2022年高中数学知识点总结12.docx

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1、精品_精品资料_高中数学学问点总结第一部分集合（1） 含 n 个元素的集合的子集数为2n,真子集数为 2n 1.非空真子集的数为2n-2 .（2） 留意：争论的时候不要遗忘了的情形.其次部分函数与导数1. 映射：留意第一个集合中的元素必需有象.一对一,或多对一.2. 函数值域的求法：分析法.配方法.判别式法.利用函数单调性.换元法 .利用均值不等式. 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、肯定值的意义等）.利用函数有界性（、 、 等）.导数法3. 复合函数的有关问题（1） 复合函数定义域求法： 如 fx 的定义域为 a,b,就复合函数 fgx 的定义域由不等式agx 解b出 如 fgx的定义域为

2、 a,b, 求 fx 的定义域,相当于x a,b 时,求 gx 的值域.（2） 复合函数单调性的判定：第一将原函数分解为基本函数：内函数与外函数 .分别争论内、外函数在各自定义域内的单调性.依据 “同性就增,异性就减 ”来判定原函数在其定义域内的单调性.留意：外函数的定义域是内函数的值域.4. 分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论.5. 函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 是奇函数 . 是偶函数 .奇函数在原点有定义,就.在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性.（6）如所给函数的解析式较为复杂,应先等价变

3、形,再判定其奇偶性.6. 函数的单调性单调性的定义： 在区间上是增函数当 时有. 在区间上是减函数当 时有.单调性的判定1 定义法：留意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判定符号.导数法（见导数部分） .复合函数法（见2 （ 2） .图像法.注：证明单调性主要用定义法和导数法.7. 函数的周期性1 周期性的定义：对定义域内的任意,如有 （其中 为非零常数） ,就称函数 为周期函数, 为它的一个周期.全部正周期中最小的称为函数的最小正周期.如没有特殊说明, 遇到的周期都指最小正周期.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）三角函数的周期 . . . . .函数周期的

4、判定定义法（试值）图像法 公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论 或的周期为. 的图象关于点中心对称 周期为 2 . 的图象关于直线轴对称周期为 2 . 的图象关于点中心对称,直线轴对称 周期为 4 .8. 基本初等函数的图像与性质幂函数： （ .指数函数：.对数函数 : .正弦函数 : .余弦函数：.（ 6）正切函数：.一元二次函数：.其它常用函数：1 正比例函数：.反比例函数：.特殊的2 函数 .9. 二次函数：解析式：一般式： .顶点式：, 为顶点.零点式： .二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向.对称轴.端点值.与坐标轴交点.判别式.两根符号.二次函数问题解决方法：数形结合.分类

5、争论.10. 函数图象：图象作法 ：描点法 （特殊留意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：1 平移变换：, 2 “正左负右 ” “正上负下 ”.3 伸缩变换： , （ 纵坐标不变,横坐标伸长为原先的倍. , （ 横坐标不变,纵坐标伸长为原先的倍.4 对称变换：. . .5 翻转变换： 右不动,右向左翻（在 左侧图象去掉） . 上不动,下向上翻（ | |在 下面无图象） . 11函数图象（曲线）对称性的证明1 证明函数 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上.（2）证明函数 与 图象的对称性,即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在 的图象上

6、,反之亦然.注：曲线 C1:fx,y=0关于点（ a,b）的对称曲线 C2 方程为： f2a x,2b y=0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 C1:fx,y=0关于直线 x=a 的对称曲线 C2 方程为： f2a x, y=0;曲线 C1： fx,y=0, 关于 y=x+a 或 y= x+a 的对称曲线 C2 的方程为 fy a,x+a=0 或 f y+a, x+a=0;fa+x=fb x（ x R） y=fx 图像关于直线x=对称.特殊的： fa+x=fa x （ x R） y=fx 图像关于直线 x=a 对称.函数 y=fx a与 y=fb x 的图像关于直线 x=

7、对称.12函数零点的求法：直接法（求的根）.图象法.二分法. 13导数导数定义： fx 在点 x0 处的导数记作.常见函数的导数公式: . . . . . . . .导数的四就运算法就：（理科）复合函数的导数：导数的应用：利用导数求切线：留意：所给点是切点吗？所求的是“在”仍是 “过”该点的切线？利用导数判定函数单调性： 是增函数.为减函数. 为常数.利用导数求极值：求导数.求方程 的根.列表得极值.利用导数最大值与最小值：求的极值.求区间端点值（假如有）.得最值.14（理科）定积分定积分的定义：定积分的性质：（ 常数）. . （其中 .微积分基本定理（牛顿 莱布尼兹公式） ：定积分的应用：求

