数学分析问题.docx

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1、数学分析问题极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。一求数列极限（一）利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理1求极

2、限，这是一种简单而常用的方法。lim例1、证明（1）(a0)lim（2）证明：（1）当a=1时，等式显然成立。(hn 0)当a1时，令则：a = (1 + hn )n = 1 + nhn +由迫敛性定理故0 hn limhn = 0limlim即： (1 + hn) = 1limlimlim=1当0a 0（2）设n = (1 + hn)n = 1 + nhn +即： 0 hn lim由迫敛性定理得 hn = 0(1 + hn) = 1limlim从而：lim例：求极限令即：en由迫敛性定理可得：lim从而：由连续函数定义知：lim极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式

3、2，现叙述如下：（二）单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么数，但许多问题当断定极限存在时，极限值是不难求出的。例：单调数列收敛于a的充要条件是存在子列使得a证：不妨设设是单调递增数列，必要性显然。则：充分性：若对任意的，存在k0，当kk0时：1Xnk a1 = a Xnk 0, xn(n=1、2、)为由以下各式：(n=0、1、2，)x00,lim所确定的数列，求证证：由假设x00,又由算术平均数和几何平均数之间的关系得：（n=1、2、）（n=1、2、）lim由单调有界原理，则：将lim从上面几个例子中看出，在某些数列的极限问题中，由数列各项间的递推关

4、系，由单调有界定理可以比较巧妙地证明极限的存在。并计算出极限。（三）柯西收敛准则求极限下面举例说明柯西收敛准则4的应用。证明数列 xn 是收敛的。证明：（n=1、2）（n=1、2）可归纳得到：对任意的mn,故： xn 是柯西数列，从而它是收敛的。例：判断数列解：设mn,这时：10m-n=10n+12(N+1)由柯西收敛准则，知数列 an 发散。柯西收敛准则在证明极限的存在性上有很重要的意义，在此，给出柯西收敛准则的否定形式，便于应用。柯西收敛准则否定形式：有正整数mN,nN存在，尽管mN,nNN,（四）定积分求极限由于定积分5是积分和的极限，故此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成。在这里，仅举几例，来说明这种求极限的方法。