第九章薄板弯曲ppt课件.ppt

《第九章薄板弯曲ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第九章薄板弯曲ppt课件.ppt（121页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第第九九章章 薄板弯曲薄板弯曲问题问题概述第一节 有关概念及计算有关概念及计算假设假设 第二节 弹性曲面的微分弹性曲面的微分方程方程第三节 薄板薄板横横截面上的内力截面上的内力第四节 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力第五节 薄板弯曲的直角坐标求解薄板弯曲的直角坐标求解第六节 圆形薄板的轴对称弯曲圆形薄板的轴对称弯曲第七节 变分法求薄板的位移变分法求薄板的位移2在日常生活中，

2、随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么概述薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度t与板面的最小尺寸b的比值满足如下条件:则称为薄板。将坐标原点取于中面内的一点,x和y轴在中面内，z 垂直轴向下，如图所示。我们把平分板厚度的平面称为中面。3在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么薄板受到横向荷载（板面）的作用薄板的弯曲问题。薄板受到纵向荷载（板面）的作用平面应力问题；杆件受到横向荷载（杆轴）的作用梁的弯曲问题。杆件受到纵向荷载（杆轴）的作用杆件的拉压问题；当薄板受有一般载荷时，总可以

3、把每一个载荷分解为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章只讨论由于横向载荷使薄板发生小挠度弯曲所引起的应力、应变和位移。4在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面。小挠度薄板这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是：(3)在内力中，仅由横向剪力

4、FS与横向荷载q成平衡，纵向轴力的作用可以不计。(2)在中面位移中,w 是主要的，而纵向位移u,v很小，可以不计；(1)具有一定的刚度，横向挠度b):其中37在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例2、试求图示四边简支，承受均布载荷q0的矩形薄板之最大挠度。解：取图示坐标系设则在x=0及x=a边界上，边界条件自然满足。将 的表达式代入弹性曲面微分方程38在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 得将 展为傅立叶级数其中m为偶数m为奇数则取微分方程的特解为：39在日常

5、生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么并注意到挠度 是y 的偶函数，则非齐次线性常微分方程的一般解为:利用边界条件 (已用对称性）处，得40在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么挠度的表达式：若a=b，则可见，在级数中仅取两项，就可以达到较高的精度。41在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例2、矩形薄板OABC的OA边和OC边是简支边，AB边和CB边是自由边，在B点受有横向集中力F，试证w=mxy能满足

6、一切条件，其中m是待定系数。试求挠度、内力和反力。解：满足边界条件。w=mxy满足D 4w=q方程x=0w=0 x=ay=0w=0y=b42在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么其它三个角点的支反力为43在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么固定边椭圆板的边界方程为 Oabyx受均布荷载 作用，如图，试求其挠度和内力。例题144在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由 ，显然 。因此，从方向解：固定

7、边的边界条件是(a)(b)导数的公式可推出，为了满足边界条件(a)，可以令45在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么便可满足式(a)的边界条件。对于均布荷载 ，将式(c)代入方程 得出 ，并从而得因此，只需取(c)46在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 内力 为读者可以检验，最大和最小弯矩为47在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 当 时，便由上述解得出圆板的解答，若令 则椭圆板成为跨度为 的

8、平面应变问题的固端梁。48在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 四边简支矩形板，如图，受有分布荷载 的作用，试用重三角级数求解其挠度。例题249在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：将 代入积分式，由三角函数的正交性，及50在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么得代入 ，得挠度的表达式为51在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么

9、 四边简支矩形板，如图，在 的直线上，受有线分布荷载F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。yxabOFa例题352在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：板中的荷载只作用在 的线上，对荷载的积分项 只有在此线上才存在，其余区域上的积分全为0，在 的线上，荷载强度可表示为代入系数 的公式，53在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(n=1,3,5)得出挠度为54在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为

10、浪费这一点点算不了什么四边简支矩形板，受静水压力作用，如图，试用单三角级数求解其挠度。xyaO例题455在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：应用莱维法的单三角级数求解，将 代入书中96式(d)右边的自由项，即代入式(d)，方程的特解可取为56在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么从而得到 和挠度 的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于 轴，应为 的偶函数，由此，。于是 的表达式为57在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也

11、许你认为浪费这一点点算不了什么在 的边界，有简支边条件 将挠度 代入边界条件，记 ，得58在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解出从而得挠度解答59在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 发生在薄板的中心点的挠度为与板上作用有均布荷载 的解答相比，本题的中心点挠度为均布荷载下中心点挠度的1/2。又由 的条件，求出最大挠度为60在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 126 圆形薄板的轴对称弯曲圆形