8、曲边梯形的面积：.3 求变速直线运动的路程：.求变力做功：.第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1. 角度制与弧度制的互化：弧度 , 弧度, 弧度弧长公式：.扇形面积公式：.2. 三角函数定义：角中边上任意一点为 ,设 就：3. 三角函数符号规律：一全正,二正弦,三两切,四余弦.4. 诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变,符号看象限”.5. 对称轴： .对称中心：. 对称轴： .对称中心：.6. 同角三角函数的基本关系：.7. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 二倍角公式：. . .9. 正、余弦定理：正弦定理：（ 是 外接圆直径

9、） 注： . . .余弦定理：等三个.注：等三个.10.几个公式 :三角形面积公式：.内切圆半径r= .外接圆直径 2R= 11已知 时三角形解的个数的判定：第四部分立体几何1. 三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为.2. 表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积： S=S 侧+2S 底.侧面积： S 侧= .体积： V=S 底 h锥体：表面积： S=S 侧+S 底.侧面积： S 侧= .体积： V= S 底 h：台体：表面积： S=S 侧+S 上底 S 下底.侧面积：S 侧= .体积： V=（ S+ ） h.球体：表面积： S= .体积： V=.3. 位置关系的证明（主要方法） ：直线与

10、直线平行：公理4.线面平行的性质定理.面面平行的性质定理.直线与平面平行：线面平行的判定定理.面面平行线面平行.平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论.垂直于同始终线的两平面平行.直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理.面面垂直的性质定理.平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角.面面垂直的判定定理.注：理科仍可用向量法.4. 求角：（步骤.找或作角.求角）异面直线所成角的求法：1 平移法：平移直线, 2 构造三角形.3 补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等,4 发觉两条异面直线间的关系.注：理科仍可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角.直线与平面所成的角：直接法（利用线面角定义）

11、 .先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比, 得 sin .注：理科仍可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角.二面角的求法：定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点）,作出平面角,再求解.三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解.射影法：利用面积射影公式：,其中 为平面角的大小.注：对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法. 理科仍可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角.5. 求距离：（步骤.找或作垂线段.求距离）两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段,再进行运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

12、_精品资料_点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段,再求解.点到平面的距离：垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键）,再求解.5 等体积法.理科仍可用向量法：.球面距离： （步骤）（）求线段AB 的长.（）求球心角AOB 的弧度数. 求劣弧 AB 的长.6. 结论：从一点 O 动身的三条射线 OA 、OB 、OC,如 AOB= AOC ,就点 A 在平面 BOC 上的射影在 BOC 的平分线上.立平斜公式 最小角定理公式 ：正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为,就 S 侧 cos =S 底.长方体的性质长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为就： cos2 +

13、cos2 +cos2 =1. sin2+sin2 +sin2 =2.长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为就有 cos2 +cos2 +cos2 =2 . sin2+sin2 +sin2 =1.正四周体的性质：设棱长为,就正四周体的：1 高： .对棱间距离：.相邻两面所成角余弦值：.内切 2 球半径： .外接球半径： .第五部分直线与圆1. 直线方程点斜式： .斜截式：.截距式：.两点式：.一般式：,（A ,B 不全为 0）.（直线的方向向量： （ ,法向量（2. 求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件. （2）作可行域,写目标函数. （ 3）确定目标函数的最优解.3两条直线的位

14、置关系：4. 直线系5. 几个公式设 A （x1,y1）、Bx2,y2 、C（ x3,y3 ）, ABC 的重心 G：（ ）.点 P（ x0,y0）到直线 Ax+By+C=0的距离： .两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是 .6. 圆的方程：标准方程：. .一般方程：（注： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C0 且 B=0 且 D2+E2 4AF0 . 7圆的方程的求法：待定系数法.几何法.圆系法.8. 圆系： .注：当 时表示两圆交线. .9. 点、直线与圆的位置关系： （主要把握几何法）点与圆的位置关系： （ 表示点到圆心的距离） 点在圆上.

