数值分析-02插值ppt课件.ppt

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1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1 1 引引 言言一一、引例引例已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）466 741 950 1422 1634水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13

2、根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温.这就是本章要讨论的这就是本章要讨论的“插值问题插值问题”在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二二、插值问题的定义、插值问题的定义 当精确函数当精确函数 y=f(x)非常复杂或未知时，在区间非常复杂或未知时，在区间这个问题称为这个问题称为“插值问题插值问题”(2.1.1)近似函数近似函数 g(x)f(x)，满足条件，满足条件 ,由此构造一个简单

3、易算的由此构造一个简单易算的 上一系列节点上一系列节点 处测得函数值处测得函数值 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么这里的这里的 g(x)称为称为f(x)的的插值函数插值函数。节点节点 x0 xm称为称为插值节点插值节点,条件（条件（2.1.1)称为称为插值条件插值条件，区间区间 称为称为插值区间插值区间。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，

4、随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么插值函数的类型有很多种插值函数的类型有很多种最常用的插值函数是最常用的插值函数是?代数多项式代数多项式用代数多项式作插值函数的插值称为用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值代数插值，即，即选取次数不超过选取次数不超过n的多项式的多项式 Pn(x)，使得使得 Pn(xj)=yj (j=0,1 n)(2.1.2)本章主要讨论的内本章主要讨论的内容容插值问题插值问题插值法插值函数插值函数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都

5、可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2 2 代代 数数 插插 值值代代数数插插值值v一、一、插值问题解的存在唯一性？插值问题解的存在唯一性？v二、二、插值多项式的常用构造方法？插值多项式的常用构造方法？v三、三、插值函数的误差如何估计？插值函数的误差如何估计？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、插值多项式的存在唯一性：一、插值多项式的存在唯一性：设所要构造的插值多项式为：设

6、所要构造的插值多项式为：由插值条件由插值条件 得到如下线性代数方程组：得到如下线性代数方程组：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么此方程组的系数行列式为此方程组的系数行列式为 当当 时时，D 0，因此，因此，Pn(x)由由a0,a1,an唯一确定。唯一确定。范得蒙行列式范得蒙行列式！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现

7、象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定理定理 (唯一性唯一性)满足满足 的的 n 阶插值阶插值多项式多项式Pn(x)存在且唯一。存在且唯一。注：注：通过解上述方程组求得插值多项式通过解上述方程组求得插值多项式 的方法的方法怎样可以不通过求解方程怎样可以不通过求解方程组而获得插值多项式呢组而获得插值多项式呢?（可能（可能是是病态方程组病态方程组）,当阶数当阶数n n越越高时，病态越重高时，病态越重。并不可取并不可取.这是因为当这是因为当n n较大时解方程组的计算量较大时解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大在日

8、常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在在n n次多项式空间次多项式空间P Pn n中找一组合适的基函数中找一组合适的基函数 ,使使不同的基函数的选取导致不同的不同的基函数的选取导致不同的插值方法插值方法.Lagrange插值插值Newton插值插值在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认

9、为浪费这一点点算不了什么二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)插值插值1线性插值线性插值(n=1)x0 x1(x0,y0)(x1,y1)f(x)P1(x)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么n=1已知已知 x0,x1;y0,y1，求，求l0(x)l1(x)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自

10、己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2抛物插值抛物插值(n=2)p2(x)f(x)x0 x1x2f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值抛物插值。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3n次次拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式设连续函数设连续函数y=f（x）在在a,b上对给定上对给定n+1个个不同结点：不同结点：x0,x1,xn ,分别取函数值分别取函数值y0,y1,yn其中其中

11、 yi=f(xi)i=0,1,2,n试构造一个次数不超过试构造一个次数不超过n的插值多项式的插值多项式使之满足条件使之满足条件 i=0,1,2,n要求：要求：无重合节点，即无重合节点，即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么若能求得若能求得n次多项式次多项式lk(x),k=0,1,n，则则 i=0,1,2,n即即Pn(x)满足插值条件满足插值条件（2.1.2）.满足满足在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识

12、到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么因此，令因此，令又由又由lk(xk)=1，得得：的表达式推导：的表达式推导：根据根据lk(x)的定义的定义，xk以外所有的结点都是以外所有的结点都是lk(x)的根的根，在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么从而得从而得 n 阶拉格朗日（阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：）插

