第四章杆件的变形计算.ppt

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1、第四章第四章 杆件的变形计算杆件的变形计算第一节第一节 拉（压）杆的轴向变形拉（压）杆的轴向变形EAEA称为拉（压）杆的抗拉（压）刚度称为拉（压）杆的抗拉（压）刚度 FFll1bb1泊松比泊松比 阶阶梯梯形形直直杆杆受受力力如如图图所所示示，已已知知该该杆杆AB段段横横截截面面面面积积A1=800mm2，BC段段,A2=240mm2，杆杆件件材材料料的弹性模量的弹性模量E=200GPa。试求该杆总变形量。试求该杆总变形量。解解（1）求）求AB、BC段轴力段轴力 FNAB=40kN（拉）拉）FNBC=-20kN（压）压）（2）求）求AB、BC段伸长量段伸长量（3）AC杆总伸长杆总伸长ABC0.4

2、m0.4m40kN60kN20kN例例4-1 图示桁架，钢杆图示桁架，钢杆AC横截面面积横截面面积A1=960mm2 ，弹性模量弹性模量E=200GPa 。木杆木杆BC横截面横截面A2=25000mm2 ，杨氏模量杨氏模量E=10GPa 。求铰节点求铰节点C的位移。的位移。（2）求）求AC、BC两杆的变形。两杆的变形。F=40kNFACFBC例例4-2BF=40kNAC拉杆压杆1mC1C2C3解解（1）求）求AC、CB两杆的轴力。两杆的轴力。（3）求）求C点位移。点位移。BF=40kNAC拉杆压杆1mC1C2C3CC1C2C3练练习习已知拉杆已知拉杆CD:l=2m，d=40mm，E=200GP

3、aAB为刚性梁，求为刚性梁，求B点位移。点位移。BF=40kNAC1m1mD第二节第二节 圆轴的扭转变形与相对扭转角圆轴的扭转变形与相对扭转角 在圆轴扭转时，各横截面绕轴线作相对转动，相距在圆轴扭转时，各横截面绕轴线作相对转动，相距为为dx的两个相邻截面间有相对转角的两个相邻截面间有相对转角d上式称为上式称为单位长度扭转角单位长度扭转角，用来表示扭转变形的大小，用来表示扭转变形的大小，其单位是其单位是rad/m。当当GIP越大，则越大，则越小，故称越小，故称GIP为圆轴的为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。两端相对扭转角两端相对扭转角 当当Mx/GIP为常量时，上式为为常量时，上式为 某某机机器器传传动

4、动轴轴AC如如图图所所示示，已已知知轴轴材材料料的的切切变变模模量量G=80GPa，轴轴直直径径d=45mm。求求AB、BC及及AC间间相对扭转角相对扭转角,最大单位长度扭转角。最大单位长度扭转角。解解（1）内力分析）内力分析（2）变形分析）变形分析AB段BC段例例4-3TA=120Nm TB=200Nm TC=80Nm0.3m0.3mABC为轴的抗扭强度为轴的抗扭强度当轴的截面为矩形时，两端相对扭转角的计算公式为当轴的截面为矩形时，两端相对扭转角的计算公式为为与比值为与比值h/bh/b有关的系数，可查表得有关的系数，可查表得+-6.7kNm4.3kNm2.9kNmBCDA已知已知:n=200

5、r/min，PA=200 kW，PB=90kW，PC=50kW，PD=60kW,G=200GPa,dAC=0.06m，dBC=dAD =0.04m。TBACBDTCTATD0.4m0.5m0.5m解解:1.求外力扭矩求外力扭矩;2.求内力扭矩求内力扭矩,画内力图画内力图;3.各段变形及总各段变形及总变形；变形；4.求最大单位长度扭转角。求最大单位长度扭转角。练习练习试求试求:(1)(1)轴两端截面相对转角轴两端截面相对转角(2)(2)最大单位长度扭转角最大单位长度扭转角解解答答已知已知:n=200r/min，PA=60 kW，PB=150kW，PC=90kW，G=200GPa,dAB=0.06