15、点在圆内.点在圆外.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线与圆的位置关系： （ 表示圆心到直线的距离） 相切. 相交. 相离.圆与圆的位置关系： （ 表示圆心距,表示两圆半径,且） 相离. 外切. 相交. 内切. 内含.10. 与圆有关的结论：过圆 x2+y2=r2 上的点 Mx0,y0 的切线方程为： x0x+y0y=r2 .过圆 x-a2+y-b2=r2上的点 Mx0,y0 的切线方程为： x0-ax-a+y0-by-b=r2.以 Ax1 , y2 、Bx2,y2 为直径的圆的方程： x x1x x2+y y1y y2=0 .第六部分圆锥曲线1. 定义：椭圆：.双曲线： .抛

16、物线：略2. 结论焦半径：椭圆：（ e 为离心率）. （左“+”右“-”）.抛物线：弦长公式：注：（）焦点弦长：椭圆：.抛物线： x1+x2+p=.（）通径（最短弦） ：椭圆、双曲线：.抛物线： 2p.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：（ 同时大于0 时表示椭圆,时表示双曲线） .椭圆中的结论：内接矩形最大面积： 2ab.P, Q 为椭圆上任意两点,且OP 0Q,就 .椭圆焦点三角形： ,（ ）. 点 是 内心,交 于点 ,就.当点 与椭圆短轴顶点重合时最大.双曲线中的结论：双曲线（ a0,b0）的渐近线：共渐进线 的双曲线标准方程为.为参数,0）.双曲线焦点三角形： ,（ ）.P 是双曲线

17、 =1a 0,b 0的左（右）支上一点, F1、F2 分别为左、右焦点,就PF1F2 的内切圆的圆心横坐标为.双曲线为等轴双曲线渐近线为 渐近线相互垂直.（6）抛物线中的结论：抛物线 y2=2pxp0 的焦点弦 AB 性质： x1x2=. y1y2= p2. . 以 AB 为直径的圆与准线相切.以 AF （或 BF）为直径的圆与轴相切. .抛物线 y2=2pxp0 内结直角三角形 OAB 的性质： . 恒过定点 . 中点轨迹方程：. ,就 轨迹方程为：. .抛物线 y2=2pxp0 ,对称轴上肯定点,就：当 时,顶点到点 A 距离最小,最小值为. 当 时,抛物线上有关于轴对称的两点到点 A 距

18、离最小,最小值为.3. 直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解.留意以下问题：联立的关于 “ 仍”是关于 “ 的”一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：处理弦中点问题步骤如下：设点Ax1 , y1、Bx2,y2 .作差得 .解决问题.4. 求轨迹的常用方法： （ 1）定义法：利用圆锥曲线的定义.（ 2）直接法（列等式） .（3）代入法（相关点法或转移法） .待定系数法. （ 5）参数法.（ 6）交轨法.第七部分平面对量设 a=x1,y1,b=x2,y2 ,就

19、： a bb 0 a= b（ x1y2 x2y1=0 . a ba、b0 a.b=0 x1x2+y1y2=0.a.b=|a|b|cos=x2+y1y2.注： |a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影. |b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影. 6 a.b 的几何意义： a.b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影 |b|cos的乘积.cos=.三点共线的充要条件：P,A ,B 三点共线 . 附：（理科） P, A , B, C 四点共面 .第八部分数列1. 定义：等差数列.等比数列 .2. 等差、等比数列性质等差数列等比数列通项公式前 n 项和性质 an=am+ n md, an=am

20、qn-m; m+n=p+q 时 am+an=ap+aq m+n=p+q 时 aman=apaq 成 AP 成 GP 成 AP, 成 GP,等差数列特有性质：1 项数为 2n 时： S2n=nan+an+1=na1+a2n . . .2 项数为 2n-1 时： S2n-1=2n-1. . .3 如 .如 . 如 .3. 数列通项的求法：分析法.定义法（利用AP,GP 的定义）.公式法：累加法（.叠乘法（ 型）.构造法（型）.（ 6）迭代法.间接法（例如：）.作商法（型）.待定系数法.（理科）数学归纳法.注：当遇到 时,要分奇数项偶数项争论,结果是分段形式.4. 前 项和的求法：拆、并、裂项法.倒

21、序相加法.错位相减法.5. 等差数列前 n 项和最值的求法：.利用二次函数的图象与性质.第九部分 不等式1. 均值不等式：留意：一正二定三相等.变形,.2. 肯定值不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 不等式的性质：4. 不等式等证明（主要）方法：比较法：作差或作比.综合法.分析法.第十部分复数1. 概念：z=a+bi R b=0 a,b R z=z20.z=a+bi 是虚数b0a,b R.z=a+bi 是纯虚数 a=0 且 b0a,b R z 0（ z0） z20 时,变量 正相关. 0 时,变量 负相关. 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强.接近于 0 时,两个