13、值公式：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4、插值余项、插值余项/*Remainder*/定理定理4.3.1 若若 在在a,b内存在内存在,则在则在a,b上的上的n+1个个互异的点，对互异的点，对 f（x)所作的所作的n次次Lagrange插值多项式插值多项式 有误差估计有误差估计 Rolles Theorem的推论的推论:若若 充分光滑，且充分光滑，且存在存在使得使得在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未

14、意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么注：注：通常不能确定通常不能确定 ,而是估计而是估计 ,x(a,b)，将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。当当 f(x)为任一个次数为任一个次数 n 的的多项式多项式 时，时，,可可知知 ，即插值多项式对于次数，即插值多项式对于次数 n 的的多项式是多项式是精确精确的。的。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自

15、己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例：例：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50，并估计误差。并估计误差。解：解：n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么利用利用 计算得：计算得：sin 50 0.76008,在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，

16、也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么sin 50 =0.7660444利用利用x0,x1 作为插值节点的实际误差作为插值节点的实际误差 0.010010.01001利用利用x1,x2作为插值节点的实际误差作为插值节点的实际误差 0.005960.00596在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么n=2在日常生活中，随处都可以看到浪

17、费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么sin 50 =0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.00061在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、牛顿插值三、牛顿插值（NewtonNewtons Interpolation s Interpolation）Lagrange

18、 Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部点时，全部基函数基函数li(x)都需要重新计算。都需要重新计算。希望每加一个节点时，希望每加一个节点时，只附加一项只附加一项上去即可。上去即可。1 1引入引入能否重新在能否重新在 中寻找新的中寻找新的基函基函数数？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么利用插值条件利用插值条件 代入上式，代入上式，得关于得关于 的线性代数方程组的线性代数方

19、程组:设设当当 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么It is not a difficult thing for a mathematician.We can use notationHow complex the expression are!在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生

20、活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2差商差商2.1 差商的定义差商的定义(亦称均差亦称均差)定义定义1：设有函数设有函数f(x)以及自变量的一系列以及自变量的一系列的值的值 f(xi),称称为为f(x)在点在点xi,xj处的处的一阶差商一阶差商，并记作并记作f xi,xj，互不相等的互不相等的 （即在（即在 时，时，）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么又称又称为

21、为f(x)在点在点xi,xj,xk处的处的二阶差商二阶差商 称称 为为f(x)在点在点x0,x1,xk处的处的k阶差商阶差商。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么利用插值条件和差商的定义利用插值条件和差商的定义,可求出可求出 的的系数系数 :从而从而在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也

22、许你认为浪费这一点点算不了什么 因因此此，每每增增加加一一个个结结点点，NewtonNewton插插值值多多项项式式只只增增加加一项，克服了一项，克服了LagrangeLagrange插值的缺点。插值的缺点。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么差商可列表计算：差商可列表计算：f(x0)f(x1)f(x2)f(xn 1)f(xn)f x0,x1f x1,x2 f xn 1,xnf x0,x1,x2 f xn 2,xn 1,xn

23、f x0,xnxi yi 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 n 阶差商阶差商 x0 x1x2xn-1xn xn+1 f(xn+1)f xn,xn+1 f xn 1,xn,xn+1 f x1,xn+1 f x0,xn+1由差商定义可知：由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。高阶差商是两个低一阶差商的差商。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例:给定 的数据表 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 0.

24、78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.098611.构造差商表2.分别写出二次、四次Newton插值多项式解解:差商表差商表一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，

25、也许你认为浪费这一点点算不了什么2.2 差商的性质差商的性质:性质性质1(差商与函数值的关系差商与函数值的关系):记记 ,则则 性质性质2（对称性）（对称性）：差商的值与结点排列顺序无关，即差商的值与结点排列顺序无关，即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么性质性质3 3(差商与导数的关系差商与导数的关系):设设 在在 上有上有 阶导数阶导数,且且则存在则存在 使得使得性质性质4 4(特征定理特征定理):在日常生活中，随处都可

26、以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.3.牛顿差值余项牛顿差值余项F由插值多项式的由插值多项式的唯一性可知唯一性可知 ，故其余项也相同，即故其余项也相同，即定理：定理：Newton插值多项式的余项为插值多项式的余项为 其中其中在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、等距节点插

