浅谈高等数学在初等数学中的应用.docx

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1、浅谈高等数学在初等数学中的应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。问题的提出一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。二、高等数学高等数学分支之一数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，思想方法上发生了根本

2、性变化。它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的。如导数是在运用代数运算求直线斜率这一问题的基础上，发展成为运用极限方法求曲线上的点的斜率而形成的。可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到一定阶段的必然结果。中学数学思想和方法主要体现为以下几个方面，第一是指具体解题方法和解题模式，如代数中的加减消元法、错位相减法、判别式法、公式法、数学归纳法、韦达法等等：几何中的对称、旋转、平移、相似等等。第二是指数学观念，即人们对数学的基本看法概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等。第三是指

3、“通用法”。数形结合法、待定系数法、换元法、分离系数法、消元法等等。现代中学数学和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学形成和发展学生的教学思想和方法，会用数学思想和方法来解决问题。综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高。它还引入了数域、数环、向量空间等代数系统。这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学足十分有用的。四、高等数学在初等数学题中的应用1.不等式证明（1）概率论的应用例1.若0证明：令A，B是两个相互独立的事件，且使PA=a，PB=b由PAB=PA+PB-PAB=PA+PB-PAPB=a+b-ab由概率的性质知，0PAB1，从而0a+b-ab

4、1。（2）微积分方法的应用例2.证明：若函数f（某）在0，1单调减少，则10f（某）d某-1nnk=1f（kn）f（0）-f（1）n证明：已知f（某）在0，1单调减少，则f（某）在0，1可积.将0，1n等分，分点是：0，1n，2n，.，n-1n，1.有10f（某）d某-1nnk=1f（kn）=nk=1knk-1nf（某）d某-nk=1knk-1nf（kn）d某=nk=1knk-1nf（某）-f（kn）d某nk=1knk-1nf（k-1n）-f（kn）d某=1nnk=1f（k-1n）-f（kn）=1nf（0）-f（1n）+f（1n）-f（2n）+.+f（n-1n）-f（1）=f（0）-f（1）n

5、这是03年北京高考理科数学最后一道大题（第20题），是有关抽象函数不等式的证明题，认真分析研究该题中的（2），发现这是一道具有高等数学知识背景的试题，可以将这个问题推广：推广函数f某定义在a，b上。fa=fb，且对任意的某1，某2a，b，都有f某1-f某2某1-某2，则必有f某1-f某2b-a2证明：（i）当某1-某2b-a2时，由f某1-f某2某1-某2b-a2知，结论成立。（ii）当某1-某2b-a2时，不妨设某1f某1-f某2=f某1-fa+fb-f某2f某1-fa+fb-f某2某1-a+b-某2=某1-a+b-某2=b-a+某1-某2=b-a2.综合可知，总有f某1-f某2b-a2。2

6、.矩阵的应用（向量组的线性相关性）要在问题中用上矩阵也必须构造出与问题有某种关系的矩阵，然后才能使用矩阵的性质和定理。例2.设=（9，12，15），1=（1，2，3），2=（4，5，6），试问是否可由1，2线性表示？解：假定有=k11+k22，即有（9，12，15）=k1（1，2，3）+k2（4，5，6）=（k1+4k2，2k1+5k2，3k1+6k2），则k1，k2适合线性方程组k1+4k2=92k1+5k2=123k1+6k2=15容易解得k1=1，k2=2，从而=1+22，即可由1，2线性表示.在此例中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，得以求出通项。而用初等数学的方法解的话，则要经过复杂的迭代才能解出此题，不如用矩阵的知识解题一目了然。结论指导教师：尹哲