6、m，dBC=0.04m。TBACBTCTA0.4m0.4m试求试求:(1)(1)轴两端截面相对转角轴两端截面相对转角(2)(2)最大单位长度扭转角最大单位长度扭转角第三节第三节 梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形、挠曲线近似微分方程一、一、梁的变形梁的变形 当梁在平面内弯曲时，梁的轴线从原来沿轴方向的当梁在平面内弯曲时，梁的轴线从原来沿轴方向的直线变成一条在平面内的连续、光滑的曲线，该曲线称直线变成一条在平面内的连续、光滑的曲线，该曲线称为梁的为梁的挠曲线挠曲线。横截面形心沿竖向位移横截面形心沿竖向位移w，称为该称为该截面的挠度截面的挠度;而截面法向方向与轴的夹角而截面法向方向与轴的

7、夹角称为该称为该截面的转角截面的转角。截面形心截面形心C点的竖向位移点的竖向位移w,一般可表为一般可表为x的函数，这的函数，这一关系式称为一关系式称为挠曲线方程挠曲线方程 xAxyFwCC符号规定符号规定：挠度：向上为正，向下为负。转角：截面：挠度：向上为正，向下为负。转角：截面法线与轴夹角逆时针为正，顺时针为负，即在图示坐法线与轴夹角逆时针为正，顺时针为负，即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角为正。标系中挠曲线具有正斜率时转角为正。二、二、挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层曲率与梁的弯矩在纯弯曲梁的情况下，梁的中性层曲率与梁的弯矩之间关系为之间关系为横力弯曲

8、时，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对横力弯曲时，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形影响可以忽略不计梁的变形影响可以忽略不计挠曲线与转角之间近似有挠曲线与转角之间近似有挠曲线的斜率近似等挠曲线的斜率近似等于截面的转角于截面的转角由微分学可知，由微分学可知，按弯矩的符号规定，当按弯矩的符号规定，当M00时，梁的上部受压，下部受拉，挠时，梁的上部受压，下部受拉，挠曲线上凹，由微分学知，在图示坐标下曲线上凹，由微分学知，在图示坐标下，w”为正；当为正；当M00，梁梁下部受压，上部受拉，挠曲线下凹，下部受压，上部受拉，挠曲线下凹，w”为负为负.可去掉可去掉号。号。当梁小变形时当梁小变形时代入前

9、面的式子，得代入前面的式子，得梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 可得可得第四节 用积分法求梁的弯曲变形将上式将上式梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程积分积分一次，就得到转角方程，再积分一次一次，就得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程。对等直梁，得到挠曲线方程。对等直梁，EIZ为常为常量，有量，有qAxyFABxyab积分常数积分常数C、D，可由可由梁的梁的边界条件边界条件来确定来确定 等等直直悬悬臂臂梁梁受受均均布布载载荷荷如如图图所所示示，试试建建立立该该梁梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角和挠度。的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角和挠度。（2）列挠曲线

10、近似微分方程）列挠曲线近似微分方程（3）积分）积分解解（1）弯矩方程）弯矩方程qlxABxyEIwB例例4-4（4）确定积分常数）确定积分常数由边界条件，当由边界条件，当 x=0，分别代入前面的式子得分别代入前面的式子得（5）列出转角方程和挠曲线方程）列出转角方程和挠曲线方程（6）求自由端挠度和转角求自由端挠度和转角 一一简简支支梁梁上上点点C处处作作用用力力F，设设EI为为常常数数。试试建建立转角方程和挠曲线方程，并求梁内最大挠度及转角。立转角方程和挠曲线方程，并求梁内最大挠度及转角。解解（1）求支反力和列弯矩方程。）求支反力和列弯矩方程。（2）列出挠曲线近似微分方程并积分。）列出挠曲线近似