27、值四、等距节点插值 1 1引入引入(微商的离散化微商的离散化)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2差分的定义差分的定义设函数设函数 在等距节点在等距节点 上的上的值值 为已知为已知,这里这里 为常数为常数,称为称为步长步长.定义定义:偏差偏差分别称为分别称为 在在 处以处以 为步长的为步长的向前差分向前差分,向后差分向后差分,以及以及中心差分中心差分.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，

28、也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3、差分表、差分表 计算各阶差分可按如下差分表进行：计算各阶差分可按如下差分表进行：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4 4、差分的性质、差分的性质性质性质1(差分与函数值的关系差分与函数值的关系):各阶差分均可表示各阶差分均可表示 为函数值的线性组合为函数值的线性组合:其中，其中，性质性

29、质2 (前差与后差的关系前差与后差的关系):在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么性质性质3 (多项式的差分多项式的差分):若若 f(x)Pn(n次多项式类次多项式类),则则性质性质4 4(差分与差商的关系差分与差商的关系):在等距节点的前提下，在等距节点的前提下，在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到

30、自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么性质性质5 (差分与导数的关系）差分与导数的关系）：在等距节点的前提下，在等距节点的前提下，性质性质6：常数的差分等于零常数的差分等于零.性质性质7 7：差分算子为线性算子，即差分算子为线性算子，即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么性质性质8：这个性质类比于这个性质类比于 性质性质9：（类比于分部积分法则（类比于分部积分法则）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未

31、意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 5、等距节点的牛顿插值公式、等距节点的牛顿插值公式牛顿公式牛顿公式:牛顿前插公式牛顿前插公式利用差分的性质利用差分的性质,可将可将Newton公式简化为公式简化为(1)称公式称公式(1)(1)为为NewtonNewton向前差分插值公式向前差分插值公式,其余项为其余项为在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费

32、，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2)牛顿后插公式牛顿后插公式如果将如果将Newton插值公式插值公式改为按节点改为按节点 的的(3)次序排列的次序排列的NewtonNewton插值公式插值公式,即即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么令令x=xn-th,则当则当x0 xxn时时,0tn.利用差商与利用差商与向后差分的关系向后差分的关系,式式(3)(3)可简化为可简化为(4)称式称式(4)(4)为为NewtonNewton

33、向后差分插值公式向后差分插值公式。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么其余项为其余项为注：注：一般当一般当 x 靠近靠近 x0 时用前插，靠近时用前插，靠近 xn 时用后插，时用后插，故两种公式亦称为故两种公式亦称为表初公式表初公式和和表末公式表末公式。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费

34、，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例 给定给定f f(x x)在等距节点上的函数值表如下在等距节点上的函数值表如下:xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(xi)1.5 1.8 2.2 2.8分别用分别用NewtonNewton向前和向后差分公式求向前和向后差分公式求f f(0.5)(0.5)及及f f(0.9)(0.9)的近似值的近似值.解解 先构造向前差分表如下先构造向前差分表如下:xi fi fi 2 2fi 3 3fi 0.4 1.5 0.6 1.8 0.3 0.8 2.2 0.4 0.1 1.0 2.8 0.6 0.2 0.1 x0=0.4,h=0.2,x3=1.0.分别用差分表

35、中对角线上的值和最分别用差分表中对角线上的值和最后一行的值后一行的值,得得NewtonNewton向前和向后插值公式如下向前和向后插值公式如下:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(1)(2)当 x=0.5时,用公式(1),这时t=(x-x0)/h=0.5.将t=0.5代入(1),得 f(0.5)N3(0.5)=1.64375.当x=0.9时,用公式(2),这时t=(x3-x)/h=0.5.将t=0.5代入(2),得 f(0

36、.9)N3(0.9)=2.46875.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么五、五、Hermite Hermite 插值插值1 1引入引入 在实际问题中，对所构造的插值多项式，在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅不仅要求函数值重合，而且要求若干阶要求函数值重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。即：要求插值函数即：要求插值函数 P(x)满足满足:（1）把此类插值多项式称为把此类插值多项式称为带导数的插值多项式带导数的插

37、值多项式，记为，记为H(x)。埃米尔特（埃米尔特（Hermite）插值多项式）插值多项式或称或称H(x)存在且唯一存在且唯一在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2.2.推导推导只讨论函数值与导数值个数相等的情况只讨论函数值与导数值个数相等的情况.设在节点设在节点 上上,要求插值多项式要求插值多项式 ,满足条件满足条件(5)这里给出的这里给出的 个条件个条件,可唯一确定一个次数不超可唯一确定一个次数不超过过 的多项式的多项式

