2016年江苏理科数学高考试题(含解析).docx

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1、 2016年江苏数学高考试题数学试题参考公式圆柱的体积公式：V =Sh，其中 S是圆柱的底面积，h为高。圆柱1圆锥的体积公式：VSh，其中 S是圆锥的底面积，h为高。3圆锥一、填空题：本大题共 14个小题,每小题 5分,共 70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合 =-1,2,3,6, = | -2 3, 则A B= _.2.复数 = (1+ 2i)(3 - i), 其中 i为虚数单位，则 z的实部是_.ABxxzx2y23.在平面直角坐标系 xOy中，双曲线-=1的焦距是_.734.已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_.3-2x -x25.函数

2、 y=的定义域是.6.如图是一个算法的流程图，则输出的 a的值是.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和小于 10的概率是8.已知a是等差数列，S 是其前 n项和.若 a+a =- 3，S =10，则 a 的值是.2nn12599.定义在区间0,3上的函数 y=sin2x的图象与 y=cosx的图象的交点个数是.10.如图，在平面直角坐标系 xOy中，F是椭圆 x2 y2b+=1(ab0)的右焦点，直线 y=与椭圆交于 B，2a2b2C两点，且BFC = 90,则该椭圆的离心率是.1 (第 10 题)x + a

3、,-1 x 0,(x) =aR .若11.设 f（x）是定义在R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)上， f25其中- x ,0 x 0,b 0,a 1,b 1)xx.已知函数12（1） 设 a=2,b= .f (x) =2 的根; 求方程f(2x) mf(x) -6 R若对任意 x,不等式恒成立，求实数 m 的最大值；( ) ( )g x = f x - 2（2）若0 a 1,b1，函数有且只有 1 个零点，求 ab 的值。20.（本小题满分 16 分）( ) = 1,2,，100= 0 T = t ,t ,，t记U.对数列 a n N* 和U 的子集 T，若T= ,定义 S;若，12

4、knT( ) = 1,3,66a a a .现设 a n N* 是公比为 3 的等+= a + a +a .例如：T= +定义 S时， STt1t2tT1366nk = 2,4=30比数列，且当T时， S.T 求数列 a 的通项公式；n()T 1,2,，kk 1 k 100S a；(1) 对任意正整数，若，求证：Tk +1 U , D U ,S SS + SC 2SD .D（3）设C,求证：CDC5 数学（附加题）21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做， 则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A【选修 41 几

5、何证明选讲】（本小题满分 10 分）如图，在ABC 中，ABC=90，BDAC，D 为垂足，E 是 BC 的中点，求证：EDC=ABD.B.【选修 42：矩阵与变换】（本小题满分 10 分）11 21 -已知矩阵 A =, 矩阵 B 的逆矩阵=2 ，求矩阵 AB.B-10 - 202C.【选修 44：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）1x =1+ t在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为2（t 为参数），椭圆 C 的参数方程3y =t2x =cosq,为（q 为参数）.设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.y = 2sinqaaD.设 a0

6、，|x-1| ，|y-2| ，求证：|2x+y-4|a.33【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字6 说明、证明过程或演算步骤22. （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x-y-2=0，抛物线 C：y =2px(p20).（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为（2-p，-p）；求 p 的取值范围.23.（本小题满分 10 分）7C 4C（1）求的值；3476（2

7、）设 m，n N ，nm，求证：*（m+1）C +（m+2）C +（m+3）C +nC +（n+1）C =（m+1）Cmmmmmm+2.m+1m+2n1nn+2m7 参考版解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上已知集合 A = -1,2,3,6 ， B = x | -2 x 0 的右焦点，直线 = 与椭圆交于 , 两xOya byB C2ab点，且BFC = 90 ，则该椭圆的离心率是yBCxOF6；33 3( )ba ba bx.由题意得 F c,0 ，直线 = 与椭圆方程联立可得-,，,，yB C 22 22 23a b3 a b

8、由 BFC = 90 可得 BF CF = 0 ，BF c +=,- CF = c -，,- ，22223414312c236则 -+= 0 ，由b = a - c 可得=，则e = =c2a2b2222c2a243ax + a, -1 x 0,( ) ( )设 f x 是定义在 上且周期为 2 的函数，在区间 -1,1 上 f x = 2R- x , 0 x 0,cos 0 ，B C由三角形ABCBC在（*）式两侧同时除以cos cos 可得 tan + tan =2tan tan ，BCBCBCtan B + tanC( )( )B C又 tan = -tan - = -tan + = -

