 5，5 , 3，4 , 4显然，R是对称的，不是自反的、反自反的、传递的规定大家能纯熟地写出二元关系R的集合表达式 5设集合A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系R = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，4 , 4，S = 1 , 1，2 , 2，2 , 3

4、，3 , 2，4 , 4，则S是R的（ ）闭包 A自反 B传递 C对称 D以上都不对 对的答案：C想一想：R的自反闭包是什么？假如集合A=1, 2, 3，A上的二元关系R=|xA，yA，x+y=8，那么R的自反闭包是什么？请写出24135 6设集合A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序关系的哈斯图如右图所示，若A的子集B = 3 , 4 , 5，则元素3为B的（ ） A下界 B最大下界 C最小上界 D以上答案都不对对的答案：C二、填空题1设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 应当填写：2n 假如n=5, n=8，那么A的幂集合P(A)的元素个数分别是多少？2设集合

5、A = 1，2，3，4，5 ，B = 1，2，3，R从A到B的二元关系，R =a , baA，bB且2a + b4则R的集合表达式为 应当填写：R = 1 , 1，1 , 2，1 , 3，2 , 1，2 , 2，3 , 13设集合A=0, 1, 2，B=0, 2, 4,R是A到B的二元关系，则R的关系矩阵MR 应当填写：由于R =, , , ，由此可以写出R的关系矩阵 4设集合A=a,b,c，A上的二元关系R=,，S=,则(RS)1=应当填写：, 由于 RS=, ，所以(RS)1=, 5设集合A=a,b,c,d，A上的二元关系R=, , , ，则二元关系R具有的性质是应当填写：反自反的6设集合

6、A=1, 2，B=a, b，那么集合A到B的双射函数是 应当填写：, ，, 想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）1设A、B、C为任意的三个集合，假如AB=AC，判断结论B=C 是否成立？并说明理由 解：结论不成立 设A=1, 2，B=1，C=2，则AB=AC，但BC 2假如R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1R2、R1R2是自反的” 是否成立？并说明理由 解：结论成立 由于R1和R2是A上的自反关系，即IAR1，IAR2 由逆关系定义和IAR1，得IA R1-1； 由IAR1，IAR2，得IA R1R2，IA R1R2所以，R1

7、-1、R1R2、R1R2是自反的acbedf3判断“若偏序集的哈斯图如右图所示，则集合A的极大元为a，f；最大元不存在”是否对的，并说明理由 解：对的按照极大元定义：“若对任意aB，且ba，都有a = b，则称b为B的极大元”，可知a，f是A的极大元，且最大元不存在想一想：“若偏序集的哈斯图如右图所示，则集合A的最大元为a；最小元不存在” 是否对的？再给出一个判断说明题，大家要重视的。想一想：“设N、R分别为自然数集与实数集，f：NR，f (x)=x+6，则f是单射”是否成立？并说明理由四、计算题1设集合Aa, b, c，B=b, d, e，求（1）BA； （2）AB； （3）AB； （4）B

8、A解：（1）BA=a, b, cb, d, e= b （2）AB=a, b, cb, d, e=a, b, c, d, e （3）AB=a, b, cb, d, e=a, c（4）BA= ABBA=a, b, c, d, e b =a, c, d, e 2设集合A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12，R是A上的整除关系，B=2, 4, 6（1）写出关系R的表达式；（2）画出关系R的哈斯图；（3）求出集合B的最大元、最小元123469578101112关系R的哈斯图 解：（1）R=IA, , , , , , , , , , , , , , , （2） （3

9、）集合B没有最大元，最小元是：2adbc 3设集合Aa, b, c, d上的二元关系R的关系图如右图所示（1）写出R的表达式； （2）写出R的关系矩阵； （3）求出R2 解：（1）R, , , （2） （3）R2 = , , , , , , =, , 五、证明题 1试证明集合等式：A (BC)=(AB) (AC)证：若xA (BC)，则xA或xBC，即 xA或xB 且 xA或xC即xAB 且 xAC ，即 x(AB) (AC)，所以A (BC) (AB) (AC) 反之，若x(AB) (AC)，则xAB 且 xAC， 即xA或xB 且 xA或xC，即xA或xBC，即xA (BC)，所以 (AB

10、) (AC) A (BC) 因此 A (BC)=(AB) (AC)想一想：等式A (BC)=(AB) (AC)如何证明？ 2设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aA，存在bA，使得R，则R是等价关系 证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系 任意aA，存在bA，使得R，由于R是对称的，故R； 又R是传递的，即当R，R，可以得到R；由元素a的任意性，知R是自反的所以，R是等价关系 3若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：RS也是A上的偏序关系证明： 任意xA, R, S RS ，所以RS有自反性； 对任意x, yA，由于R，S是反对称的，由 RS 且 RS (R且 S)且(R且 S) (R且R)且( S且 S) x= y且y= x，即x= y所以，RS有反对称性 对任意x, y, z A，由于R，S是传递的，由 RS 且 RS R且 S且R且 S R且R且 S且 S R且 S RS所以，RS有传递性 总之，RS是偏序关系.