38、其形式为其形式为在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么如根据条件如根据条件(5)(5)来确定来确定 个系数个系数 ,显然非常复杂显然非常复杂,因此因此,仍采用求仍采用求LagrangeLagrange插值多项式的插值多项式的基函数方法基函数方法.先求插值基函数先求插值基函数 及及 ,共有共有 个个,每一个基函数都是每一个基函数都是 次多项式次多项式,且满足条件且满足条件在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识

39、到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(6)于是满足条件于是满足条件(5)(5)的插值多项式的插值多项式 可写成用插值基函数表示的形式可写成用插值基函数表示的形式,即即(7)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由条件由条件(6),(6),显然有显然有下面的问题就是求满足条件下面的问题就是求满足条件(6)(6)的基函

40、数的基函数 及及 为此为此,可利用可利用LagrangeLagrange插值基函数插值基函数 .令令 其中其中 是式是式 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么所表示的基函数所表示的基函数.由条件式由条件式(6),(6),有有在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了

41、什么整理整理,得得解得解得由于由于在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么两端取对数再求导两端取对数再求导,得得于是于是同理可得同理可得(8)(9)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.3.Hermite Hermite 插值余项插值余项还可以证明满足条件还

42、可以证明满足条件(5)(5)的插值多项式是唯一的的插值多项式是唯一的.用反证法用反证法,假设假设 及及 均满足条件均满足条件(5),(5),于是于是在每个节点在每个节点 上均有二重根上均有二重根,即即 有有 重根重根.但但 是不高于是不高于 次的多项式次的多项式,故故 .唯一性得证唯一性得证.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么仿照仿照Lagrange插值余项插值余项的证明方法的证明方法,若若 在在 内的内的 阶导数存在，则

43、其阶导数存在，则其插值余项为多少？插值余项为多少？(10)其中其中 且与且与 有关有关.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么作为带导数插值多项式作为带导数插值多项式(7)(7)的重要特例是的重要特例是n=1n=1的情形的情形.这时可取节点为这时可取节点为 及及 ,插值多项式为插值多项式为 ,满足条件满足条件(11)相应的插值基函数为相应的插值基函数为 ,它们满足条件它们满足条件在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许

44、你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么根据根据(8)(8)式及式及(9)(9)式的一般表达式式的一般表达式,可得可得在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你

45、并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么于是满足条件于是满足条件(11)(11)的插值多项式是的插值多项式是其余项为其余项为 ,由式由式(10)(10)得得在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么注：注：N 个条件可以确定个条件可以确定 阶多项式。阶多项式。其余项为其余项为N 1要求在要求在1个节点个节点 x0 处直到处直到m0 阶导数都重合的阶导数都重合的插值多项式即为插值多项式即为 在在 点处的点处的Taylo

46、r多项式多项式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4.举例举例例：例：设设 x0 x1 x2,已知已知 ,求多项式求多项式 P(x)满足满足 解：解：首先，首先，P 的阶数为的阶数为3,模仿模仿 Lagrange 多项式的多项式的 思想，设思想，设其中其中且且 ,并估计误差。并估计误差。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食

47、的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么h0(x)有根有根 x1,x2，且且 x1 是重根。是重根。又又:h0(x0)=1 C0 h2(x)与与h0(x)完全类似。完全类似。h1(x)有根有根 x0,x2 由余下条件由余下条件 h1(x1)=1 和和 可解。可解。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 (x)h1 有根有根 x0,x1,x2又又:C1 可解。可解。与与 Lagrange 分分析完全类

48、似析完全类似在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解解:设设hi(x)有根有根 x0,xi,xn且都是且都是2重根重根 一般地，已知一般地，已知 x0,xn 处有处有 y0,yn 和和 ，求，求 H2n+1(x),满足满足 。其中其中由余下条件由余下条件 和和 可解可解Ai 和和 Bi 这样的这样的Hermite 插值唯一插值唯一在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不

49、了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 (x)hi有根有根 x0,xn,除了除了xi 外都是外都是2重根重根 设设则则在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么六、分段低次插值六、分段低次插值1.多项式插值的龙格现象多项式插值的龙格现象例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1

50、1.5 2 2.5 Ln(x)f(x)n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2.分段线性插值分段线性插值在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近 f(x):记记 ,易证：当易证：当 时，时，一致一致在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随