9、(#)，AA1- tan BtanCtan B + tanC则 tan tan tan = - tan tan ，ABCBC1- tan BtanC()22 tan B tanC由 tan + tan = 2tan tan 可得 tan tan tan = -，BCBCABC1- tan B tanC令 tan BtanC = t ，由 A,B,C 为锐角可得tan A 0,tan B 0,tan C 0 ，由(#)得1- tan tan 1BCt2t22tan Atan B tanC = -= -，1 11- t-t2t1 1 1 111 112- =- ，由 1则 0 - - ，因此 ta

10、n tan tan 最小值为8，tABCt t 2 44t2tt2当且仅当t = 2 时取到等号，此时tan B + tanC = 4 ， tan BtanC = 2 ，解得 tan = 2 + 2, tan = 2 - 2, tan = 4 （或 tan B,tan C 互换），此时 A,B,C 均为锐角BCA二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本小题满分 14 分）12 4在ABC 中，= 6 ，cos = ， = B CAC54 求的长；AB 求cos-的值A67 2 - 65 2 ；2041.cos = ，

11、为三角形的内角BB53sin B =5ABAC=sinC sin BAB 6= ，即：AB= 5 2 ；3252()a) cos A = -cos C + B = sin BsinC - cos BcosC2cos A = -10又A为三角形的内角7 2sin A =10317 2 - 6cos A -=cos A + sin A =62220（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱ABC A B C-中， D,E 分别为 AB,BC 的中点，点 在侧棱上，FB B1111C且B D A F，A B1 1AC11111AB11求证： 直线 DE /平面 AC F ；11 平面 B DE 平面

12、AC F 111FB见解析；CE2.D,E 为中点，DE 为 DABC 的中位线DE/ACAD13 又ABC A B C-为棱柱，/AC AC11111DE/AC ，又AC 平面AC F1 1，且 DE AC F111111DE/ 平面 AC F ；11a)ABC A B C-为直棱柱， 平面AAA B C1111111 AA AC ，又 AC A B111111 1且= ，AA A B, 平面AA A B1A1AA B B1 111111 AC 平面 AA B B ，111 1又又又DE/AC ，DE 平面，AA B B1 111A F1 平面AA B BDE A F111，A F B D

13、DE B D D= ，且DE B D B DE 平面,11111 A F 平面 B DE ，又 A F AC F11111平面 B DE 平面 AC F 111（本小题满分 14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P - A B C D ，下部分的形状是正四1111棱柱 ABCD - A B C D （如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的 4 倍POO O111111P 若 AB = 6 m ， PO = 2 m ，则仓库的容积是多少；DC111O1 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，当312 m3； 2 3 m ；为多少时，仓库的容积最大？ABPO111

14、DCOAB3.PO = 2 m ，则OO = 8 m ，111= S31 PO = 6 2 = 24 m，V=SOO = 6 8 = 288 m ，V23233P- A B C DABCD1ABCD- A B C DABCD111111 1 1 1V =V+V= 312 m ，3P- A B C DABCD- A B C D11111 1 1 1故仓库的容积为312 m3；14 a) 设= m ，仓库的容积为 ( )PO x V x1则= 4 m ， AO = 36 - x m ， A B = 2 36 - x m ，OOx221111 1( )()1= S3112= 24x - x32V P

15、O = 72 - 2x2 x = 72x - 2x33m ，333P- A B C DABCD111 1 1( )2V=SOO = 72 - 2x2 4x = 288x - 8x m ，3 3ABCD- A B C DABCD111 1 12263( )V x =V()，+V= 24x - x+ 288x - 8x= -x+ 312x 0 x 63333P- A B C DABCD- A B C D11111 1 1 1( )( )()，V x = -26x2 + 312 = -26 x2 -12 0 x 0 ，V x 单调递增，x( )( )( )当 2 3,6 时，V x 0222( )

16、( )又圆 N 与圆 外切，圆 ： x - 6 + x - 7 = 25 ，MM22( ) ( )则 7 - n = n + 5 ，解得n =1，即圆 N 的标准方程为 x - 6 + y -1 =1；22a) 由题意得OA = 2 5 ， k = 2 设l : y = 2x + b ，则圆心 到直线l 的距离MOA15 12 - 7 + b5 + bd =,52 +12( )( )5 + b5 + b22则 BC = 2 5 - d = 2 25 -， = 2 5 ，即 2 25 -BC= 2 5 ，2255解得 = 5或 = -15 ，即 ： = 2 + 5 或 = 2 -15 ；bbly