11、微分方程并积分。FBx1FAFACBlaxyEIx2b例例4-5（3）确定积分常数。）确定积分常数。（4）列转角方程和挠曲线方程。）列转角方程和挠曲线方程。(5)确定最大挠度及转角确定最大挠度及转角最大挠度应发生在最大挠度应发生在AC段上处，将段上处，将=0代入式（代入式（9），求出），求出x1将其代入式（将其代入式（10）求得最大挠度绝对值）求得最大挠度绝对值梁的中点的挠度梁的中点的挠度当作用点当作用点C与梁的中点越接近，最大挠度与中点挠度两者相差越与梁的中点越接近，最大挠度与中点挠度两者相差越小，若小，若C点靠近支座点靠近支座B，则两者相差最大两者相差不超过则两者相差最大两者相差不超过2.

12、6%。可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，可用中点挠度来代替可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，可用中点挠度来代替其最大挠度。其最大挠度。lqFABxFBA练习练习FAxyBx第五节第五节 用叠加法求梁的弯曲变形用叠加法求梁的弯曲变形 在在杆杆件件符符合合线线弹弹性性、小小变变形形的的前前提提下下，变变形形与与载载荷荷成成线线性性关关系系，即即任任一一载载荷荷使使杆杆件件产产生生的的变变形形均均与与其其它它载载荷荷无无关关。这这样样只只要要分分别别求求出出杆杆件件上上每每个个载载荷荷单单独独作作用用产产生生的的变变形形，将将其其相相加加，便便得得到到了了这这些些载载荷荷共共同同作作用用时时杆杆

13、件的变形。这就是求杆件变形的件的变形。这就是求杆件变形的叠加法叠加法。例例4-6 求图示梁挠曲线方程，并求中点挠度及最求图示梁挠曲线方程，并求中点挠度及最大转角。已知，大转角。已知，M=ql2/2，梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EI。lqBxAM解解（1）求挠曲线方程。求挠曲线方程。（2）求最大转角和中点挠度。）求最大转角和中点挠度。例例4-7 一外伸梁，简支段一外伸梁，简支段AB受均布荷载的作用，而受均布荷载的作用，而外伸段自由端外伸段自由端C作用一集中力，求作用一集中力，求C处挠度和转角。处挠度和转角。lqBaAFCEIFCqBCM=FaF解解 采用采用逐段刚化逐段刚化的方法的方法:首首先刚

14、化先刚化AB段，这样段，这样BC可作为可作为一悬臂梁来研究一悬臂梁来研究，C点的挠度点的挠度和转角为和转角为 再再刚刚化化BC段段，将将力力F平平移移到到B，得得F及及力力偶偶M。力力F对对梁梁的的变变形形没没有有影影响响，力力偶偶M引引起起AB段变形，使段变形，使B处产生转角处产生转角.同样，同样，q引起了引起了AB段变形，使段变形，使C点产生转角和位移：点产生转角和位移：将上述变形相加，便得到原梁的变形将上述变形相加，便得到原梁的变形例例4-8 在简支梁上部分作用均布载荷，求梁跨中点挠度在简支梁上部分作用均布载荷，求梁跨中点挠度.解解 在微段在微段dx的的载荷可作为一集中载荷可作为一集中力，在该集中力作用下由表力，在该集中力作用下由表4-2可可查得跨度中点的挠度为查得跨度中点的挠度为跨度中点的挠度应为上式的积分跨度中点的挠度应为上式的积分l/2qBxAEICdxbl/2求求中点中点C挠度挠度qBAFC练习练习 lBaAF1CEIF1CqBCM=FaFF2F2 l lqM=ql2ABCqBCqlABql2/2ABM=ql2ABFlABCFBCFl l lABCFFl l lABCFFlABBCFFCAqqlBqAC 2lqlDll 2l lqM=ql2BCAD l 2l lql/2M=ql2BCAq 2lM=ql2BABqCBCql/23ql/2ql2