12、薄板的轴对称弯曲 求解圆板弯曲问题时，采用极坐标较方便。如果圆形薄板所受的横向载荷是绕z 轴对称的（z 轴垂直板面向下），则该弹性薄板的位移也将是绕z 轴对称的，即 只是r 的函数，不随 而变。一、弹性曲面微分方程 参照直角坐标下的弹性曲面微分方程。极坐标下，圆形薄板轴对称弯曲时，曲面微分方程可写成：或61在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 二、内力展开后得：该微分方程的通解为其中 是任意一个特解。从薄板内取出一个微分单元体，图示。在 r 为常量的横截面上，弯矩和横向剪力分别为Mr 和 ；在 为常量的横截面上，则为 和 。由

13、于是轴对称问题，故没有扭矩。62在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 把x 轴和y 轴分别转到这个微分单元体的r 和 方向，则利用坐标转换公式，有：63在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 三、应力分量三、应力分量利用坐标转换公式，同理有：将应力分量用内力表示有：64在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例3、半径为a的实心圆板，周边固支，受均布载荷 及圆心处的集中力P 作用，求挠度。解：由题意

14、知，本题为圆板轴对称弯曲，挠曲线方程为：取特解知通解为由实心圆板中心处的挠度 应有界知：从板中取出半径为r 的部分圆板，由z方向的平衡条件给出65在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么故而又有故由 得由 得故板的挠度66在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 127 变分法求薄板的位移变分法求薄板的位移 薄板小挠度弯曲时，为微量，可略去不计。此时弹性薄板的变形能:用挠度 表示:67在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪

15、费这一点点算不了什么 其中A为薄板面积。对于板边固定的任意形状板，以及板边界处 的多边形（板中无孔洞），由分步积分公式得:对于固定板，即对于沿板边 的矩形板，总有 或因此68在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么即弹性板的变形能简化为：例4 求四边简支矩形板 在均布载荷 作用下的挠度。解：用里兹法。取板的挠度为如下重三角级数显然，该级数的每一项都满足四边简支的边界条件。板的弹性变形能：69在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 在均布载荷 作用下，外力势能V 为总

16、位能:由取极值的条件得出：（m,n均为奇数）70在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 由此得出故（m,n均为奇数）(m或n为偶数时）71在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么练习12.1 矩形薄板具有固定边OA，简支边OC及自由边AB和BC，角点B处有链杆支承，板边所受荷载如图所示。试将板边的边界条件用挠度表示。xyzM0qoAC CBab解：（1）OA边（2）OC边后一式用挠度表示为72在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也

17、许你认为浪费这一点点算不了什么（3）AB边用挠度表示为（4）BC边73在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么用挠度表示为（5）在B支点74在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么练习12.2 有一块边长分别为a 和b 的四边简支矩形薄板，坐标如图所示。受板面荷载 作用，试证 能满足一切条件，并求出挠度、弯矩和反力。xyzoab解：不难验证 能满足所有简支边的边界条件，由挠曲面方程可确定 ，从而求出挠度、弯矩和反力。75在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许

18、你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么76在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么练习12.3 有一半径为a 的圆板，在 r=b 处为简支，荷载如图所示。求其最大挠度。qqrzba解：板的挠度函数可分两部分表达77在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 和 的各阶导数如下：78在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么79在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在

19、浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在 r=a 及 r=b 处的边界条件或连续条件为将挠度及其导数代入上述六式，可解出六个常数如下：80在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么把求出的常数代入 的表达式，并将 与 进行比较，较大者即为圆板的最大挠度。81在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 （四）薄板弯曲问题的变分法 下面我们来介绍一下薄板弯曲问题的变分法。这也是解决实际问题的很有效的方法。在薄板弯曲问题中，由于不计形变分量 因此形变势能为(a)将形变分量 （式

20、（9-4）和应变分量 （式（9-5）代入上式，82在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么并注意w是(x,y)的函数。对z进行积分，得出薄板的形变势能为 薄板在横向荷载作用下的外力功和外力势能为83在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 因此，薄板弯曲问题的总势能极值条件是 求解薄板弯曲问题的里兹法是，首先设定挠度w的试函数，使之预先满足位移边界条件（关于挠度及转角的条件），再满足里兹变分方程，84在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪

21、费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由上式可解出系数 。求解薄板弯曲问题的伽辽金法是，令设定的挠度w 不仅满足位移边界条件，也满足应力边界条件（关于弯矩和总剪力的条件），即满足全部边界条件。然后再满足伽辽金变分方程，(c)85在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由上式解出系数 。其中体力 已转化为等效的面力，归入q元中。将 （书中式（9-5），（9-6）代入，对z进行积分，得出薄板的伽辽金变分方程为86在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例题3 四边固定的矩形