17、xyxi.TA + TP = TQ ，即TA = TQ - TP = PQ ，即TA PQ=，( )TA = t - 2+ 4，22又10 ,PQ( )即 t - 2+ 4 10，解得 2 - 2 21,2 2 21，+2t22 2 21,2 2 21对于任意 -+，欲使TA = PQ ，t2TA此时10 ，只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 25 -，TA4必然与圆交于 、 两点，此时P QTA PQ=，即TA = PQ ，2 2 21,2 2 21因此对于任意 -+，均满足题意，t2 2 21,2 2 21综上 -+t（本小题满分 14 分）( )(x)已知函数 f x =

18、a + b a 0,b 0,a 1,b 1 x1 设 a = 2 ， = b2( ) 求方程 f x = 2 的根；( )( ) 若对于任意 xR ，不等式 f 2x mf x - 6 恒成立，求实数 的最大值；m( ) ( ) 若0 a 1，函数 g x = f x - 2 有且只有 1 个零点，求ab的值 x = 0 ； 4 ；1；11 ( )x( )5. f x = 2 +，由 f x = 2 可得 2 += 2，x x2 2x16 ( )( )则 22- 2 2 +1= 0 ，即 2 -12= 0 ，则 2 =1， = 0 ；xxxxx11 由题意得2 + m 2 +- 6 恒成立，2

19、xx22x2x11令 = 2 + ，则由2 0可得 2 2 = 2 ，ttxxx2x2xt2+ 44此时t - 2mt - 6 恒成立，即 = + 恒成立2mttt44 2 时 + 2 = 4，当且仅当 = 2 时等号成立，tttttt因此实数 的最大值为4 mlnax b( ) ( )( )g x = f x - 2 = a + b - 2 ， = ln + ln = ln+， g x a a b b a bxxxxxlnba x lnb( ) b a( )，则 h x 递增，由 0 1可得 1，令 h x =+ab lnba a ln alnb ( )而 lna 0 ，因此 = log -

20、时 h x = 0 ，x00ba()( )( )因此 x -, x 时， h x 0 ，则 g x 0 ， a lnb 0 ，则 g x 0 ；x0( ) ()()( )( )则 g x 在 -, x 递减， x ,+ 递增，因此 g x 最小值为 g x ，000( )( ) 若 g x 0， x a= 2，b 0，则 g x 0 ；log 2xax0a( )x log 2 时， a 0 ，b blog 2 = 2，则 g x 0 ；xxbb( )( ) ( )因此 x log 2 且 x 0 ，因此 g x 在 x , x 有零点，1a10110( )( ) ( )x l o g 且2 x

21、 x 时， g x 0 ，因此 g x 在 x , x 有零点，2b20202( )则 g x 至少有两个零点，与条件矛盾；( )( )( )( ) 若 g x 0，由函数 g x 有且只有 1 个零点， g x 最小值为 g x ，00( )可得 g x = 0，0( )由 g 0 = a + b - 2 = 0 ，00因此 x = 0 ，017 ln alnblna因此log -= 0 ，即 -=1 ，即ln + ln = 0，ablnbba( )因此ln ab = 0 ，则 =1ab（本小题满分 14 分） 记 = 1,2, ,100 对数列 a （ N ）和 的子集 ，若 = ，定义

22、= 0 ；Un*UTTSnT若T = t ,t , ,t ，定义 S = a + a + + a 例如： = 1,3,66 时， = + +TSa a a12kTt1tt1366T2k 现设 a （ N ）是公比为3的等比数列，且当 = 2,4 时， = 30 n*TSnT 求数列 a 的通项公式；n 对任意正整数k （1k 100），若 1,2, , ，求证： ；TkSak+1T 设C U ， D U ， ，求证： S + S 2S DSSCDCCD a = 3 ；详见解析；n-1na 6.当 = 2,4 时， = + = + 9 = 30 ，因此 = 3，从而 = =1， a = 3 ；a aTSa2a2aa12n-1T2423n3 -1ka)a a + +=1+ 3+ 3 + + 3 = 3 =；Sa21ak +1k-k2T12k()()i. 设 A = C D ， B = C D ，则 A B = ， S = S + S ， S = S + S，CDCAC D