22、变量之间几乎不存在线性相关关系.4. 回来分析中回来成效的判定：总偏差平方和：残差： .残差平方和：.回来平方和： .相关指数.注： 得知越大,说明残差平方和越小,就模型拟合成效越好. 越接近于 1,就回来成效越好.5独立性检验（分类变量关系） ：随机变量越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱.第十四部分常用规律用语与推理证明1 四种命题：原命题：如 p 就 q. 逆命题：如 q 就 p.否命题：如 p 就 q.逆否命题：如 q 就 p 注：原命题与逆否命题等价.逆命题与否命题等价.2充要条件的判定：（1） 定义法 正、反方向推理.（2） 利用集合间的包含关系：例如：如,就 A 是 B

23、的充分条件或B 是 A 的必要条件.如A=B ,就 A 是 B 的充要条件.3. 规律连接词：且 and ：命题形式 p q.pqp qp qp或（ or）：命题形式p q.真真真真假非（ not）：命题形式 p .真假假真假假真假真真假假假假真4. 全称量词与存在量词全称量词 - “全部的 ”、“任意一个 ”等,用 表示. 全称命题 p： .全称命题 p 的否定p： .存在量词 - “存在一个 ”、“至少有一个 ”等,用 表示. 特称命题 p： .特称命题 p 的否定p： . 第十五部分 推理与证明1推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是依据已有事实,经过观看、分析、比较、联想,在进行归纳、

24、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理.归纳推理： 由某类食物的部分对象具有某些特点,推出该类事物的全部对象都具有这些特点的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳.注：归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.类比推理： 由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特点,推出另一类对象也具有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这些特点的推理,称为类比推理,简称类比.注：类比推理是特殊到特殊的推理.演绎推理：从一般的原理动身,推出某个特殊情形下的结论,这种推理叫演绎推理.注：演绎推理是由一般到特殊的推理.“三段论 ”是演绎推理的一般模式,包括：大前

25、提已知的一般结论.小前提所争论的特殊情形.结 论依据一般原理,对特殊情形得出的判定.二证明直接证明综合法一般的,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最终推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推法或由因导果法.分析法一般的,从要证明的结论动身,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最终,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）,这种证明的方法叫分析法.分析法又叫逆推证法或执果索因法.2间接证明反证法一般的,假设原命题不成立,经过正确的推理,最终得出冲突,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法.附：

26、数学归纳法（仅限理科）一般的证明一个与正整数有关的一个命题,可按以下步骤进行：证明当取第一个值是命题成立.假设当命题成立,证明当时命题也成立.那么由就可以判定命题对从开头全部的正整数都成立.这种证明方法叫数学归纳法.注：数学归纳法的两个步骤缺一不行,用数学归纳法证明问题时必需严格按步骤进行.3 的取值视题目而4 定, 5 可能是 1,6 也可能是 2 等.第十六部分理科选修部分1. 排列、组合和二项式定理 排 列 数 公 式 :=nn-1n- 2 n-m 1=mn,m、 n N*, 当m=n时 为 全 排 列=nn-1n- 2 3.2.1=n.;组合数公式：（ mn） , .组合数性质：.二项

27、式定理：通项：留意二项式系数与系数的区分.二项式系数的性质：与首末两端等距离的二项式系数相等.如n 为偶数,中间一项（第 1 项）二项式系数最大.如 n 为奇数,中间两项（第和 1 项）二项式系数最大.6 求二项绽开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时,留意运用赋值法.2. 概率与统计随机变量的分布列：随机变量分布列的性质：pi 0,i=1,2, .p1+p2+=1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离散型随机变量： X x1 X2 xn P P1 P2 Pn 期望： EX x1p1 + x2p2 + + xnpn + ;方差： DX ;注： .两点分布：X01期望： EX p.方

28、差： DX p1-p. P1 pp4 超几何分布：一般的,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有X 件次品,就其中, .称分布列X01m P为超几何分布列,称 X 听从超几何分布.二项分布（独立重复试验） ：如 X B（ n,p） ,就 EX np, DX np（ 1- p） ;注： .条件概率：称为在大事 A 发生的条件下,大事B 发生的概率.注： 0 P（ B|A ） 1. PB C|A=PB|A+PC|A.独立大事同时发生的概率：P（ AB ） =P（ A ） P（ B）.正态总体的概率密度函数：式中 是参数,分别表示总体的平均数（期望值）与标准差.（6）正态曲线的性质：曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交.曲线是单峰的,关于直线x 对称.曲线在 x 处达到峰值.曲线与 x 轴之间的面积为 1.5 当 肯定时, 6 曲线随 质的变化沿 x 轴平移.7 当 肯定时, 8 曲线外形由 确定： 越大, 9 曲线越 “矮胖 ”, 10 表示总体分布越集中.越小,曲线越 “高瘦 ”,表示总体分布越分散.注： P =0.6826. P =0.9544 P =0.9974可编辑资料 - - - 欢迎下载