22、薄板，受有均布荷载 试用变分法求解其挠度。解：薄板的固定边条件是取挠度表达式为87在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么上式已满足全部边界条件和对称性条件。若只取一项，并考虑到本题中全部为位移边界条件且已满足，可以应用伽辽金法求解。将代入式（d），求出88在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 对于正方形薄板，a=b,得出挠度解答为最大挠度发生在x=y=0点，与精确解 相比，大出5%左右。89在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，

23、也许你认为浪费这一点点算不了什么 （五）薄板弯曲问题和平面问题的比较 薄板弯曲问题和平面问题都是二维问题，可以比较如下。90在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么基本未知函数基本方程边界条件位移边界条件应力边界条件混合边界条件平面问题薄板弯曲问题应力函数挠度(固定边)一个位移边界条件，另一个为应力边界条件91在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 从上表可见，两者的方程相似；但薄板弯曲问题的边界条件，特别是固定边和简支边，比平面问题的边界条件要简单的多，因此，薄板

24、弯曲问题的解答也就比平面问题的解答多。92在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 （六）应用叠加方法 应用叠加方法，可将莱维提出的单三角级数解用于解决各种边界条件的薄板问题(参见弹性力学简明教程学习指导)。例如，对于图9-8的问题，二邻边为支边，另二邻边可表示为解答的叠加 ，其中 为四边简支矩形板，受q作用的解，可以用纳维解法或莱维解法求出：分别93在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么为q=0，两对边简支，而另外有一边为广义简支边（在边界上分别受弯矩的作用，其中

25、 均为未知，用待定系数 表示）的解，应用莱维解法可求出。94在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由此得出解答，然后再由条件求出系数 ，从而得出解答 。95在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 又例如，图9-9的薄板，二邻边为支边，另二邻边为自由边，也可以按图示方法求解。令 分别见图9-9所示。其中 为四边简支板，受q作用的解，分别对应为q=0，两对边简支，而另外有一边为广义简支边（其中弯矩为0，而挠度为未知，分别用待定系数 表示）的解，96在日常生活中，随处都

26、可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么应用莱维解法可求出 ；为两邻边简支，两邻边自由，在角点A受强迫位移（未知）作用的解（参见习题9-3）。并叠加得到 然后再由条件及角点条件求出 及 从而得出解答w。97在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例题1例题2例题3例题4例题5例题例题98在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么固定边椭圆板的边界方程为 Oabyx受均布荷载 作用，如图，试求其挠度和内力。例题199在日常生活中

27、，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由 ，显然 。因此，从方向解：固定边的边界条件是(a)(b)导数的公式可推出，为了满足边界条件(a)，可以令100在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么便可满足式(a)的边界条件。对于均布荷载 ，将式(c)代入方程 得出 ，并从而得因此，只需取(c)101在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 内力 为读者可以检验，最大和最小弯矩为102在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食

28、的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 当 时，便由上述解得出圆板的解答，若令 则椭圆板成为跨度为 的平面应变问题的固端梁。103在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 四边简支矩形板，如图，受有分布荷载 的作用，试用重三角级数求解其挠度。例题2104在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：将 代入积分式，由三角函数的正交性，及105在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了

29、什么得代入 ，得挠度的表达式为106在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 四边简支矩形板，如图，在 的直线上，受有线分布荷载F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。yxabOFa例题3107在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：板中的荷载只作用在 的线上，对荷载的积分项 只有在此线上才存在，其余区域上的积分全为0，在 的线上，荷载强度可表示为代入系数 的公式，108在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也

30、许你认为浪费这一点点算不了什么(n=1,3,5)109在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么得出挠度为110在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四边简支矩形板，受静水压力作用，如图，试用单三角级数求解其挠度。xyaO例题4111在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：应用莱维法的单三角级数求解，将 代入书中96式(d)右边的自由项，即代入式(d)，方程的特解可取为112在日常生活中，随处都可以看

31、到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么从而得到 和挠度 的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于 轴，应为 的偶函数，由此，。于是 的表达式为113在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在 的边界，有简支边条件 将挠度 代入边界条件，记 ，得114在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解出从而得挠度解答115在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 发生在薄板的

32、中心点的挠度为与板上作用有均布荷载 的解答相比，本题的中心点挠度为均布荷载下中心点挠度的1/2。又由 的条件，求出最大挠度为116在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 例题5 设有内半径为r而外半径为R的圆环形薄板，其内边界简支，外边界为自由，并受到均布力矩荷载M的作用，如图，试求其挠度和内力。MMOzrRRr117在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 解：本题属于圆板的轴对称问题，可引用99 中轴对称圆板的一般解。由于板上无横向荷载，特解 ，于是挠度为代入内力公式，得118在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么内外边界的四个边界条件为119在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么将挠度及内力代入边界条件，求出 ，最后得解答如下：120在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 121